文摘
我们学习一些二阶哈密顿系统的周期解的存在性与冲动。通过变分方法我们获得一些新的存在性定理。
1。介绍
考虑以下系统: 在哪里与为每一个存在一个这样,我们假设满足以下假设。 是可测量的为和连续可微的乙醯。,存在这样 对所有和。
许多问题的可解性条件(1。1),而不了冲动的影响,例如,矫顽力条件、凸性条件(见[1- - - - - -4)及其引用),次线性非线性条件下,超线性潜在条件。最近,利用变分方法,许多作者研究的二阶微分方程解的存在与冲动。更准确地说,尼托(5,6]认为线性的条件下,7- - - - - -10次线性条件,(11- - - - - -16次线性条件和其他条件。但是我们所知,除了[7]没有结果对凸性条件与冲动的影响。通过使用不同的技术,我们从[获得不同的结果7]。
我们回忆起一些基本事实将用于我们的主要结果的证明。让 与内积 在哪里表示的内积。相应的规范定义的
的空间有一些重要的属性。为,让,。然后一个水列夫不等式(见命题在[1):
考虑相应的功能在给出的
它遵循的假设的连续性一个有是连续可微的,弱下半连续吗。此外,我们有 为和是弱连续和弱解的问题(1。1)对应的临界点(见[8])。
定理1.1 ((2定理1.1])。假设和是反射性的巴拿赫空间,,所有弱上半连续吗,是凸的和是弱连续的。假设 作为每, 作为统一为。然后至少有一个临界点。
2。主要结果
定理2.1。假定的假设成立。如果进一步的 对乙醯凸。, 存在,这样,尽管,然后(1。1)具有至少一个解决方案。
2.2的话。 意味着存在一个点的
定理的证明2.1。它遵循的话2.2,(1。6),那 对所有和一些积极的常数。作为当且仅当,我们有作为。由定理1.1和推论1.1 (1),有一个最小值点,这是一个临界点。因此,问题(1。1至少有一个弱解。
定理2.3。假定的假设和持有。如果进一步的 存在,和这样对所有和 存在一些和这样 为和,在那里是一个常数,然后(1。1)具有至少一个解决方案。
2.4的话。我们可以发现我们的条件(七)[非常不同于条件7]因为我们证明这个的鞍点定理代替最小作用原理。
定理的证明2.3。我们证明满足(PS)条件。假设是这样一个序列呢是有界的, 。我们将证明它有收敛的子序列。通过和(1。6),我们有 对于一些正的常数,,。的评论2.2,(1。6)和(2.4),我们有 对于一些正的常数,,这意味着 对于一些正的常数,。由(1。6),上面的不平等意味着 对于积极的常数。一个已经 如果是无限的,我们可以假定,将子序列,如果有必要, 由(2.8)和(2.9),我们有 对于所有大和每一个。由(2.10),,一个对于所有大。它遵循从,(2.4),(2.6),(2.7),以上不平等 对于大型和积极的常数,这与有界性自。因此是有界的。此外,是有界的2.6)。类似的计算引理3.1 (9)表明,满足(PS)条件。我们现在证明满足其他条件的鞍点定理。假设,然后。从上面的计算,一个 对所有,这意味着 作为在。而且,通过和我们有 为,这意味着 作为在自。现在定理2.3证明(2.13),(2.15),鞍点定理。
定理2.5。假定的假设成立。假设凹和满足 对于一些积极的常数,然后(1。1)具有至少一个解决方案。
定理的证明2.5。考虑相应的功能在给出的 这是连续可微的、有界和弱上半连续吗。类似的证明引理3.1 (2),一个是凸的对于每一个。的条件,我们有。类似于定理3.1的证明,我们有 这意味着作为,统一与通过和(1。6)。另一方面, 这意味着作为通过和(1。6)。我们完成我们的证明定理1。1。
承认
第一作者得到了湖南省研究生科研和创新项目(CX2011B078)。