文摘

分配的概念混乱最近添加到运营商和线性动力学的研究-半群的运营商。我们将学习这一概念的混乱的一些例子-半群,已经知道Devaney混乱。

1。介绍

在过去的几年,介绍了几个概念用于描述无限维度空间中线性算子的动力学行为,如hypercyclicity、混乱的感觉,混乱Li-Yorke, subchaos,混合和弱混合属性,和频繁的hypercyclicity等等。这些概念已经被扩展,尽可能的设置-半群的线性和连续操作符。最近的专著Grosse-Erdmann和珀里斯Manguillot [1)是一个很好的参考线性动力学的研究人员感兴趣的研究。特别是,它包含一章专门分析的动态-半群。参见[2),其中包含额外的信息在该地区进一步的话题。

在续集中,让是一个无限维空间分离的巴拿赫空间。一个半群是一个家庭的线性和连续操作符这样,对所有,所有,我们有点态上。

我们说一个半群是摘要混沌如果它是传递和密集的周期点集。一方面,一个半群是传递如果由于任何一对非空的开集有一些这样。在这种背景下,动词相当于一些的存在在密集的轨道,也就是说,,例如[1,1.57]。这种现象通常是在算子理论被称为hypercyclicity等一个向量据说是一个超循环向量为。另一方面,一个向量据说是一个周期性的点为如果有一些这样。

其他定义的混乱,比如引入Li-Yorke和分配混乱由瑞士引入和Smital之一,也被认为是。这两个概念之间的关系在巴拿赫空间设置最近研究[3]。我们回想一下,半群据说是Li-Yorke混乱如果存在一个不可数的子集,被称为炒集,这样每一对不同的点,我们有 显然,每一个超循环半群是Li-Yorke混乱:我们只需要解决一个超循环向量并考虑炒设置,因为它是显示在4,84页)。

分配混乱灵感来源于Li-Yorke混乱的概念。为了定义它,给定的一个子集,我们定义其上层密度,在那里代表的勒贝格测度。

定义1.1。一个半群在是分布混沌如果有不可数集和,所以对于每个和每一对不同的点,我们有

一组被称为炒集。如果是密集的,然后据说是人口分布混沌。

一个向量据说是不等价不规则为如果对于每一个

这样的向量被认为是在5),以得到一个进一步洞察分配混乱的现象,显示了等效分布混沌算子和经营者之间有一个不等价不规则的向量。

第一个系统方法为线性算子被分配混乱(6),详细研究了这一现象对向后移位算子。后,珀里斯和Barrachina证明翻译-半群上的加权空间,,提出了元混乱意味着分配混乱。然而,反过来并不成立。他们还提供一个翻译的一个例子半群分布混沌,但它既不是Devaney混乱,也不是超循环(7]。

Hypercyclicity和Devaney混乱难以直接观察的定义。Hypercyclicity标准,任何形式的,Desch-Schappacher-Webb标准已经被证明是强大的工具,以验证这些性质。最近,艾博年等人都说为了显示一个标准半群分布混沌(和密集的不等价不规则歧管)(8]。我们的目标是为一些研究分配混乱-半群,已经知道Devaney混乱。这些动态展示-半群将激励我们提出一些开放式问题。

2。标准来确定Devaney混乱和分配混乱

下面的语句Hypercyclicity标准-半群是受运营商的版本9]。

定理2.1 (Hypercyclicity标准-半群;参见[10Th。2.1], [11暴击,3.1]和[1,7.26])。让是一个半群的。如果有一个序列与,密集的子集和地图这样(我) 对所有,(2) 对所有,(3) 对所有,然后超循环。

有时Hypercyclicity则很难被应用,事实上,它只提供了一个成分提出混乱。此外,在很多情况下,我们可以无限小的发电机半群的但是我们没有明确表示它的运营商。这是很常见的,当我们处理解决方案-半群的某些偏微分方程相关联。盖尔等人做了一个标准,允许我们提出了元混乱的状态半群的无穷小的大量的特征向量生成器。

定理2.2 (Desch-Schappacher-Webb标准;参见[12,13])。让是一个复杂的可分离的巴拿赫空间,让是一个半群的与无穷小的发电机。假设存在一个开放连接的子集和一个弱的全纯函数,这样(我) ,(2) 对于每一个,(3)对于任何,如果对所有,然后。然后半群是混乱的。

为分配混乱的情况下,艾博年等人获得第二充分条件,灵感来自于结果的离散情况贝穆德斯等人在4]。

定理2.3(密集不等价不规则歧管标准;参见[8软木。2])。让是一个半群的。假设存在(我)一个密集的子集这样为每一个,(2)勒贝格可测子集与 令人满意的要么,或是一个复杂的希尔伯特空间和。然后有一个密集的歧管,其非零向量是不等价不规则的向量。(在这种情况下,一个说有密集的不等价不规则歧管)。

此外,他们还证明了半群是分布混沌,如果且仅如果有一个不等价不规则向量(8,3.4]。因此,定理2.3也可以理解为标准分配混乱。在续集中,我们将运用这一标准几次为了确定确定-半群的分布混沌。

3所示。分布混沌-半群的

在本节中,我们考虑的几个例子-半群,已经知道Devaney混乱,我们将研究展览时分配混乱。这些例子将被认为是在以下空格: 在哪里是一个区间和权函数。如果,那么我们只会表示它,。假设在可能是不同的在每一个例子。

在[14),Takeo考虑以下一阶抽象柯西问题,: 在哪里和有界连续函数定义。常微分方程已被用于模型的动态人口同时下的细胞增殖和成熟15]。当是恒定的,等于什么和,解决方案半群(3.2)被定义为

定理3.1。如果是一个真正的函数有一个可测集这样 和 ,那么半群中定义的(3.3)是分布混沌,。

证明。如果我们定义,那么运营商可以写成 这个函数是一个容许权函数的(12Def。4.1),确保翻译半群定义为 是一个半群上。
让我们定义并考虑以下交换图:(3.6)
假设在让我们得出这样的结论:上分布混沌,7,2.3]。因此,获得的结论是由于分配混乱是保存在共轭性(6,2]。

3.2的话。前面的结果可以被拿来与hypercyclicity的特征,提出翻译的混乱半群的空间,:翻译半群超循环在当且仅当,(12),而如果是Devaney混乱,且仅当,(16,17]。利用共轭性,可以转移到这些结果半群(1,例是7.5.2]。
一方面,如果是恒定的,等于什么,我们有是Devaney混乱和分布混沌吗。另一方面,,如果和在其他地方,我们有和。因此上分布混沌。这也是超循环为收益率,(14,2.2]。然而,它不能Devaney混乱。
总之,我们的一个例子超循环的半群,分布混沌,但它不是Devaney混乱。这个例子可以与提供的例子7,例2所示。)分布混沌的翻译半群的超循环和混乱。

现在,让我们考虑的另一个例子已经讨论了半群的动态行为(14):让是一个连续函数,存在常数,,这样 这样一个函数,我们可以考虑的空间,因为。运营商的家庭与,定义了一个半群在他们(14]。

定理3.3。如果,那么半群上分布混沌,。

证明。让我们运用定理2.3。取。这组致密很明显,对于每一个满足条件(我)定理2.3。
让我们证明是有限的:修复和一个连续函数在与举例来说,。
有一些这样,对于,我们有。对于这些,定义 自和,然后为。这是收敛的,收益的结论。

3.4的话。假设部队:如果不采取任何。采取限制时的不平等我们有因为,这是一个矛盾是一个积极的连续函数。

3.5的话。另一个匿名裁判所提供的证据如下:如果是一个持续的权函数容许的(3所示。7),然后定义为是一个容许权函数的(124.1,Def。]。因此,采取定义为,我们有以下交换图:(3.9)如果,然后。因此,通过共轭性,超循环,提出分布混沌,看到评论吗3.2。

我们回到初始值问题(所3.2)。考虑的情况下,,,。在这些假设下,半群定义为 给出了解决方案半群(3.2),(14,3.4]。在特定的情况下和研究了使用维纳措施[15]。

定理3.6。如果和,那么半群中定义的(3.10)是分布混沌,。

证明。我们再次应用定理2.3:条件(我)持有一样的定理的证明3.3采取。
为了验证条件(2),让是这样的,。对于每一个,我们定义作为一个函数和。使用它,我们有以下的估计: 这是有限的,而收益的结论。

去年定理的假设下,Takeo证明了这一点提出混沌应用Desch-Schappacher-Webb标准(14]。独立Brzeźniak Dawidowicz也证明了这一点摘要混乱时和与这被称为冯Foerster-Lasota方程(18,定理8.3和8.4)。此外,他们还表明,倾向于所有元素的轨道,这使得混沌消失。因此,我们可以肯定,提出混沌一致相同的分配混乱的价值观。稍后我们将会看到,这是由于这样的事实,提出混沌的可以在这里获得Desch-Schappacher-Webb标准。这可以很容易地看到如果用定理2.3的无穷小发生器半群。下面的结果是一个连续的版本(4,天哪。31)。

定理3.7。让是一个复杂的巴拿赫空间和让是一个半群的与无穷小的发电机。如果下列条件:(我)有一个密集的子集与,对于每一个,(2)有一些与,然后有一个密集的不等价不规则的管汇。特别是,是分布混沌。

证明。修复。一方面,如果条件(我),那么我们拥有的对于每一个。另一方面,通过谱映射定理-半群,因为,然后。因此,(4,天哪。31日),承认一个密集的不等价不规则管汇。由(8,快速眼动。2),这相当于说承认一个密集的不等价不规则管汇。此外,是分布混沌8道具。2)。

3.8的话。显然,在定理的条件3所示。7每当Desch-Schappacher-Webb标准可以应用。因此,以下-半群是已知Devaney混乱也分布混沌(和密集的不等价不规则歧管):[19]、[20.Th。3.1], [12例4.12],[21]、[22Th, 1]和[232.3,2.1和Th。]。参见[1,Ch。7]一个改进版本的这些最后两个例子的证明。

最后,Brzeźniak Dawidowicz也研究[18]Devaney混乱的情况和在某些持有人连续函数的子空间。为,,我们定义空间的函数这样 为,让我们考虑函数的空间 在[18),结果表明,是一个可分离的巴拿赫空间赋予规范。此外,后一个建设性的方法,证明了如果和,然后摘要混沌。在这种情况下,我们将证明也分布混沌。

定理3.9。如果和,那么半群中定义的(3.10)是分布混沌。

证明。我们将应用定理2.3一次。自提出了元混乱,那么有密集点集的轨道。因此是弱混合1、Th。7.23)和任何简单的操作符也弱混合(11,2.4]。修复。由(9Th, 2.3]满足Hypercyclicity标准。因此,有一个稠密集这样对所有。使用当地的泛,我们有对于每一个和条件(i)。
为了验证条件(2)这样。让我们定义,。自对所有,然后我们可以很容易地看到和。我们也得到因此。

4所示。讨论和结论

考虑的初值问题(3.2)与和。在这里,解决方案半群被定义为

的半群中定义的(4.1)是分布混沌由定理3.1。的hypercyclicity半群的在[通过El Mourchid24)和由Grosse-Erdmann Devaney混乱,珀里斯(1道具。7.34)。在这种情况下,无穷小的频谱发生器是封闭的左半平面。这抑制了Desch-Schappacher-Webb标准应用的方式制定。然而,El Mourchid观察到的超循环行为半群本质上是由于虚特征值的无穷小发生器(24],参见[17.5.1)交货。事实上,Desch-Schappacher-Webb标准可以加强,新配方如下。

定理4.1(见[24]和[2.1,。1,7.31])。让是一个复杂的可分离的巴拿赫空间,让是一个半群上与无穷小的发电机。如果有和连续函数,(1) 对于每一个,,(2) 是密集的,然后半群摘要混沌。

综上所述,我们看到,即使我们应用这个强Desch-Schappacher-Webb标准的版本半群(4.1),要求只有一个丰富的特征值的实部等于零,那么我们也可以证明有一个密集的不等价不规则管汇。因此,我们可以提出以下问题。

问题1。在定理的假设吗4.1意味着密集不等价的存在不规则的管汇吗?如果不是,有至少一个不等价不规则的向量吗?

之间的等价性半群不等价不规则的向量和分布混沌半群,8前问题,3.4]。也可以提出如下。

问题2。在定理的假设吗4.1暗示分布混沌吗?

这些问题可能会有积极的答案,但它仍然是未知是否Devaney混乱意味着分配混乱-半群。

问题3。有提出了元混乱的例子吗-半群不分布混沌吗?

一个据说半群经常超循环如果存在一些例如对于每个非空的开集,一组有积极的低密度,是什么是正的。在[25),Mangino和珀里斯指出,用同样的参数用于(12,24),一个人可以表明,意味着频繁hypercyclicity Desch-Schappacher-Webb标准。他们还提供频繁的Hypercyclicity标准-半群(25,2.2]。这样,一个人可以提出以下问题。

问题4。频繁Hypercyclicity标准的假设吗-半群的分布混乱意味着什么?

定理的假设4.1收益率的混合性质半群,1]。我们回想一下,半群是拓扑混合如果由于任何一对非空的开集有一些这样对所有。显然,拓扑混合意味着传递性(即。,hypercyclicity),but it is strictly stronger than it. Topologically mixing translation-半群上的加权摘要空间考虑为特征的条件(26,4.3]。

一方面,上述的例子珀里斯和Barrachina7例2.7)提供了一个示例分布混沌半群,它不是拓扑混合。另一方面,在27),有一个向后移位算子加权序列空间,,这是拓扑混合但不是分布混沌。这个操作符将为我们提供一个类似的反例的框架-半群。我们感谢a·珀里斯这个反例。

例4.2。考虑到序列定义为,定义的函数作为如果。这个函数是一个容许重量的感觉(12Def。4.1],使翻译半群是一个半群。一方面,,然后翻译半群是拓扑混合。另一方面,如果翻译半群分布混沌,由[7Th。2.10),向后移位算子,定义为,将分布混沌空间与,这是一个矛盾,因为它是显示在27]。

确认

这项工作是通过MEC和菲德尔,支持部分项目mtm2010 - 14909,通过Generalitat Valenciana,项目问/ 2010/091,和大学为瓦伦西亚,项目支付- 06 - 09 - 2932。x Barrachina还想承认的支持格兰特FPI-UPV 2009 - 04从项目效果de Investigacion y Desarrollo de la大学为瓦伦西亚。作者还感谢裁判有用的评论,提高论文的演示。