Backlund变换和丰富的显式解,得到了一类非线性波动方程齐次平衡法。这些解决方案包括有理函数的孤立波解,孤波解、奇异的解决方案,和三角函数的周期波的解决方案的类型。除了重新推导出一些已知的解决方案,一些全新的精确解也成立。明确和准确的特定解决方案的许多著名的非线性演化方程的重要的物理意义,如Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov方程,FitzHugh-Nagumo方程,Burgers-Huxley方程,Chaffee-Infante反应扩散方程,Newell-Whitehead方程,费雪方程,Fisher-Burgers方程,和一个等温催化系统,作为特殊情况。
<年代p一个ncl一个年代年代="end-abs">
1。介绍
孤波解和周期波解的存在性是一个重要的问题在非线性演化方程的研究。找到这样的方法解决方案可积方程是众所周知的:孤波的解决方案可以通过逆散射变换(<一个href="#B1">1一个>)和副大臣双线性方法(<一个href="#B2">2一个>),周期解可以表示为的等距的孤波由sech-function [<一个href="#B3">3一个>,<一个href="#B4">4一个>]。维斯等人开发了奇异流形方法引入Painleve性质在偏微分方程理论<一个href="#B5">5一个>]。美丽的奇异流形方法,这种扩张非线性PDE包含大量的信息关于这个PDE。一个方程,具有Painleve性质奇异流形方法导致Backlund变换,宽松的一对,和三浦转换,使连接副大臣双线性方法,Laplace-Darboux转换(<一个href="#B6">6一个>]。大多数非线性nonintegrable方程并不拥有Painleve性质;也就是说,他们不是免费从“活动”关键的奇点。对于一些nonintegrable非线性方程组仍然可以获得单一扩张通过将约束在任意函数Painleve扩张。这些是部分可积方程,维斯(<一个href="#B7">7一个>推测,这些系统可以减少可积方程。另一个治疗Hietarinta[提供的部分可积系统<一个href="#B8">8一个>]的泛化副大臣nonintegrable系统的双线性形式。他推测,完全可积的pde可以放到一个双线性形式。还有nonintegrable方程,可以放入双线性形式,然后局部可积性与可积性的水平定义为孤波的数量可以组合到一个N-soliton解决方案。局部可积性就意味着方程允许multisoliton人数限制的解决方案。在[<一个href="#B9">9一个>]Berloff和霍华德建议加入这些疗法使用Painleve扩张的部分nonintegrability和截断之前“常数项”水平的变换降低nonintegrable PDE多重线性方程。
Backlund变换不仅是一个有用的工具来获取一些孤立子方程的精确解从一个微不足道的“种子”,还与无限的守恒定律和逆散射法(<一个href="#B1">1一个>]。在[<一个href="#B10">10一个>- - - - - -<一个href="#B12">12一个>),王明梁提出了齐次平衡法求解非线性偏微分方程的有效方法。风扇和张延长了齐次平衡法,并提出了一个方法来获取Backlund变换的非线性演化方程(<一个href="#B13">13一个>]。在最近的一篇论文<一个href="#B14">14一个>),商获得了Backlund变换,一双宽松,一些新的显式精确解Hirota-Satsuma SWW方程(<一个href="#EEq3">2。3一个>)通过Backlund变换和扩展的双曲函数方法(<一个href="#B15">15一个>]。
在本文中,我们调查一般nonintegrable非线性对俩散方程<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq1">
在哪里<年代vg height="7.1750002" id="M2" style="vertical-align:-0.1254pt;width:8.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.9375 7.1750002" width="8.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,<年代vg height="13.425" id="M3" style="vertical-align:-2.29482pt;width:8.8500004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.8500004 13.425" width="8.8500004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,<年代vg height="9.9375" id="M4" style="vertical-align:-2.34499pt;width:8.0625px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.0625 9.9375" width="8.0625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,<年代vg height="10.7375" id="M5" style="vertical-align:-0.13794pt;width:7.9875002px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.9875002 10.7375" width="7.9875002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是任意的真正的常数。方程(<一个href="#EEq1">1.1一个>)包括许多著名的非线性方程组,应用背景是特殊的例子,比如汉堡方程,Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov方程,FitzHugh-Nagumo方程,Burgers-Huxley方程,Chaffee-Infante反应扩散方程,Newell-Whitehead方程,费雪方程,Fisher-Burgers方程,一个等温催化体系。齐次平衡方法扩展应用的一种可靠的治疗nonintegrable非线性方程(<一个href="#EEq1">1.1一个>)。一些Backlund变换和丰富的显式精确nonintegrable非线性方程的特解(<一个href="#EEq1">1.1一个>)通过对扩展齐次平衡法。一些显式精确解这里获得比一些已知的解决方案,有更多的一般形式和一些显式精确解获得全新的解决方案。
2。Nonintegrable Backlund变换的非线性波动方程
根据齐次平衡方法扩展,我们假设的解决方案(<一个href="#EEq1">1.1一个>)的形式<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq2">
在哪里<年代vg height="13.4875" id="M7" style="vertical-align:-2.34499pt;width:10.675px;" version="1.1" viewbox="0 0 10.675 13.4875" width="10.675" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,<年代vg height="13.425" id="M8" style="vertical-align:-2.29482pt;width:10.2px;" version="1.1" viewbox="0 0 10.2 13.425" width="10.2" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
两个函数确定并吗<年代vg height="14.6" id="M9" style="vertical-align:-3.13504pt;width:44.037498px;" version="1.1" viewbox="0 0 44.037498 14.6" width="44.037498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
(
,
)
是一个解决方案(<一个href="#EEq1">1.1一个>)。
从(<一个href="#EEq2">2。1一个>),我们有<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq3">
用(<一个href="#EEq2">2。1一个>)- (<一个href="#EEq3">2。5一个>)的左侧(<一个href="#EEq1">1.1一个>),并收集所有条款<年代vg height="17.862499" id="M14" style="vertical-align:-3.21404pt;width:16.85px;" version="1.1" viewbox="0 0 16.85 17.862499" width="16.85" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
3
,我们获得<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq7">
设定的系数<年代vg height="17.862499" id="M16" style="vertical-align:-3.21404pt;width:16.85px;" version="1.1" viewbox="0 0 16.85 17.862499" width="16.85" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
3
在(<一个href="#EEq7">2。6一个>)为零,我们获得的常微分方程<年代vg height="13.4875" id="M17" style="vertical-align:-2.34499pt;width:10.675px;" version="1.1" viewbox="0 0 10.675 13.4875" width="10.675" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
有一个解决方案<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq9">
在哪里<年代vg height="20.4125" id="M20" style="vertical-align:-2.36253pt;width:147.60001px;" version="1.1" viewbox="0 0 147.60001 20.4125" width="147.60001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
=
(
±
2
+
8
)
/
2
。然后<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq10">
由于(<一个href="#EEq8">2。7一个>)- (<一个href="#EEq10">2。9一个>),(<一个href="#EEq7">2。6一个>)成为<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq11">
设定的系数<年代vg height="16.775" id="M23" style="vertical-align:-2.34499pt;width:63.299999px;" version="1.1" viewbox="0 0 63.299999 16.775" width="63.299999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,
,
0
分别为零,从(很容易看到<一个href="#EEq11">2.10一个>),<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq12">
用(<一个href="#EEq9">2。8一个>)(<一个href="#EEq2">2。1一个>),我们获得一个Backlund变换<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq15">
在哪里<年代vg height="21.375" id="M28" style="vertical-align:-3.13504pt;width:184.21249px;" version="1.1" viewbox="0 0 184.21249 21.375" width="184.21249" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
=
(
±
2
+
8
)
/
2
,
,
1
满足(<一个href="#EEq12">2.11一个>)- (<一个href="#EEq12">2.13一个>)。用一个种子的解决方案<年代vg height="14.6" id="M29" style="vertical-align:-3.13504pt;width:44.037498px;" version="1.1" viewbox="0 0 44.037498 14.6" width="44.037498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
(
,
)
(<一个href="#EEq1">1.1一个>)成线性方程(<一个href="#EEq12">2.11一个>)和(<一个href="#EEq12">2.12一个>),然后解决(<一个href="#EEq12">2.11一个>)和(<一个href="#EEq12">2.12一个>),我们可以得到一个新的解决方案(<一个href="#EEq1">1.1一个>)(<一个href="#EEq15">2.14一个>)。因此,我们可以获得无限的解决方案(<一个href="#EEq1">1.1一个>)由Backlund变换(<一个href="#EEq15">2.14一个>)和(<一个href="#EEq12">2.11一个>)- (<一个href="#EEq12">2.12一个>)从种子的解决方案(<一个href="#EEq1">1.1一个>)。
采取<年代vg height="14.6" id="M30" style="vertical-align:-3.13504pt;width:40.825001px;" version="1.1" viewbox="0 0 40.825001 14.6" width="40.825001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
=
0
,(<一个href="#EEq12">2.11一个>)- (<一个href="#EEq15">2.14一个>),我们获得一个转换<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq16">
变换(<一个href="#EEq1">1.1一个>)线性方程<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq17">
在哪里<年代vg height="20.4125" id="M33" style="vertical-align:-2.36253pt;width:147.60001px;" version="1.1" viewbox="0 0 147.60001 20.4125" width="147.60001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
=
(
±
2
+
8
)
/
2
,<年代vg height="10.325" id="M34" style="vertical-align:-0.0pt;width:12.225px;" version="1.1" viewbox="0 0 12.225 10.325" width="12.225" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个任意常数。
采取<年代vg height="21.112499" id="M35" style="vertical-align:-3.13504pt;width:125.525px;" version="1.1" viewbox="0 0 125.525 21.112499" width="125.525" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
√
=
(
−
±
Δ
)
/
2
,从(<一个href="#EEq12">2.11一个>)- (<一个href="#EEq15">2.14一个>我们获得另一个转换<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq19">
方程(<一个href="#EEq1">1.1一个>)可以通过求解两个线性方程来解决<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq20">
在哪里<年代vg height="21.112499" id="M38" style="vertical-align:-3.13504pt;width:125.525px;" version="1.1" viewbox="0 0 125.525 21.112499" width="125.525" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
√
=
(
−
±
Δ
)
/
2
,<年代vg height="20.4125" id="M39" style="vertical-align:-2.36253pt;width:147.60001px;" version="1.1" viewbox="0 0 147.60001 20.4125" width="147.60001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
=
(
±
2
+
8
)
/
2
,<年代vg height="16.700001" id="M40" style="vertical-align:-2.34499pt;width:86.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 86.875 16.700001" width="86.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Δ
=
2
−
4
。
3所示。确切的明确的解决方案(<一个href="#EEq1">1.1一个>)
在本节中,我们想要获得丰富的具体明确的特定的解决方案(<一个href="#EEq1">1.1一个>从Backlund变换)(<一个href="#EEq15">2.14一个>)和一个简单的解决方案(<一个href="#EEq1">1.1一个>)。
注意的齐次性质(<一个href="#EEq17">2.16一个>我们可以期待<年代vg height="13.425" id="M41" style="vertical-align:-2.29482pt;width:10.2px;" version="1.1" viewbox="0 0 10.2 13.425" width="10.2" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
在(<一个href="#EEq17">2.16一个>)的形式<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq22">
与<年代vg height="10.55" id="M43" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.325px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.325 10.55" width="11.325" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,<年代vg height="10.325" id="M44" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.625 10.325" width="11.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,<年代vg height="10.6125" id="M45" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,<年代vg height="10.7375" id="M46" style="vertical-align:-0.13794pt;width:8.6000004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.6000004 10.7375" width="8.6000004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,<年代vg height="7.1875" id="M47" style="vertical-align:-0.13794pt;width:10.7625px;" version="1.1" viewbox="0 0 10.7625 7.1875" width="10.7625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,<年代vg height="14.625" id="M48" style="vertical-align:-3.25793pt;width:13.7625px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.7625 14.625" width="13.7625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
常量待定。用(<一个href="#EEq22">3所示。1一个>)(<一个href="#EEq17">2.16一个>),得到一组非线性代数方程<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq23">
解决(<一个href="#EEq23">3所示。2一个>),我们有以下。
<年代p一个ncl一个年代s="statement" id="casee1">案例1。我>年代p一个n><年代vg height="10.55" id="M50" style="vertical-align:-0.0pt;width:42.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 42.224998 10.55" width="42.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
,<年代vg height="13.55" id="M51" style="vertical-align:-2.29482pt;width:54.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 54.224998 13.55" width="54.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
/
,<年代vg height="16.7125" id="M52" style="vertical-align:-2.29482pt;width:71.087502px;" version="1.1" viewbox="0 0 71.087502 16.7125" width="71.087502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
2
−
,<年代vg height="10.7375" id="M53" style="vertical-align:-0.13794pt;width:8.6000004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.6000004 10.7375" width="8.6000004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个二阶代数方程的根<年代vg height="16.775" id="M54" style="vertical-align:-2.34499pt;width:163.925px;" version="1.1" viewbox="0 0 163.925 16.775" width="163.925" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
2
+
)
2
+
+
=
0
。年代p一个n>
例2。我>年代p一个n><年代vg height="10.55" id="M55" style="vertical-align:-0.0pt;width:52.924999px;" version="1.1" viewbox="0 0 52.924999 10.55" width="52.924999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
−
,<年代vg height="13.55" id="M56" style="vertical-align:-2.29482pt;width:54.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 54.224998 13.55" width="54.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
/
,<年代vg height="16.7125" id="M57" style="vertical-align:-2.29482pt;width:71.087502px;" version="1.1" viewbox="0 0 71.087502 16.7125" width="71.087502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
−
2
,<年代vg height="10.7375" id="M58" style="vertical-align:-0.13794pt;width:8.6000004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.6000004 10.7375" width="8.6000004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个二阶代数方程的根<年代vg height="16.775" id="M59" style="vertical-align:-2.34499pt;width:163.925px;" version="1.1" viewbox="0 0 163.925 16.775" width="163.925" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
2
+
)
2
−
+
=
0
。年代p一个n>
因此,我们得到以下的显式精确解(<一个href="#EEq1">1.1一个>)由<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq28">
在哪里<年代vg height="20.4125" id="M61" style="vertical-align:-2.36253pt;width:147.60001px;" version="1.1" viewbox="0 0 147.60001 20.4125" width="147.60001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
=
(
±
2
+
8
)
/
2
,<年代vg height="16.7125" id="M62" style="vertical-align:-2.29482pt;width:71.087502px;" version="1.1" viewbox="0 0 71.087502 16.7125" width="71.087502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
2
−
,<年代vg height="10.7375" id="M63" style="vertical-align:-0.13794pt;width:8.6000004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.6000004 10.7375" width="8.6000004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个二阶代数方程的根<年代vg height="16.775" id="M64" style="vertical-align:-2.34499pt;width:163.925px;" version="1.1" viewbox="0 0 163.925 16.775" width="163.925" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
2
+
)
2
+
+
=
0
,<年代vg height="13.125" id="M65" style="vertical-align:-1.95624pt;width:35.587502px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.587502 13.125" width="35.587502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
≠
0
,<年代vg height="14.625" id="M66" style="vertical-align:-3.25793pt;width:13.7625px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.7625 14.625" width="13.7625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
任意常数。
我们也可以获得以下的显式精确解(<一个href="#EEq1">1.1一个>)由<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq29">
在哪里<年代vg height="20.4125" id="M68" style="vertical-align:-2.36253pt;width:147.60001px;" version="1.1" viewbox="0 0 147.60001 20.4125" width="147.60001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
=
(
±
2
+
8
)
/
2
,<年代vg height="16.7125" id="M69" style="vertical-align:-2.29482pt;width:71.087502px;" version="1.1" viewbox="0 0 71.087502 16.7125" width="71.087502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
−
2
,<年代vg height="10.7375" id="M70" style="vertical-align:-0.13794pt;width:8.6000004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.6000004 10.7375" width="8.6000004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个二阶代数方程的根<年代vg height="16.775" id="M71" style="vertical-align:-2.34499pt;width:163.925px;" version="1.1" viewbox="0 0 163.925 16.775" width="163.925" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
2
+
)
2
−
+
=
0
,<年代vg height="13.125" id="M72" style="vertical-align:-1.95624pt;width:35.587502px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.587502 13.125" width="35.587502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
≠
0
,<年代vg height="14.625" id="M73" style="vertical-align:-3.25793pt;width:13.7625px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.7625 14.625" width="13.7625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
任意常数。
通过直接计算,我们容易获得以下两个有用的公式:<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq30">
在哪里<年代vg height="10.6125" id="M76" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是任意的。
由于两个公式(<一个href="#EEq30">3所示。5一个>)和(<一个href="#EEq30">3所示。6一个>),我们可以断言。
解决方案(<一个href="#EEq28">3所示。3一个>)((<一个href="#EEq29">3所示。4一个>),职责。)扭结孤子解的类型<年代vg height="11.0625" id="M77" style="vertical-align:-0.30096pt;width:37.8125px;" version="1.1" viewbox="0 0 37.8125 11.0625" width="37.8125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
>
0
(<年代vg height="11.0625" id="M78" style="vertical-align:-0.30096pt;width:37.8125px;" version="1.1" viewbox="0 0 37.8125 11.0625" width="37.8125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
<
0
、职责)。
解决方案(<一个href="#EEq28">3所示。3一个>)((<一个href="#EEq29">3所示。4一个>奇异的类),职责。)孤波解的csae类型<年代vg height="11.0625" id="M79" style="vertical-align:-0.30096pt;width:37.8125px;" version="1.1" viewbox="0 0 37.8125 11.0625" width="37.8125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
<
0
(<年代vg height="11.0625" id="M80" style="vertical-align:-0.30096pt;width:37.8125px;" version="1.1" viewbox="0 0 37.8125 11.0625" width="37.8125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
>
0
、职责)。
类似地,我们假设<年代vg height="13.425" id="M81" style="vertical-align:-2.29482pt;width:10.2px;" version="1.1" viewbox="0 0 10.2 13.425" width="10.2" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
在(<一个href="#EEq17">2.16一个>)的形式<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq32">
与<年代vg height="10.55" id="M83" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.325px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.325 10.55" width="11.325" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,<年代vg height="10.325" id="M84" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.625 10.325" width="11.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,<年代vg height="10.6125" id="M85" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,<年代vg height="10.7375" id="M86" style="vertical-align:-0.13794pt;width:8.6000004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.6000004 10.7375" width="8.6000004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,<年代vg height="7.1875" id="M87" style="vertical-align:-0.13794pt;width:10.7625px;" version="1.1" viewbox="0 0 10.7625 7.1875" width="10.7625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,<年代vg height="14.625" id="M88" style="vertical-align:-3.25793pt;width:13.7625px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.7625 14.625" width="13.7625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
常量待定。用(<一个href="#EEq32">3所示。7一个>)(<一个href="#EEq17">2.16一个>),得到一组非线性代数方程<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq33">
解决(<一个href="#EEq33">3所示。8一个>),我们有以下。
<年代p一个ncl一个年代s="statement" id="casee11">案例1。我>年代p一个n><年代vg height="10.725" id="M90" style="vertical-align:-0.13794pt;width:46.462502px;" version="1.1" viewbox="0 0 46.462502 10.725" width="46.462502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
,<年代vg height="13.55" id="M91" style="vertical-align:-2.29482pt;width:54.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 54.224998 13.55" width="54.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
/
,<年代vg height="16.7125" id="M92" style="vertical-align:-2.29482pt;width:86.362503px;" version="1.1" viewbox="0 0 86.362503 16.7125" width="86.362503" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
(
2
+
)
,<年代vg height="10.7375" id="M93" style="vertical-align:-0.13794pt;width:8.6000004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.6000004 10.7375" width="8.6000004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个二阶代数方程的根<年代vg height="16.775" id="M94" style="vertical-align:-2.34499pt;width:168.78751px;" version="1.1" viewbox="0 0 168.78751 16.775" width="168.78751" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
2
+
)
2
−
−
=
0
,<年代vg height="20.4125" id="M95" style="vertical-align:-2.55817pt;width:57.400002px;" version="1.1" viewbox="0 0 57.400002 20.4125" width="57.400002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
=
−
1
。年代p一个n>
例2。我>年代p一个n><年代vg height="10.725" id="M96" style="vertical-align:-0.13794pt;width:57.162498px;" version="1.1" viewbox="0 0 57.162498 10.725" width="57.162498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
−
,<年代vg height="13.55" id="M97" style="vertical-align:-2.29482pt;width:54.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 54.224998 13.55" width="54.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
/
,<年代vg height="16.7125" id="M98" style="vertical-align:-2.29482pt;width:97.0625px;" version="1.1" viewbox="0 0 97.0625 16.7125" width="97.0625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
−
(
2
+
)
,<年代vg height="10.7375" id="M99" style="vertical-align:-0.13794pt;width:8.6000004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.6000004 10.7375" width="8.6000004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个二阶代数方程的根<年代vg height="16.775" id="M100" style="vertical-align:-2.34499pt;width:168.78751px;" version="1.1" viewbox="0 0 168.78751 16.775" width="168.78751" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
2
+
)
2
+
−
=
0
,<年代vg height="20.4125" id="M101" style="vertical-align:-2.55817pt;width:57.400002px;" version="1.1" viewbox="0 0 57.400002 20.4125" width="57.400002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
=
−
1
。年代p一个n>
根据案例的结果<一个href="#casee11">1一个>,从(<一个href="#EEq16">2.15一个>)和(<一个href="#EEq32">3所示。7一个>),我们获得的具体明确的解决方案(<一个href="#EEq1">1.1一个>)由<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq38">
在哪里<年代vg height="20.4125" id="M103" style="vertical-align:-2.36253pt;width:147.60001px;" version="1.1" viewbox="0 0 147.60001 20.4125" width="147.60001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
=
(
±
2
+
8
)
/
2
,<年代vg height="14.625" id="M104" style="vertical-align:-3.25793pt;width:108.6125px;" version="1.1" viewbox="0 0 108.6125 14.625" width="108.6125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
+
+
0
,<年代vg height="16.7125" id="M105" style="vertical-align:-2.29482pt;width:86.362503px;" version="1.1" viewbox="0 0 86.362503 16.7125" width="86.362503" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
(
2
+
)
,<年代vg height="10.7375" id="M106" style="vertical-align:-0.13794pt;width:8.6000004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.6000004 10.7375" width="8.6000004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个二阶代数方程的根<年代vg height="16.775" id="M107" style="vertical-align:-2.34499pt;width:168.78751px;" version="1.1" viewbox="0 0 168.78751 16.775" width="168.78751" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
2
+
)
2
−
−
=
0
,<年代vg height="20.4125" id="M108" style="vertical-align:-2.55817pt;width:57.400002px;" version="1.1" viewbox="0 0 57.400002 20.4125" width="57.400002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
=
−
1
。
通过案例的结果<一个href="#casee22">2一个>和(<一个href="#EEq16">2.15一个>),(<一个href="#EEq32">3所示。7一个>),我们可以获得以下的显式的解决方案(<一个href="#EEq1">1.1一个>)由<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq39">
在哪里<年代vg height="20.4125" id="M110" style="vertical-align:-2.36253pt;width:147.60001px;" version="1.1" viewbox="0 0 147.60001 20.4125" width="147.60001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
=
(
±
2
+
8
)
/
2
,<年代vg height="14.625" id="M111" style="vertical-align:-3.25793pt;width:108.6125px;" version="1.1" viewbox="0 0 108.6125 14.625" width="108.6125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
+
+
0
,<年代vg height="16.7125" id="M112" style="vertical-align:-2.29482pt;width:107.475px;" version="1.1" viewbox="0 0 107.475 16.7125" width="107.475" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
(
−
)
(
2
+
)
,<年代vg height="10.7375" id="M113" style="vertical-align:-0.13794pt;width:8.6000004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.6000004 10.7375" width="8.6000004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个二阶代数方程的根<年代vg height="16.775" id="M114" style="vertical-align:-2.34499pt;width:168.78751px;" version="1.1" viewbox="0 0 168.78751 16.775" width="168.78751" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
2
+
)
2
+
−
=
0
,<年代vg height="20.4125" id="M115" style="vertical-align:-2.55817pt;width:57.400002px;" version="1.1" viewbox="0 0 57.400002 20.4125" width="57.400002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
=
−
1
。
类似地,我们有以下两个有用的公式:<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq40">
由于公式(<一个href="#EEq40">3.11一个>),我们从(<一个href="#EEq38">3所示。9一个>)<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq42">
在哪里<年代vg height="20.4125" id="M119" style="vertical-align:-2.36253pt;width:147.60001px;" version="1.1" viewbox="0 0 147.60001 20.4125" width="147.60001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
=
(
±
2
+
8
)
/
2
,<年代vg height="14.625" id="M120" style="vertical-align:-3.25793pt;width:108.6125px;" version="1.1" viewbox="0 0 108.6125 14.625" width="108.6125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
+
+
0
,<年代vg height="16.7125" id="M121" style="vertical-align:-2.29482pt;width:86.362503px;" version="1.1" viewbox="0 0 86.362503 16.7125" width="86.362503" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
(
2
+
)
,<年代vg height="10.7375" id="M122" style="vertical-align:-0.13794pt;width:8.6000004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.6000004 10.7375" width="8.6000004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个二阶代数方程的根<年代vg height="16.775" id="M123" style="vertical-align:-2.34499pt;width:168.78751px;" version="1.1" viewbox="0 0 168.78751 16.775" width="168.78751" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
2
+
)
2
−
−
=
0
,<年代vg height="20.4125" id="M124" style="vertical-align:-2.55817pt;width:57.400002px;" version="1.1" viewbox="0 0 57.400002 20.4125" width="57.400002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
=
−
1
。
由于公式(<一个href="#EEq40">3.12一个>),我们从(<一个href="#EEq39">3.10一个>)<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq43">
在哪里<年代vg height="20.4125" id="M126" style="vertical-align:-2.36253pt;width:147.60001px;" version="1.1" viewbox="0 0 147.60001 20.4125" width="147.60001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
=
(
±
2
+
8
)
/
2
,<年代vg height="14.625" id="M127" style="vertical-align:-3.25793pt;width:108.6125px;" version="1.1" viewbox="0 0 108.6125 14.625" width="108.6125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
+
+
0
,<年代vg height="16.7125" id="M128" style="vertical-align:-2.29482pt;width:107.475px;" version="1.1" viewbox="0 0 107.475 16.7125" width="107.475" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
(
−
)
(
2
+
)
,<年代vg height="10.7375" id="M129" style="vertical-align:-0.13794pt;width:8.6000004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.6000004 10.7375" width="8.6000004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个二阶代数方程的根<年代vg height="16.775" id="M130" style="vertical-align:-2.34499pt;width:168.78751px;" version="1.1" viewbox="0 0 168.78751 16.775" width="168.78751" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
2
+
)
2
+
−
=
0
,<年代vg height="20.4125" id="M131" style="vertical-align:-2.55817pt;width:57.400002px;" version="1.1" viewbox="0 0 57.400002 20.4125" width="57.400002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
=
−
1
。
由于均匀属性(<一个href="#EEq20">2.18一个>),我们可以期待<年代vg height="13.425" id="M132" style="vertical-align:-2.29482pt;width:10.2px;" version="1.1" viewbox="0 0 10.2 13.425" width="10.2" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是线性函数形式<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq44">
与<年代vg height="10.7375" id="M134" style="vertical-align:-0.13794pt;width:8.6000004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.6000004 10.7375" width="8.6000004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
和<年代vg height="7.1875" id="M135" style="vertical-align:-0.13794pt;width:10.7625px;" version="1.1" viewbox="0 0 10.7625 7.1875" width="10.7625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,<年代vg height="14.625" id="M136" style="vertical-align:-3.25793pt;width:13.7625px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.7625 14.625" width="13.7625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
常量待定。用(<一个href="#EEq44">3.15一个>)(<一个href="#EEq20">2.18一个>),我们发现(<一个href="#EEq44">3.15一个>)满足(<一个href="#EEq20">2.18一个>),提供<年代vg height="10.7375" id="M137" style="vertical-align:-0.13794pt;width:8.6000004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.6000004 10.7375" width="8.6000004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
和<年代vg height="7.1875" id="M138" style="vertical-align:-0.13794pt;width:10.7625px;" version="1.1" viewbox="0 0 10.7625 7.1875" width="10.7625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
满足以下代数方程:<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq45">
在哪里<年代vg height="21.112499" id="M140" style="vertical-align:-3.13504pt;width:125.525px;" version="1.1" viewbox="0 0 125.525 21.112499" width="125.525" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
√
=
(
−
±
Δ
)
/
2
,<年代vg height="20.4125" id="M141" style="vertical-align:-2.36253pt;width:147.60001px;" version="1.1" viewbox="0 0 147.60001 20.4125" width="147.60001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
=
(
±
2
+
8
)
/
2
,<年代vg height="16.700001" id="M142" style="vertical-align:-2.34499pt;width:86.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 86.875 16.700001" width="86.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Δ
=
2
−
4
。解决(<一个href="#EEq45">3.16一个>),我们获得<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq47">
如果系数<年代vg height="13.425" id="M144" style="vertical-align:-2.29482pt;width:8.8500004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.8500004 13.425" width="8.8500004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,<年代vg height="9.9375" id="M145" style="vertical-align:-2.34499pt;width:8.0625px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.0625 9.9375" width="8.0625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,<年代vg height="10.7375" id="M146" style="vertical-align:-0.13794pt;width:7.9875002px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.9875002 10.7375" width="7.9875002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(<一个href="#EEq1">1.1一个>)满足条件<年代vg height="16.700001" id="M147" style="vertical-align:-2.34499pt;width:57.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 57.9375 16.700001" width="57.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
2
=
4
。
用(<一个href="#EEq44">3.15一个>)和(<一个href="#EEq47">3.17一个>)(<一个href="#EEq19">2.17一个>),我们获得的具体特定的解决方案(<一个href="#EEq1">1.1一个>)<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq48">
现在我们假设(<一个href="#EEq20">2.18一个>)解决方案的形式(<一个href="#EEq22">3所示。1一个>)取代(<一个href="#EEq22">3所示。1一个>)(<一个href="#EEq20">2.18一个>),得到一组代数方程:<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq49">
为了获得重要的解决方案(<一个href="#EEq1">1.1一个>),我们需要要求<年代vg height="10.7375" id="M150" style="vertical-align:-0.13794pt;width:8.6000004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.6000004 10.7375" width="8.6000004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,<年代vg height="7.1875" id="M151" style="vertical-align:-0.13794pt;width:10.7625px;" version="1.1" viewbox="0 0 10.7625 7.1875" width="10.7625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
所有非零常数。解决(<一个href="#EEq49">3.19一个>),得到以下解决方案。
<年代p一个ncl一个年代s="statement" id="casee111">案例1。我>年代p一个n>一个人<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq50">
在哪里<年代vg height="10.7375" id="M153" style="vertical-align:-0.13794pt;width:8.6000004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.6000004 10.7375" width="8.6000004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个二阶代数方程的根<年代vg height="19.125" id="M154" style="vertical-align:-4.22832pt;width:389.78751px;" version="1.1" viewbox="0 0 389.78751 19.125" width="389.78751" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
2
+
)
2
+
(
+
3
1
+
−
1
)
+
+
2
1
+
3
2
1
=
0
,<年代vg height="21.112499" id="M155" style="vertical-align:-3.13504pt;width:125.525px;" version="1.1" viewbox="0 0 125.525 21.112499" width="125.525" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
√
=
(
−
±
Δ
)
/
2
,<年代vg height="20.4125" id="M156" style="vertical-align:-2.36253pt;width:147.60001px;" version="1.1" viewbox="0 0 147.60001 20.4125" width="147.60001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
=
(
±
2
+
8
)
/
2
,<年代vg height="16.700001" id="M157" style="vertical-align:-2.34499pt;width:86.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 86.875 16.700001" width="86.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Δ
=
2
−
4
。年代p一个n>
例2。我>年代p一个n>一个人<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq51">
在哪里<年代vg height="10.7375" id="M159" style="vertical-align:-0.13794pt;width:8.6000004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.6000004 10.7375" width="8.6000004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个二阶代数方程的根<年代vg height="19.125" id="M160" style="vertical-align:-4.22832pt;width:389.78751px;" version="1.1" viewbox="0 0 389.78751 19.125" width="389.78751" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
2
+
)
2
+
(
1
−
−
3
1
−
)
+
+
2
1
+
3
2
1
=
0
,<年代vg height="21.112499" id="M161" style="vertical-align:-3.13504pt;width:125.525px;" version="1.1" viewbox="0 0 125.525 21.112499" width="125.525" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
√
=
(
−
±
Δ
)
/
2
,<年代vg height="20.4125" id="M162" style="vertical-align:-2.36253pt;width:147.60001px;" version="1.1" viewbox="0 0 147.60001 20.4125" width="147.60001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
=
(
±
2
+
8
)
/
2
,<年代vg height="16.700001" id="M163" style="vertical-align:-2.34499pt;width:86.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 86.875 16.700001" width="86.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Δ
=
2
−
4
。年代p一个n>
的情况下<一个href="#casee111">1一个>,我们获得的具体解决方案(<一个href="#EEq1">1.1一个>)(<一个href="#EEq19">2.17一个>),(<一个href="#EEq22">3所示。1一个>)<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq52">
在哪里<年代vg height="20.4125" id="M165" style="vertical-align:-2.36253pt;width:147.60001px;" version="1.1" viewbox="0 0 147.60001 20.4125" width="147.60001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
=
(
±
2
+
8
)
/
2
,<年代vg height="16.700001" id="M166" style="vertical-align:-2.34499pt;width:86.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 86.875 16.700001" width="86.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Δ
=
2
−
4
,<年代vg height="19.125" id="M167" style="vertical-align:-4.22832pt;width:199.7625px;" version="1.1" viewbox="0 0 199.7625 19.125" width="199.7625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
2
−
−
−
2
1
−
3
2
1
,<年代vg height="10.7375" id="M168" style="vertical-align:-0.13794pt;width:8.6000004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.6000004 10.7375" width="8.6000004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个二阶代数方程的根<年代vg height="19.125" id="M169" style="vertical-align:-4.22832pt;width:389.78751px;" version="1.1" viewbox="0 0 389.78751 19.125" width="389.78751" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
2
+
)
2
+
(
+
3
1
+
−
1
)
+
+
2
1
+
3
2
1
=
0
,<年代vg height="21.112499" id="M170" style="vertical-align:-3.13504pt;width:125.525px;" version="1.1" viewbox="0 0 125.525 21.112499" width="125.525" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
√
=
(
−
±
Δ
)
/
2
,<年代vg height="14.625" id="M171" style="vertical-align:-3.25793pt;width:13.7625px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.7625 14.625" width="13.7625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
,<年代vg height="13.125" id="M172" style="vertical-align:-1.95624pt;width:35.587502px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.587502 13.125" width="35.587502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
≠
0
任意常数。
根据案例的结果<一个href="#casee222">2一个>和(<一个href="#EEq19">2.17一个>),(<一个href="#EEq22">3所示。1一个>),获得另一个确切的解决方案<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq53">
在哪里<年代vg height="20.4125" id="M174" style="vertical-align:-2.36253pt;width:147.60001px;" version="1.1" viewbox="0 0 147.60001 20.4125" width="147.60001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
=
(
±
2
+
8
)
/
2
,<年代vg height="16.700001" id="M175" style="vertical-align:-2.34499pt;width:86.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 86.875 16.700001" width="86.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Δ
=
2
−
4
,<年代vg height="19.125" id="M176" style="vertical-align:-4.22832pt;width:199.7625px;" version="1.1" viewbox="0 0 199.7625 19.125" width="199.7625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
+
2
1
+
3
2
1
−
2
−
,<年代vg height="10.7375" id="M177" style="vertical-align:-0.13794pt;width:8.6000004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.6000004 10.7375" width="8.6000004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个二阶代数方程的根<年代vg height="19.125" id="M178" style="vertical-align:-4.22832pt;width:389.78751px;" version="1.1" viewbox="0 0 389.78751 19.125" width="389.78751" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
2
+
)
2
+
(
1
−
−
3
1
−
)
+
+
2
1
+
3
2
1
=
0
,<年代vg height="21.112499" id="M179" style="vertical-align:-3.13504pt;width:125.525px;" version="1.1" viewbox="0 0 125.525 21.112499" width="125.525" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
√
=
(
−
±
Δ
)
/
2
,<年代vg height="14.625" id="M180" style="vertical-align:-3.25793pt;width:13.7625px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.7625 14.625" width="13.7625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
,<年代vg height="13.125" id="M181" style="vertical-align:-1.95624pt;width:35.587502px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.587502 13.125" width="35.587502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
≠
0
任意常数。
根据公式(<一个href="#EEq30">3所示。5一个>),(<一个href="#EEq30">3所示。6一个>),我们可以得到多个新型扭结孤子解的奇异类型(类和多个新的孤波解<一个href="#EEq52">3.22一个>)和(<一个href="#EEq53">3.23一个>)。
类似地,我们假设(<一个href="#EEq20">2.18一个>)解决方案的形式(<一个href="#EEq32">3所示。7一个>);用(<一个href="#EEq32">3所示。7一个>)(<一个href="#EEq20">2.18一个>),得到一组代数方程<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq54">
为了获得一个非平凡解(<一个href="#EEq1">1.1一个>),我们还需要假设<年代vg height="12.7625" id="M183" style="vertical-align:-1.76814pt;width:25.75px;" version="1.1" viewbox="0 0 25.75 12.7625" width="25.75" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,
所有非零常数。解决(<一个href="#EEq54">3.24一个>),我们获得以下。
<年代p一个ncl一个年代s="statement" id="casee1111">案例1。我>年代p一个n>一个人<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq55">
在哪里<年代vg height="10.7375" id="M185" style="vertical-align:-0.13794pt;width:8.6000004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.6000004 10.7375" width="8.6000004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个二阶代数方程的根<年代vg height="19.125" id="M186" style="vertical-align:-4.22832pt;width:409.92499px;" version="1.1" viewbox="0 0 409.92499 19.125" width="409.92499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
2
+
)
2
+
(
+
3
1
+
−
1
)
−
(
+
2
1
+
3
2
1
)
=
0
,<年代vg height="21.112499" id="M187" style="vertical-align:-3.13504pt;width:125.525px;" version="1.1" viewbox="0 0 125.525 21.112499" width="125.525" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
√
=
(
−
±
Δ
)
/
2
,<年代vg height="20.4125" id="M188" style="vertical-align:-2.36253pt;width:147.60001px;" version="1.1" viewbox="0 0 147.60001 20.4125" width="147.60001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
=
(
±
2
+
8
)
/
2
,<年代vg height="16.700001" id="M189" style="vertical-align:-2.34499pt;width:86.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 86.875 16.700001" width="86.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Δ
=
2
−
4
。年代p一个n>
例2。我>年代p一个n>一个人<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq56">
在哪里<年代vg height="10.7375" id="M191" style="vertical-align:-0.13794pt;width:8.6000004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.6000004 10.7375" width="8.6000004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个二阶代数方程的根<年代vg height="19.125" id="M192" style="vertical-align:-4.22832pt;width:409.92499px;" version="1.1" viewbox="0 0 409.92499 19.125" width="409.92499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
2
+
)
2
−
(
+
3
1
+
−
1
)
−
(
+
2
1
+
3
2
1
)
=
0
,<年代vg height="21.112499" id="M193" style="vertical-align:-3.13504pt;width:125.525px;" version="1.1" viewbox="0 0 125.525 21.112499" width="125.525" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
√
=
(
−
±
Δ
)
/
2
,<年代vg height="20.4125" id="M194" style="vertical-align:-2.36253pt;width:147.60001px;" version="1.1" viewbox="0 0 147.60001 20.4125" width="147.60001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
=
(
±
2
+
8
)
/
2
,<年代vg height="16.700001" id="M195" style="vertical-align:-2.34499pt;width:86.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 86.875 16.700001" width="86.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Δ
=
2
−
4
。年代p一个n>
收集(<一个href="#EEq19">2.17一个>),(<一个href="#EEq32">3所示。7一个>),(<一个href="#EEq55">3.25一个>)和(<一个href="#EEq56">3.26一个>),我们得到下面的显式精确周期行波解<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq57">
在哪里<年代vg height="20.4125" id="M197" style="vertical-align:-2.36253pt;width:147.60001px;" version="1.1" viewbox="0 0 147.60001 20.4125" width="147.60001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
=
(
±
2
+
8
)
/
2
,<年代vg height="16.700001" id="M198" style="vertical-align:-2.34499pt;width:86.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 86.875 16.700001" width="86.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Δ
=
2
−
4
,<年代vg height="14.625" id="M199" style="vertical-align:-3.25793pt;width:108.6125px;" version="1.1" viewbox="0 0 108.6125 14.625" width="108.6125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
+
+
0
,<年代vg height="19.125" id="M200" style="vertical-align:-4.22832pt;width:219.89999px;" version="1.1" viewbox="0 0 219.89999 19.125" width="219.89999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
2
−
+
(
+
2
1
+
3
2
1
)
,<年代vg height="10.7375" id="M201" style="vertical-align:-0.13794pt;width:8.6000004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.6000004 10.7375" width="8.6000004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个二阶代数方程的根<年代vg height="16.625" id="M202" style="vertical-align:-2.21957pt;width:72.699997px;" version="1.1" viewbox="0 0 72.699997 16.625" width="72.699997" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
2
+
)
2
+<年代vg height="14.6" id="M203" style="vertical-align:-3.13504pt;width:77.012497px;" version="1.1" viewbox="0 0 77.012497 14.6" width="77.012497" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
+
3
1
+<年代vg height="14.6" id="M204" style="vertical-align:-3.13504pt;width:145.925px;" version="1.1" viewbox="0 0 145.925 14.6" width="145.925" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
−
1
)
−
(
+
2
1
+<年代vg height="19.0375" id="M205" style="vertical-align:-4.22832pt;width:61.712502px;" version="1.1" viewbox="0 0 61.712502 19.0375" width="61.712502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
3
2
1
)
=
0
,<年代vg height="21.112499" id="M206" style="vertical-align:-3.13504pt;width:125.525px;" version="1.1" viewbox="0 0 125.525 21.112499" width="125.525" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
√
=
(
−
±
Δ
)
/
2
,<年代vg height="14.625" id="M207" style="vertical-align:-3.25793pt;width:13.7625px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.7625 14.625" width="13.7625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
,<年代vg height="13.125" id="M208" style="vertical-align:-1.95624pt;width:35.587502px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.587502 13.125" width="35.587502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
≠
0
任意常数,<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="EEq58">
在哪里<年代vg height="20.4125" id="M210" style="vertical-align:-2.36253pt;width:147.60001px;" version="1.1" viewbox="0 0 147.60001 20.4125" width="147.60001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
=
(
±
2
+
8
)
/
2
,<年代vg height="16.700001" id="M211" style="vertical-align:-2.34499pt;width:86.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 86.875 16.700001" width="86.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
Δ
=
2
−
4
,<年代vg height="14.625" id="M212" style="vertical-align:-3.25793pt;width:108.6125px;" version="1.1" viewbox="0 0 108.6125 14.625" width="108.6125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
+
+
0
,<年代vg height="19.125" id="M213" style="vertical-align:-4.22832pt;width:230.60001px;" version="1.1" viewbox="0 0 230.60001 19.125" width="230.60001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
−
2
−
−
(
+
2
1
+
3
2
1
)
,<年代vg height="10.7375" id="M214" style="vertical-align:-0.13794pt;width:8.6000004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.6000004 10.7375" width="8.6000004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个二阶代数方程的根<年代vg height="19.125" id="M215" style="vertical-align:-4.22832pt;width:409.92499px;" version="1.1" viewbox="0 0 409.92499 19.125" width="409.92499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
2
+
)
2
−
(
+
3
1
+
−
1
)
−
(
+
2
1
+
3
2
1
)
=
0
,<年代vg height="21.112499" id="M216" style="vertical-align:-3.13504pt;width:125.525px;" version="1.1" viewbox="0 0 125.525 21.112499" width="125.525" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
√
=
(
−
±
Δ
)
/
2
,<年代vg height="14.625" id="M217" style="vertical-align:-3.25793pt;width:13.7625px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.7625 14.625" width="13.7625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
,<年代vg height="13.125" id="M218" style="vertical-align:-1.95624pt;width:35.587502px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.587502 13.125" width="35.587502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
≠
0
任意常数。
通过使用公式(<一个href="#EEq40">3.11一个>)和(<一个href="#EEq40">3.12一个>),我们可以获得多个新的周期波解形式<年代vg height="13.425" id="M219" style="vertical-align:-2.29482pt;width:29.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.375 13.425" width="29.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
t
一个
n
和<年代vg height="13.425" id="M220" style="vertical-align:-2.29482pt;width:29.25px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.25 13.425" width="29.25" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
c
o
t
。
选择的解决方案(<一个href="#EEq28">3所示。3一个>)((<一个href="#EEq29">3所示。4一个>),(<一个href="#EEq42">3.13一个>),(<一个href="#EEq43">3.14一个>),(<一个href="#EEq48">3.18一个>),(<一个href="#EEq52">3.22一个>),(<一个href="#EEq53">3.23一个>),(<一个href="#EEq57">3.27一个>)和(<一个href="#EEq58">3.28一个>),职责。)作为一种新的“种子”的解决方案<年代vg height="14.6" id="M221" style="vertical-align:-3.13504pt;width:44.037498px;" version="1.1" viewbox="0 0 44.037498 14.6" width="44.037498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
(
,
)
和解决线性pd (<一个href="#EEq12">2.11一个>),(<一个href="#EEq12">2.12一个>),一个quasisolution<年代vg height="13.55" id="M222" style="vertical-align:-2.29482pt;width:40.612499px;" version="1.1" viewbox="0 0 40.612499 13.55" width="40.612499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
,
)
。然后用quasisolution<年代vg height="13.55" id="M223" style="vertical-align:-2.29482pt;width:40.612499px;" version="1.1" viewbox="0 0 40.612499 13.55" width="40.612499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
,
)
和<年代vg height="14.6" id="M224" style="vertical-align:-3.13504pt;width:44.037498px;" version="1.1" viewbox="0 0 44.037498 14.6" width="44.037498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
(
,
)
选择以上(<一个href="#EEq15">2.14一个>),我们就可以获得越来越多的新的具体特定的解决方案(<一个href="#EEq1">1.1一个>)。采取<年代vg height="10.875" id="M225" style="vertical-align:-0.15048pt;width:37.8125px;" version="1.1" viewbox="0 0 37.8125 10.875" width="37.8125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
1
在解决方案(<一个href="#EEq28">3所示。3一个>),(<一个href="#EEq29">3所示。4一个>),(<一个href="#EEq52">3.22一个>)和(<一个href="#EEq53">3.23一个>),我们可以获得激波解和奇异行波解(<一个href="#EEq1">1.1一个>)。把<年代vg height="10.875" id="M226" style="vertical-align:-0.15048pt;width:37.8125px;" version="1.1" viewbox="0 0 37.8125 10.875" width="37.8125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
1
在解决方案(<一个href="#EEq38">3所示。9一个>),(<一个href="#EEq39">3.10一个>),(<一个href="#EEq57">3.27一个>)和(<一个href="#EEq58">3.28一个>),我们可以获得周期波解的形式<年代vg height="13.425" id="M227" style="vertical-align:-2.29482pt;width:29.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.375 13.425" width="29.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
t
一个
n
和<年代vg height="13.425" id="M228" style="vertical-align:-2.29482pt;width:29.25px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.25 13.425" width="29.25" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
c
o
t
。
4所示。结论
值得指出的是,本文获得的精确解一般形式比一些已知的解决方案在先前的研究。除了重新推导出所有已知的解决方案以系统的方式,一些全新的精确解也可以获得。特别,选择<年代vg height="10.9125" id="M229" style="vertical-align:-0.17555pt;width:36.137501px;" version="1.1" viewbox="0 0 36.137501 10.9125" width="36.137501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
0
在上面的所有解决方案中,可以获得丰富的显式和Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov方程精确解(<一个href="#B16">16一个>]。设置<年代vg height="10.9125" id="M230" style="vertical-align:-0.17555pt;width:36.137501px;" version="1.1" viewbox="0 0 36.137501 10.9125" width="36.137501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
0
,<年代vg height="13.6125" id="M231" style="vertical-align:-2.34499pt;width:35.262501px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.262501 13.6125" width="35.262501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
0
,<年代vg height="13.425" id="M232" style="vertical-align:-2.29482pt;width:46.799999px;" version="1.1" viewbox="0 0 46.799999 13.425" width="46.799999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
−
在上面的所有解决方案中,一个可以得到丰富的显式精确解Chaffee-Infante反应扩散方程(<一个href="#B17">17一个>]。我们也可以获得丰富的显式和Burgers-Huxley方程精确解(<一个href="#B18">18一个>)通过<年代vg height="13.125" id="M233" style="vertical-align:-1.95624pt;width:32.674999px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.674999 13.125" width="32.674999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
≠
0
,<年代vg height="13.425" id="M234" style="vertical-align:-2.29482pt;width:43.912498px;" version="1.1" viewbox="0 0 43.912498 13.425" width="43.912498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
,<年代vg height="13.6125" id="M235" style="vertical-align:-2.34499pt;width:89.712502px;" version="1.1" viewbox="0 0 89.712502 13.6125" width="89.712502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
−
(
1
+
)
,<年代vg height="9.875" id="M236" style="vertical-align:-2.29482pt;width:7.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.9375 9.875" width="7.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
任意的在上面的所有解决方案。更进一步,<年代vg height="10.9125" id="M237" style="vertical-align:-0.17555pt;width:36.137501px;" version="1.1" viewbox="0 0 36.137501 10.9125" width="36.137501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
0
,<年代vg height="13.425" id="M238" style="vertical-align:-2.29482pt;width:36.049999px;" version="1.1" viewbox="0 0 36.049999 13.425" width="36.049999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
,<年代vg height="13.6125" id="M239" style="vertical-align:-2.34499pt;width:81.849998px;" version="1.1" viewbox="0 0 81.849998 13.6125" width="81.849998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
−
(
1
+
)
,<年代vg height="9.875" id="M240" style="vertical-align:-2.29482pt;width:7.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.9375 9.875" width="7.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
随意在上面的所有解决方案中,我们也获得丰富的显式和FitzHugh-Nagumo方程精确解(<一个href="#B19">19一个>]。我们可以获得丰富的Newell-Whitehead方程的显式精确解时<年代vg height="10.9125" id="M241" style="vertical-align:-0.17555pt;width:36.137501px;" version="1.1" viewbox="0 0 36.137501 10.9125" width="36.137501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
0
,<年代vg height="13.55" id="M242" style="vertical-align:-2.29482pt;width:46.75px;" version="1.1" viewbox="0 0 46.75 13.55" width="46.75" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
−
1
,<年代vg height="13.6125" id="M243" style="vertical-align:-2.34499pt;width:35.262501px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.262501 13.6125" width="35.262501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
0
,<年代vg height="10.8625" id="M244" style="vertical-align:-0.13794pt;width:35.1875px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.1875 10.8625" width="35.1875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
1
在上面的所有解决方案(<一个href="#B17">17一个>]。把<年代vg height="10.9125" id="M245" style="vertical-align:-0.17555pt;width:36.137501px;" version="1.1" viewbox="0 0 36.137501 10.9125" width="36.137501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
0
,<年代vg height="13.55" id="M246" style="vertical-align:-2.29482pt;width:91.900002px;" version="1.1" viewbox="0 0 91.900002 13.55" width="91.900002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
1
−
(
3
/
2
)
,<年代vg height="13.8" id="M247" style="vertical-align:-2.34499pt;width:91.112503px;" version="1.1" viewbox="0 0 91.112503 13.8" width="91.112503" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
(
5
/
2
)
−
2
,<年代vg height="13.55" id="M248" style="vertical-align:-2.29482pt;width:60.650002px;" version="1.1" viewbox="0 0 60.650002 13.55" width="60.650002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
1
−
在上面的所有解决方案中,我们可以获得丰富的显式精确解一个等温催化系统[<一个href="#B20">20.一个>]。
确认
这项工作是由美国国家科学基金会支持的中国(10771041、10771041和10771041)的科学项目(2008 b080701042)广东,中国。作者要感谢王教授明梁对他有用的建议。