文摘
本文考虑摄动Markov-modulated与双边跳跃风险模型,在向上和向下跳跃跟随任意分布。我们第一次获得Gerber-Shiu函数的微分方程组。此外,基于切比雪夫多项式近似的数值结果。最后,本文提供了一个示例,以说明该方法。
1。介绍
双边跳跃的风险模型是第一个提出的端部压注法等。1),已被许多作者进一步研究在过去的几年里。例如,口和王2]研究了拉普拉斯变换首次通过时间和超调的摄动复合泊松模型和双指数跳。邢et al。3)扩展口和王的结果(2)的盈余过程phase-type向下和任意向上跳跃。Zhang et al。4]假定向下跳跃跟随任意分布和向上跳一个理性的拉普拉斯变换。他们派生Gerber-Shiu函数的拉普拉斯变换通过使用广义Lundberg方程的根。假设向上跳跃服从拉普拉斯分布和任意向下跳,气(5)获得了封闭Gerber-Shiu函数的表达式通过应用维纳霍普夫分解技术。模型在金融领域的应用进行了讨论。雅各布森(6摄动更新风险模型进行了研究与phase-type interclaim时间和双边跳跃,跳跃都理性的拉普拉斯变换。基于Cramer-Lundberg方程的根,毁灭的时候,联合拉普拉斯变换和脱靶的毁灭。然而,在所有的aforemetioned论文,跳跃在两个方向上的主题是任意的分布还没有讨论。Markov-modulated风险模型(马尔可夫体制转换模型)是第一个提出Asmussen [7]扩展经典风险模型。自那时以来,它已经收到了显著的关注在精算数学,看到的,例如,朱海洋和杨欣(8,9),Zhang et al。4Ng),和杨10),李和陆11陆),和蔡12),和引用。出于上述论文,在这篇文章中,我们将研究双边跳跃Markov-modulated风险模型。
让是一个同质、不可约和复发与有限状态空间马尔可夫过程。表示的强度矩阵通过与和为。让是一个独立的随机变量序列代表跳跃,和是一个标准布朗运动。这里我们假设保险费率,声称interarrival时期,跳跃的分布和扩散参数都是受环境影响的过程。当,保险费率根据泊松过程,跳跃到与强度扩散参数的大小,跳跃,到达时间遵循分布与密度和有限的意思。然后Markov-modulated扩散风险模型被定义为 在哪里是初始盈余。如果我们表示的平稳分布通过,那么积极的安全是由加载条件
在本文中,我们进一步假设跳跃(1。1)是双面的。向上跳可以解释为随机收入溢价(或投资),而向下跳跃是解释为随机损失。在这种情况下,给出了密度函数 在哪里,,指标函数,和是两个任意函数。
让(否则)被毁灭的时候。为,让 是Gerber-Shiu函数在毁了给定的初始状态,在那里是一个非负惩罚函数,是盈余立即毁灭之前,财政赤字在毁灭。不失一般性,我们假设。因此为。当,(1。4)减少时间的拉普拉斯变换的毁灭 当和,(1。4)减少破坏的概率
本文的目的是提出一些数值结果Gerber-Shiu Markov-modulated扩散风险的函数模型与任意上下跳跃。节2我们得到一个积分微分的方程组和近似的解决方案。在上一节中给出了数值例子。
2。积分微分的方程,近似解
定理2.1。为,满足下列积分微分的方程 在哪里 与边界条件
证明。类似于Ng和杨10]。
2.2的话。当,(2.1)是相同的在Zhang et al。4]。
显然,(2.1)是一个二阶线性积分微分的方程组Fredholm-Volterra类型。众所周知,很难找到这个系统的解析解。出于Akyuz-Dascioglu [13),我们将研究另一个系统上定义的由切比雪夫搭配方法。首先,我们将时间间隔来。后Diko和Usabel14),我们,也就是说,。此外,我们假设是一个任意的严格单调,两次连续可微函数在整个论文。
定理2.3。让是一个单调函数和增加为。然后满足下列积分微分的方程 在哪里 与边界条件
证明。定义的函数和,我们有
用(2.7),到(2.1)和简化导致(2.4)。边界条件是边界条件的定理的直接结果2.1。这就完成了证明。
2.4的话。的存在对系统型积分微分方程的解决方案(2.4)可以在Fariborzi Behzadi [15]。
根据Akyuz-Dascioglu [13),及其衍生物有截切比雪夫系列表达式 在哪里,第一类切比雪夫多项式和转移吗是未知系数待定。
让,,。然后(2.8)可以写成矩阵形式 在哪里 为奇数, 甚至。
同样,内核函数和可以扩展到单变量切比雪夫系列 在哪里 与和切比雪夫系数由Clenshaw和柯蒂斯(16]。
定理2.5。为,一个近似表达式是由 的列向量可以由以下系统 在矩阵与元素 矩阵与元素 和搭配。
证明。使用(2.8)和(2.12),一个获得 用(2.18)(2.4),我们有 这是相同的(2.15)的形式。用的搭配到(2.19)导致(2.15)。和可以获得的(2.6)。
例2.6。说明我们的方法,我们使用的例子Zhang et al。4]。让,,,,,,,向下跳跃指数分布参数向上跳,密度是由。我们设置搭配点。
图1表明,近似解非常接近初始盈余的精确解。我们在图的话,水平轴1是和。
从表1我们可以看到,近似解和精确解之间的误差减少时增加。最初的盈余也可以影响近似解:更大的吗需要一个更大的减少错误。
确认
这项工作是支持的山东省自然科学基金(没有。ZR2010AQ015),数学天元基金(没有。11226251),曲阜师范大学自然科学基金(没有。2012 zrb01473)。