文摘
摘要一类摄动沃尔泰拉卷积方程与三个内核函数被认为是类型。内核函数,,,对应的方程插值热量和波方程。从2010年获得的结果概括我们之前的结果。
1。介绍
我们研究摄动沃尔泰拉方程的形式 在哪里是伽马函数,表示卷积,,,拉普拉斯算子。
沃尔泰拉卷积方程的摄动方法类型已经被许多作者,看,例如,(1]。这种方法可能适用于更一般的,也没有必要卷积方程。最近,摄动沃尔泰拉方程,研究了确定性和随机,例如Karczewska和Lizama [2]。作者考虑到类与三个内核函数满足一个标量方程辅助方程。这样的条件使构建家庭的分解的运营商承认沃尔泰拉的方程。结果,分解的方法来考虑可以使用沃尔泰拉方程。不幸的是,分解的方法提出的Karczewska和Lizama可用于(1.1)对于一些特定的内核函数和,为,只有。因此,在我们的例子中,方法(2不能申请)(1.1)。
动机分数积分微分方程的研究来自于几个问题出现在物理学,生物学,和/或工程。有很多现象由确定性或随机分数方程建模,看到的,例如,(3- - - - - -7]。随机沃尔泰拉方程若干结果,部分,特别是在这些方程强解的存在已经得到我们中的一个(8- - - - - -14]。
方程(1.1)是一个有趣的例子,使用所谓的分数微积分理论的“古典”方程。让我们强调,(1.1)是一个泛化的方程插入热量和波方程(15,16]。两个运算中出现(1.1)与内核函数和分别代表了扰动作用于沃尔泰拉卷积方程类型。
分数微积分是一个泛化的普通分化和itegration任意顺序4,17- - - - - -19]。有一个分数阶微积分应用越来越浓的兴趣在数学的许多领域20.],力学[5,21,22)、物理(23,24),甚至在生物学(6,25]。彻底和全面的调查分析和数值方法用于解决许多问题与分数阶微积分的应用程序包含在最近的专著Baleanu et al。17]。
谱方法属于常用工具获得近似解复杂的流体动力学方程等问题,天气预测,和许多其他的专著(见例如,Canuto et al。26])。最近,这些方法已被用来作为工具的计算分数微分和积分(27和解决沃尔泰拉方程部分时间28]。一般来说,光谱的方法在于表示解决方程考虑在一个有限的子空间而无限的精确解属于空间维度。本文提出的方法属于该类。
本文组织如下。节2一般的有限元离散积分方程近似,提出了有限维希尔伯特空间的使用是解释说。部分3提出了一种线性方程组获得(1.1)通过一个离散的配方使数值解。矩阵的具体形式出现在近似为一维情况提出的部分3.1和两个空间维度3.2。一组基函数表示3.3和数值方法用于解决大型稀疏线性系统进行了部分3.4。数值解的例子(1.1)详细展示和讨论部分4,而误差估计精度的近似结果5。
2。伽辽金法
让表示一组正交函数的区间,生成一个希尔伯特空间。
定义2.1。让。数量 在哪里是一个加权函数,称为数积的函数的时间间隔。
让我们回想一下,两个函数是正交时 在哪里克罗内克符号。
我们正在寻找一个近似解(1.1)作为一个元素的子空间,张成第一个基本功能 简单的符号,让我们考虑(1.1在一个空间维度。插入(2。3)(1.1),一个获得 在函数代表了近似误差函数。从(2。3)和(2。4),一个人
定义2.2。的加勒金近似(1.1)函数,这样,也就是说,
它遵循从定义2。2和2。1和(2。5), 因此 使用(2。2),(2。8)可以用缩写形式 在哪里 在一般情况下。
一系列的解决方案耦合微分方程(2。9)系数提供了伽辽金近似(2。3)(1.1)。
3所示。离散化
使用离散化方程可以解决一个空间变量。在one-dimesional情况下,我们引入一个网格点,在那里。网格近似函数的二阶导数是由 然后的一组方程(2。9)以下形式: 在哪里和。
在二维情况下,网格,在那里为方程组(2。9)的形式 两组线性方程(3.2)和(3.3)可以用一个矩阵形式 在向量,和矩阵有块形式 详细的结构块发生在(3.5)下面。
3.1。一维情况下
块和是维列向量。为了空间,我们互换
块的形式 在哪里,,而
向量和是维空间,而矩阵有尺寸。矩阵是稀疏的。矩阵的非零元素的数量最多是(封闭边界条件)(周期性边界条件)。
3.2。二维情况
在二维情况下,维向量和解读为 块内嵌块的形式吗 在每学期是嵌入式块的尺寸吗。特别是 块是一个矩阵与所有的空元素,块又是一个稀疏矩阵的形式 在哪里,, 并阻止是对角线 矩阵稀疏矩阵的吗元素。然而,只有最多(封闭边界条件)(与周期性边界条件)元素非零。
3.3。基函数
的基函数必须是正交的间隔对权重函数。我们用勒让德多项式的集合勒让德微分方程的解决方案 为。区间上的勒让德多项式是正交的与权函数 基函数的形式 确保功能实现正规化关系(2。2)间隔。Therfeore他们可以用来作为基础的伽辽金方法。原则上,任何一组标准正交函数的区间可以使用。对于我们的目的,然而,拉格朗日多项式出现在实际应用更有效率比切比雪夫多项式为实例。
3.4。方法求解大型线性系统
的矩阵在一和二维情况下,稀疏矩阵。为了获得一个合理的近似解(1.1),他们的尺寸要大。这些事实表明,应用迭代方法求解线性系统(3.4)。
一般来说,矩阵非对称。我们已经测试了两种迭代方法为解决大规模开发的例子非对称矩阵的线性系统。其中的一个看法是所谓BiCGSTAB(双共轭梯度稳定方法)(29日,30.]。另一个是巨磁电阻(一般微小残留方法)(29日,31日]。在这两个方法,一个合适的预处理是必要的。
对本文研究的病例,gmr方法似乎更有效。通常,经过适当的选择的辅助参数的计算,gmr是需要的迭代次数少,收敛速度比BiCGSTAB方法。
4所示。数值解的例子
在本节中,几个例子的近似数值解(1.1提出了)。这个函数 在哪里和是空间维度作为初始条件。这样的函数,它只比0完全不同在一个有限的地区,可能代表一个分布的温度杆(或飞机)局部加热或气体的分布(或液体)粒子可能分散在非齐次的媒介。常量的值和在(4所示。1)选择一个清晰的图形演示的结果。
4.1。一维情况下
近似表示的数值结果,我们选择了一个时间间隔与等距网格点。希耳伯特空间跨越的基础上吗功能描述部分3.3。
在我们之前的研究28),我们已经表明,当增加从来非微扰演化由解决方案(1.1),从纯热量(扩散)行为变为纯粹的波动。下面我们现在结果分数情况(中间)指出扰动的影响。为了空间,我们将展示几个例子,解释一般的扰动影响的特点的解决方案。
图1说明了摄动形式的影响,在那里代表了一种强度的扰动,而函数。清楚地看到,这个扰动,周期在时间变量,产生波浪的形成与amlitudes强烈取决于空间扰动的强度。结果反号的扰动项,这里介绍,(不是为了空间),展示了这种扰动减少扩散系统的行为和执行一个波状的进化。
表单的扰动的影响,当呈现在图2。在前一种情况下代表扰动的强度。很明显,这种形式的扰动通常会增加解决方案的振幅。的变化扰动的迹象,,的振幅产生相反的效果减少,像在倾销。
4.2。二维情况
在本节,我们将展示一些二维情况下的结果。计算网格上的表现点,,,基本功能生成的希尔伯特空间。
数据3,4,5说明了几个数值的例子解决方案(1.1)和不同的扰动函数和。
这个案子,对应于非微扰方程。其解决方案,从图3波的方式,发展有重大影响的扩散将部分的价值之间的纯扩散情况()和纯波情况下()。更多的非微扰演化解决方案的例子(1.1)在二维情况下,[28]。
结果二维情况下的非零扰动通常表现出类似在一维情况下属性。在一维情况下,扰动的形式的存在导致增加了一波频率(见,例如,图4)。换句话说,这种形式产生额外的波浪的扰动解决方案的行为。扰动项的标志的变化改变行为的阶段。
扰动项的存在主要解决方案的振幅的影响。比较图5图4,一个注意到振幅增加。扰动的迹象导致减少的幅度,就像在倾销。
5。精确的数值结果
比较分析和数值解(1.1)可能只是没有扰动,时维的情况或。尽管存在一个任意的分析这种情况下的解决方案,()的米塔格-莱弗勒函数(15,16),他们的计算是不实际的。
对于non-perturbed情况,我们定义在[28)的最大一个错误估计之差的绝对值的解析解和近似数值 最大值是接管所有网格点在哪里。为和2,,,错误的估计总是小于。
当我们考虑方法获取分数摄动沃尔泰拉方程数值解(1.1),有三个层次的数值错误。
第一级对应加勒金近似的误差(2。3),这取决于基本功能的数字。在特殊情况下,当,和操作员被身份,我们可以估计的近似误差使用以下结果(27]。
备注(见[5.127话5.2])。如果(见(2。3))的Legendre-Gauss-Lobatto插值,,,,然后 在哪里是一个积极的常数(见[26])。因此,我们可以得到以下错误界限:
还在第一个层面上,积分(2.11)和(2.12)计算。在我们的方法中,我们使用一个Gauss-Legendre正交数值积分。确切的可以找到这种正交误差,例如,在定理7.3.5 (32]。
第二层次是拉普拉斯算子离散化(部分3)。在这种情况下,数值可以估计错误,在那里是空间网格步。
最后一个是gmr的残留误差方法求解大型线性系统。在我们的计算中,残差阈值设置为,这是足够小,获得可靠的解决方案。
联合误差估计从所有三个层次不明显。此外,在考虑摄动的情况下,分析解决方案(1.1)是未知的。因此,为了估计数值解的准确性,我们进行以下方式也适用于两个——和高维情况下。
当我们不能面对数值解与解析,我们可以研究近似解如何改变与越来越多的网格点和越来越多的基本功能。可以看出,越来越多的网格点和越来越多的基本功能会导致更好的近似真实的(未知的)解决方案。采取适当的这些数字序列估计连续解决方案之间的最大差异,可以展示近似误差的收敛。让我们定义以下数量。
让表示两个解决方案获得了相同的最大区别和相同的网格(定义为),但与不同数量的基本功能和。
然后让表示两个解决方案获得了相同的最大区别和相同的希尔伯特空间(相同的),但与不同数量的网格点(一个方向)和 在哪里意味着更大的节点的价值大小所得值计算网格规模较小的摘要插值。
在二维情况下,适当的错误估计读 数据6,7,8现在的一些例子的依赖上述定义的错误估计网格点的数量和大小的基础。提出了同时包含一个例子,边界条件的二维例和2例。
的一般结论,调查如下。在所有情况下的误差估计下降速度与越来越多的网格点或增加大小的基础。减少在日志块被视为接近一条直线,即误差估计减少几乎成倍增长。然后足够大的网格和足够大的基本功能,人们可以获得,原则上,一个错误小于任意小的数字。在实践中增加基础的尺寸和网格产生急剧增加的数值操作导致accumultion舍入误差。该属性可以通过增加补偿的精度表示实数(使用双精度或四)等等。所有的这些行为都要求越来越高的计算机能力获得的结果在合理的计算时间。
我们的估计显示,然而,一个合理的近似可以获得相对较低的值和。
承认
a . Karczewska感谢支持“随机分析研究网络,”格兰特PIA-CONICYT-Scientific研究环。1112年。