文摘

汉堡数值解的方程基于伽辽金方法使用立方b样重量和插值函数设置。结果表明,该方法能够解决汉堡的粘度方程准确值从很小到大。三个标准问题是用来验证该算法。一个线性稳定性分析表明,基于Cranck-Nicolson近似的数值方案是无条件稳定的。

1。介绍

汉堡的方程的研究是非常重要的,因为它发生在流动的近似理论通过激波传播在粘性流体(1和建模的动荡2]。汉堡的方程和navier - stokes方程的形式是相似的高阶非线性项和发生衍生品与小系数(3]。应用程序被发现等众多领域的数论、气体动力学、热传导,弹性等等4]。一维汉堡的方程的精确解所调查本顿和Platzman5]。然而,困难出现在汉堡的数值解的方程的粘度系数值小,大雷诺数,这对应于陡波前(6]。在这些情况下,数值方法可能产生的结果,包括大型非物理振荡,除非在不切实际的小元素的大小。许多研究已经完成在汉堡的方程的数值解来处理解决方案大雷诺数的值。一些早期的数值研究记录如下:有限元方法已经由考德威尔et al。7)解决汉堡的方程通过改变元素的大小在每个阶段使用信息从前面三个步骤。加勒金和Petrov-Galerkin有限元方法涉及一个与时间有关的网格(8,9),和产品近似方法(10),已经成功地获得准确的数值解甚至用于小粘度系数。

鲁宾和小坟墓。11)使用了样条函数的数值解技术和quasilinearization汉堡一个空间变量的方程。三次样条搭配程序开发汉堡的方程在报纸上(12- - - - - -15]。苏(16,17)解决了汉堡的方程数值使用新的相似性技术,使用修改后的扩展tanh-function方法和分析。Raslan [18)解决了汉堡的方程使用搭配方法基于二次b样条有限元法。在本文中,我们建立了用伽辽金有限元法的方法与三次样条函数作为形状函数来获得数值解对汉堡的方程。结果系统将系统的常微分方程可以解决使用Crank-Nicolson近似。

2。的控制方程

考虑到汉堡的方程形式 在哪里和积极的参数和下标吗和分别表示时间和空间分异。适当的边界条件将被选中

应用伽辽金方法(19- - - - - -21)(2.1)和加权函数、分部积分和选择的边界条件(2.2)导致弱形式 的右边(2.3只在边界)评估。插值函数的条件现在仅仅只有及其一阶导数的函数需要连续的整个地区。然而,我们选择使用,试验功能,非常灵活的三次样条函数的著名的优势。

3所示。b样条有限元的解决方案

该地区被划分到有限元素的长度相等通过结这样,让是立方b样与结分。样条函数的集合形成一个基础功能定义。我们寻求近似解决方案使用这些样条函数作为试函数 在哪里时间量是确定的2.3)。

定义一个有限元局部坐标系与节点和,每立方b样条涵盖四个元素(22];因此每个元素了四样条函数给出的一个局部坐标系,在那里和,通过 这是立方b样条在单个元素的表示是最合适的有限元方法,所有其他样条函数在这个元素为零。

的样条和它的两个原则衍生品消失在时间间隔。在表1我们为了方便的值列表及其衍生物,在相关的结。

我们现在确定的有限元素的问题,结的元素节点。

使用(3.1)和表1我们看到,节点参数给出的参数通过 和一个函数的变化在元素是由

此外,我们有价值的属性确定第一和二阶导数节点(元素的边界),而这些也是连续的

有限元方程我们将设置不会表达的节点参数但从元素的参数,所以我们不得直接确定节点值与通常的有限元公式,但是这些总是可以恢复使用(3.3)和(3.5)。

现在我们将设置相关的元素矩阵(2.3)。一个典型的元素,我们有贡献

使用(3.4)(3.7)并确定权函数立方样条函数得到 可以写成矩阵形式为哪一个 在哪里。

的元素矩阵积分 在哪里只需要的值,对于这个典型的元素。的矩阵因此和矩阵是。一个相关的矩阵是由 这也取决于参数并将用于以下理论讨论。

矩阵的元素,可以确定代数(3.2)。然后,我们得到

结合来自所有元素导致的矩阵方程 在哪里 和由矩阵的元素在通常的方式,septadiagonal形式。我们认为齐次边界条件或所以这个词的右边(2.3)是零。每个矩阵的一般行具有以下形式: 在哪里,行。的矩阵和是对称的,而矩阵的形式有一个更复杂的结构。

我们将时间的中心和写 在哪里参数在时间吗,的步伐。然后(3.14),可以写成

的矩阵,是独立的时间;因此,他们将在计算中保持不变。而矩阵依赖于时间,因此,它必须重新计算每一步。应用边界条件和消除从(3.18),这就变成了septadiagonal系统并使用septadiagonal算法可以解决。

近似解的时间演化是由矢量的时间演化。这是发现通过不断解决系统(3.18),一旦最初的向量已计算的初始条件。系统(3.18)是septadiagonal使用septadiagonal算法可以解决,但需要一个内部迭代每个步伐与非线性范围条件的矩阵取决于。过程遵循以下解决方案。(我)在时间为内部迭代的初始步骤,我们近似通过计算从只有和获得第一个近似从(3.18)。我们可以进行迭代,使用(3.18)与矩阵计算从,有着完善的近似。(2)在其他步伐我们使用矩阵在内部的第一步迭代,来自,获得第一近似通过解决(3.18)。我们可以进行迭代,使用(3.18)与矩阵计算从两到三次,改进近似。

4所示。稳定性分析

调查的稳定数值方案(3.18)是基于冯·诺依曼理论的生长因子定义为一个典型的傅里叶模式 在哪里方式是号码,吗元素的大小,确定数值的线性化方案(3.18)。

在这种线性化,我们假设数量在非线性项是本地常数。这相当于假设相应的值也不变,等于什么。

一个线性递归关系对应于(3.18然后给出了) 在哪里 用(4.1)(4.2我们获得 在哪里

让和代入(4.4)给 在哪里是生长因子的模式。然后,生长因子的模量 因此,线性化方案是无条件稳定的。

5。初始状态

从初始条件在功能上,我们必须确定初始矢量这样的时间演化使用(3.18),就可以开始了。

第一个重写(3.1)对初始条件 在哪里是确定未知参数。要做到这一点,我们需要满足以下约束条件:(一)它必须同意初始条件在海里;(3.3)导致条件,也就是说,,(b)第一或二阶导数的近似初始条件应当同意与准确的初始条件范围的两端;(3.5)或(3.6)产生两个进一步的方程,。

初始矢量然后确定一个矩阵方程的解决方案来自(3.3)- (3.6) 这个系统可以使用托马斯算法解决。

6。测试问题

汉堡的方程数值解三个测试问题将被考虑。测量数值算法的准确性,我们计算分析和数值之间的差异的解决方案在每个网格点后指定的步伐和使用这些计算离散和误差准则。(一)汉堡的方程解析解(23] 在哪里。(6.1),在时间作为初始条件,数值解的时间决定,并利用边界条件。我们讨论了三种情况。(我)数据1和2向我们展示了数值解的行为粘度系数和有时从来从来,分别。看到的是较小的粘度值传播方面更陡。这些图表同意报告的阮和Reynen23在绘图精度)。在这两种情况下,如果精确解绘制在同一图中,曲线是没有区别的。的和误差准则比较结果提出了在报纸上(9,14),表中给出1,2,3。从这些表,我们发现目前的算法得到的错误比错误计算了(9,14]。(2)的情况,,在不同的时间,,,分别。计算的解析解和数值解的方法给出了表4相应,与以前的结果(15]。从表4,我们推断出数值解计算目前的算法更准确比评价(15),在不同的时间。(3)在这种情况下,我们接受,,粘度系数,。表中给出的结果5和6告诉我们使用目前的算法的计算误差小于相应的错误得到Raslan [18),甚至当我们选择大的步伐。(b)第二个解析解是(11]

我们将作为初始条件(6.2),在在范围内,与边界条件

为时,一个非常弱激波的发展,,我们获得一个温和的冲击波和当,一个强大的冲击波。的价值却降低了传播方面变得更陡。的和误差准则对这些模拟获得的相应的错误(9),给出了表7和8。对于大的值错误是小和的值减少了错误往往会增加,但值的呢这里,使用错误还是可以接受的。从表7和8,我们推断出错误计算目前的算法更准确比评价(9在不同的时间)。图3向我们展示了数值解的行为粘度系数,在不同的时间来。(c)第三个测试例子,考虑汉堡的特定的解析解的方程(8,10] 在哪里,是常数。

比较可以用8- - - - - -10,14,15),选择这些常数的值,,,。从初始条件(6.4),当。作为边界条件

从图4,可以看出解决方案代表了行波,最初位于 ,向右移动速度。目前的方法表现很好,直到波遇到右边界。数值结果在与解析解相比,论文中给出的结果(8- - - - - -10,14,15),称为直线法的方法(ML),标准伽辽金方法(SGA),产品近似有限元离散(PAG),三次b样条配置方法(CSCM),和一个汉堡数值解的方程使用立方b样条(CSCM),给出了表9。从表9数值和精确解之间的协议显得很满意。

7所示。结论

我们已经看到,这里的算法利用伽辽金法和三次样条形状函数比较好发表的准确性与其他方法,如线的方法,标准的伽辽金方法,产品近似有限元离散和立方b样条的搭配方法。的和在模拟误差准则是满意地小。线性稳定性分析基于冯·诺依曼理论表明,数值方案是无条件稳定的。我们得出这样的结论:一个基于伽辽金有限元方法与三次样条方法形状函数非常适合解决汉堡的计算方程。我们相信这种方法应适用于其他应用程序的连续性衍生品是必不可少的。