文摘

我们将证明一个定理提供了充分条件的可分性某些虚二次域的类数2,在那里是一个整数的判别等领域只有两个主要因子。

1。介绍

让与判别二次领域和它的类数。狭义的类的数量用,如果,然后和基本单位有规范,否则。如果判别有两个不同的质数因子,然后通过高斯的属理论双阶级群吗是循环的。类数据的可分性的问题已经被许多作者研究数量字段。有哈1)、本田(2],Murty [3),内格尔(4],桑德拉让[5温伯格],[6山本],[7),其中。Ankeny和Chowla8]证明存在无穷多虚二次域每个与类数字整除在哪里是任何理性的整数。后,Belabas Fouvry [9证明了素数有无穷多这样真正的二次域的类数不是能被3整除。此外,许多作者(7,10- - - - - -13)研究的条件能整除当双阶级群是循环的。然而,标准能整除只有闻名和二次场的存在任意大型循环双阶级集团还不知道。最近,机构和李14]证明有无限多的理想虚二次域的类组有一个元素,其判别只有两个主要因子。在这篇文章中,我们将证明一个定理,理想的顺序类的某些虚二次域是整除。此外,我们注意到这些字段只有不同的判别两个主要因子。最后,我们将给出一个表作为我们的主要定理应用程序。

2。主要定理

我们的主要定理是这样的。

定理2.1。让与质数square-free整数。如果有一个质数令人满意的,然后至少正整数在哪里。

为了证明这个定理,我们需要以下基本引理和定理。

引理2.2。如果的形式在哪里和都是质数,然后有一个'这样。

证明。让和二次非剩余的和是质数,这样,,在那里表示勒让德符号和。因此,通过中国剩余定理,我们可以写,对于一个正整数。现在,我们考虑的数字形式这样对于一些。自是不同的残留对于一些,然后我们得到,。我们断言,。真的,我们假设,然后有一个'这样,我们有,。因此,在此之前,或。但自,然后和;这是矛盾的,。因此,成立。因此,由狄利克雷素数定理,有一个'令人满意的。因此,它是见过。

下面的定理是广义的考尔斯(15]。

定理2.3。让,,是正整数和,让square-free和消极。如果不规范的原始元素每当正确划分,然后。

考尔斯证明了这个定理利用分解的主要因子。但在[Mollin强调16),它包含了一些印刷错误,然后他提供了以下定理更有用的练习比定理2。4。

定理2.4。让是一个square-free整数的形式在哪里,,是正整数,这样吗和。如果,然后。

定理2.5。让是一个square-free整数,让,是整数,(我) 是一个原始的元素的标准,(2) 不是原始元素的标准对所有正确划分,(3)如果,然后。
然后分裂的指数,在那里班群吗。

3所示。主要定理的证明

现在我们将提供一个基本定理的证明是不切实际的所有上述工作。

证明。假设的引理2。2,它遵循合适的'与这样。然而,从勒让德符号的属性,我们可以写对于任何一个整数。自,那么我们就有。因此,有整数这样的方程在整数解。因此,我们可以写,在那里。从这个方程,这是见过是一种原始的规范的元素,然后由定理2。5,分。

我们有以下结果。

推论3.1。让是一个square-free和负整数的形式与,是正整数,,,是质数,这样,。如果是一种原始的规范的元素,那么理想的顺序类组是。

推论3.2。让是一个square-free和负整数的形式,然后存在34433虚二次域满足断言的主要定理。

4所示。表

上述虚二次域对应的值给定的表吗1。我们提供了一个表的例子来说明上述结果,使用C编程语言。此外,它很容易看到虚二次域的类数是整除从表1。

承认

这项工作是支持的部分科研项目数量IU-YADOP 12368。