文摘

我们解决一些最优同伦高阶边值问题的渐近方法(OHAM)。该方法能有效地处理各种线性和非线性问题。OHAM给出的数值结果与精确解比较,Adomian分解(ADM),获得的解变分迭代(VIM),同伦摄动(HPM)和变分迭代分解方法(VIDM)。结果表明,该方法更有效和可靠的。

1。介绍

在本文中,我们考虑一个适定的<年代vg height="7.1374998" id="M1" style="vertical-align:-0.10033pt;width:7.8874998px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.8874998 7.1374998" width="7.8874998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 阶形式的问题<年代pan class="equation" id="eq1"> ( ) = , , … , ( − 1 ) + ( ) , < < , ( 1 。 1 ) 边界条件:<年代vg height="17.799999" id="M3" style="vertical-align:-3.2316pt;width:71.849998px;" version="1.1" viewbox="0 0 71.849998 17.799999" width="71.849998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) ( ) = 和<年代vg height="17.799999" id="M4" style="vertical-align:-3.2316pt;width:71.262497px;" version="1.1" viewbox="0 0 71.262497 17.799999" width="71.262497" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) ( ) = ,在那里<年代vg height="13.45" id="M5" style="vertical-align:-2.21957pt;width:41.825001px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.825001 13.45" width="41.825001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( < ) 是一个非负整数,<年代vg height="11.05" id="M6" style="vertical-align:-3.2316pt;width:12.9625px;" version="1.1" viewbox="0 0 12.9625 11.05" width="12.9625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 和<年代vg height="14.5875" id="M7" style="vertical-align:-3.2316pt;width:12.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 12.875 14.5875" width="12.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 是真实的有限的常量,然后呢<年代vg height="13.55" id="M8" style="vertical-align:-2.29482pt;width:26.987499px;" version="1.1" viewbox="0 0 26.987499 13.55" width="26.987499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 是一个连续函数<年代vg height="13" id="M9" style="vertical-align:-1.95624pt;width:32.237499px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.237499 13" width="32.237499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( , ] 。

这种类型的问题已经被许多作者研究[1,2)由于其数学的重要性和潜在的应用在水动力和水磁稳定。基于边值问题出现在粘弹流的数学模型。第六,eighth-order微分方程控制物理的一些水动力稳定性问题。当无限水平层的液体从下面加热旋转的作用,不稳定。当这种不稳定性是普通的对流,第六阶常微分方程;当不稳定集极大的稳定性,它是由一个eighth-order常微分方程建模。如果无限水平层下面的液体加热,与假设均匀磁场也应用在同一个方向的流体重力和流体旋转的作用,不稳定。当在普通对流不稳定集,它由tenth-order边值问题建模。

所以对于这些问题的解决方案而言,许多方法出现在文学。最近的分析方法是Adomian分解方法(ADM) (3- - - - - -5),变分迭代法(VIM) [6),同伦摄动方法(HPM) (7- - - - - -9),同伦分析方法(火腿)10,11(DTM)[],微分变换方法12),等等。经典摄动方法是基于小型或大型参数的假设,并不能产生一个近似解的一般形式。ADM和DTM nonperturbation方法可以强烈地处理非线性问题,但他们的级数解的收敛区域通常是小。HPM,这是一个优雅的组合同伦摄动技术,克服了小型或大型参数的限制问题。它有效地处理各种各样的非线性问题。最近,Marinca et al。13- - - - - -17]介绍了非线性问题的近似解OHAM四年级液体薄膜流的垂直油缸。在他们的工作,他们用这种方法来理解非线性机械振动电机的行为。他们也用同样的方法解非线性方程组产生的稳态流四年级流体穿过多孔板和传热引起的非线性方程的解决方案。这种方法直接、可靠和显式定义的。它提供了一个方便的方式来控制收敛收敛的级数解,并允许调整需要的地区。

第五,sixth-order线性和非线性问题就都解决了Wazwaz [18,19),而使用分解方法。努尔et al。20.- - - - - -25使用变分迭代法调查这些类型的问题(VIM),同伦摄动法(HPM),和变分迭代分解方法(VIDM)。修改变分迭代法(MVIM)和迭代法(ITM)使用Mohyud-Din et al。26,27这种类型的问题。Kasi Viswanadham和Murali克里希纳(28五次b样条有限元离散)用于基于边界值问题。Siraj-ul-Islam et al。29日,30.)数值方案用于第五,sixth-order边值问题的解。

最近,阿里et al。31日,32]OHAM用于多点边值问题的解和twelfth-order边值问题。我们使用OHAM找到一些高阶BVPs的近似解析解。OHAM的结果与精确解相比,与现有结果进行比较和错误。本文的组织结构如下:部分2致力于提出的分析方法。给出了一些数值例子3。在第四节,我们得出结论,讨论使用Mathematica数值模拟的结果。

2。方法分析两点边值问题

考虑微分方程<年代pan class="equation" id="EEq2.1"> ℒ = + , ( 2 。 1 ) 随着边界条件:<年代pan class="equation" id="eq2"> ℬ , = 0 , ( 2 。 2 ) 在哪里<年代vg height="11.1" id="M12" style="vertical-align:-0.1881pt;width:14.9125px;" version="1.1" viewbox="0 0 14.9125 11.1" width="14.9125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ℒ 是线性的,<年代vg height="11.1" id="M13" style="vertical-align:-0.1881pt;width:15.2875px;" version="1.1" viewbox="0 0 15.2875 11.1" width="15.2875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 是一个非线性,<年代vg height="11.1" id="M14" style="vertical-align:-0.1881pt;width:14.975px;" version="1.1" viewbox="0 0 14.975 11.1" width="14.975" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ℬ 是一个边界算子。<年代vg height="13.425" id="M15" style="vertical-align:-2.29482pt;width:10.2px;" version="1.1" viewbox="0 0 10.2 13.425" width="10.2" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 是一个已知函数持续吗<年代vg height="11.1125" id="M16" style="vertical-align:-0.33858pt;width:60.5625px;" version="1.1" viewbox="0 0 60.5625 11.1125" width="60.5625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∶ ∈ Ω 。根据OHAM,我们可以构造一个同伦所定义的<年代pan class="equation" id="EEq2.2"> ( ] ( 1 − ) ℒ ( ( ; ) ) − ( ) ℒ ( ( ; ) ) − ( ( ; ) ) − ( ) = 0 , ( 2 。 3 ) 在哪里<年代vg height="13.55" id="M18" style="vertical-align:-2.29482pt;width:59.700001px;" version="1.1" viewbox="0 0 59.700001 13.55" width="59.700001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ ( 0 , 1 ] 是一个嵌入参数,<年代vg height="13.725" id="M19" style="vertical-align:-2.29482pt;width:29.950001px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.950001 13.725" width="29.950001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 是一个非零的辅助函数<年代vg height="13.55" id="M20" style="vertical-align:-2.29482pt;width:31.5px;" version="1.1" viewbox="0 0 31.5 13.55" width="31.5" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ≠ 0 和<年代vg height="13.5625" id="M21" style="vertical-align:-2.21957pt;width:54.5625px;" version="1.1" viewbox="0 0 54.5625 13.5625" width="54.5625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ℎ ( 0 ) = 0 。方程(2。3)满足<年代pan class="equation" id="eq3"> ℒ = 0 , f o r = 0 , ℒ = + , f o r = 1 。 ( 2 。 4 ) 解决方案,<年代vg height="14.75" id="M23" style="vertical-align:-3.25793pt;width:88.824997px;" version="1.1" viewbox="0 0 88.824997 14.75" width="88.824997" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( , 0 ) = 0 ( ) 的,<年代vg height="11.1" id="M24" style="vertical-align:-0.1881pt;width:49.525002px;" version="1.1" viewbox="0 0 49.525002 11.1" width="49.525002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ℒ = 0 跟踪解决曲线<年代vg height="13.45" id="M25" style="vertical-align:-2.21957pt;width:24.3125px;" version="1.1" viewbox="0 0 24.3125 13.45" width="24.3125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) (2。1),不断<年代vg height="9.875" id="M26" style="vertical-align:-2.29482pt;width:7.7624998px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.7624998 9.875" width="7.7624998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 方法1,<年代vg height="11.3375" id="M27" style="vertical-align:-3.25793pt;width:14.125px;" version="1.1" viewbox="0 0 14.125 11.3375" width="14.125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 0 是零级问题的解决,将会在接下来的几行。

辅助函数<年代vg height="13.725" id="M28" style="vertical-align:-2.29482pt;width:29.950001px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.950001 13.725" width="29.950001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 选择的形式(这是一个常用的形式)<年代pan class="equation" id="EEq2.3"> ( ) = = 1 , ( 2 。 5 ) 在哪里<年代vg height="14.7125" id="M30" style="vertical-align:-3.2316pt;width:112.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 112.9375 14.7125" width="112.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> : = 1 , 2 , … , 是收敛控制待定常数。我们将使用这个函数,除非另有说明。辅助函数可以选择多种方式,据Marinca et al。13- - - - - -17]。我们将使用一些其他形式的<年代vg height="13.725" id="M31" style="vertical-align:-2.29482pt;width:29.950001px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.950001 13.725" width="29.950001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 。

得到一个近似解,我们扩大<年代vg height="13.55" id="M32" style="vertical-align:-2.29482pt;width:38.474998px;" version="1.1" viewbox="0 0 38.474998 13.55" width="38.474998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( , ) 在泰勒级数<年代vg height="9.875" id="M33" style="vertical-align:-2.29482pt;width:7.7624998px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.7624998 9.875" width="7.7624998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 在以下方式:<年代pan class="equation" id="EEq2.4"> ( ; ) = 0 ( ) + ∞ = 1 , 1 , 2 , … , 。 ( 2 。 6 ) 用(2。5)和(2。6)(2。3)和等同的系数的权力<年代vg height="9.875" id="M35" style="vertical-align:-2.29482pt;width:7.7624998px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.7624998 9.875" width="7.7624998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ,我们获得以下线性方程可以直接集成。

零级的问题:<年代pan class="equation" id="EEq2.5"> ℒ 0 = 0 , ℬ 0 , 0 = 0 。 ( 2 。 7 )

一阶问题:<年代pan class="equation" id="EEq2.6"> ℒ 1 = 1 + 1 ℒ 0 − 1 0 0 − , ℬ 1 , 1 = 0 。 ( 2 。 8 )

二阶问题:<年代pan class="equation" id="EEq2.7"> ℒ 2 = 1 + 1 ℒ 1 − 1 1 0 , 1 + 2 ℒ 0 − 0 0 − , ℬ 2 , 2 = 0 。 ( 2 。 9 ) 虽然我们可以构造高阶问题,解决方案到二阶问题足以产生良好的结果。

如果系列(2。6)是收敛的<年代vg height="13.55" id="M39" style="vertical-align:-2.29482pt;width:34.974998px;" version="1.1" viewbox="0 0 34.974998 13.55" width="34.974998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = 1 ,那么近似解在我们的例子中,<年代pan class="equation" id="EEq2.8"> ̃ ( ) = ( ) = 0 ( ) + 1 , 1 + 2 , 1 , 2 。 ( 2 。 1 0 ) 用(2.10)(2。1),由此产生的残余<年代pan class="equation" id="EEq2.9"> ℛ , 1 , 2 = ℒ ( ̃ ( ) ) − ( ̃ ( ) ) − ( ) 。 ( 2 。 1 1 ) 如果<年代vg height="11.1" id="M42" style="vertical-align:-0.1881pt;width:42.075001px;" version="1.1" viewbox="0 0 42.075001 11.1" width="42.075001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ℛ = 0 ,<年代vg height="10.2375" id="M43" style="vertical-align:-0.17555pt;width:7.5374999px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.5374999 10.2375" width="7.5374999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ̃ 将具体的解决方案。否则,我们减少<年代vg height="11.1" id="M44" style="vertical-align:-0.1881pt;width:14.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 14.875 11.1" width="14.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ℛ 域的问题。找到的最优值<年代vg height="14.45" id="M45" style="vertical-align:-3.2316pt;width:19.85px;" version="1.1" viewbox="0 0 19.85 14.45" width="19.85" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 最大限度地减少<年代vg height="11.1" id="M46" style="vertical-align:-0.1881pt;width:14.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 14.875 11.1" width="14.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ℛ 许多方法可以应用(13- - - - - -17]。我们遵循两种方法:最小二乘法和Galerekin的方法。根据最小二乘的方法,我们首先构造功能<年代pan class="equation" id="EEq2.12"> 1 , 2 = ℛ 2 , ( 2 。 1 2 ) 然后最小化,我们有<年代pan class="equation" id="EEq2.13"> 1 = 2 = 0 。 ( 2 。 1 3 ) 我们根据Galerekin的方法,解决以下系统<年代vg height="14.3375" id="M49" style="vertical-align:-3.13504pt;width:16.700001px;" version="1.1" viewbox="0 0 16.700001 14.3375" width="16.700001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 1 和<年代vg height="14.3375" id="M50" style="vertical-align:-3.13504pt;width:21.9125px;" version="1.1" viewbox="0 0 21.9125 14.3375" width="21.9125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 :<年代pan class="equation" id="EEq2.14"> ℛ ̃ 1 = 0 , ℛ ̃ 2 = 0 。 ( 2 。 1 4 ) 知道<年代vg height="14.3375" id="M52" style="vertical-align:-3.13504pt;width:16.700001px;" version="1.1" viewbox="0 0 16.700001 14.3375" width="16.700001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 1 和<年代vg height="14.3375" id="M53" style="vertical-align:-3.13504pt;width:16.700001px;" version="1.1" viewbox="0 0 16.700001 14.3375" width="16.700001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 ,近似解是确定。

3所示。一些数值例子

示例3.1(基于线性)。考虑以下问题:<年代pan class="equation" id="eq4"> ( ) ( ) = − 1 5 − 1 0 , 0 < < 1 , ( 3 。 1 ) 与边界条件<年代pan class="equation" id="eq5"> ( 0 ) = 0 , ( 0 ) = 1 , ( 0 ) = 0 , ( 1 ) = 0 , ( 1 ) = − 。 ( 3 。 2 ) 这个问题的精确解<年代vg height="14.0625" id="M56" style="vertical-align:-2.29482pt;width:112.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 112.9375 14.0625" width="112.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) = ( 1 − ) 。
我们选择的辅助函数<年代vg height="14.7125" id="M57" style="vertical-align:-3.13504pt;width:124.0375px;" version="1.1" viewbox="0 0 124.0375 14.7125" width="124.0375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ℎ ( ) = ( 1 + 2 ) 。代入这个值(2。3截面)2,我们获得以下线性问题可以直接集成。
零级的问题:<年代pan class="equation" id="EEq3.1"> 0 ( 5 ) ( ) = 0 , 0 ( 0 ) = 0 , 0 ( 0 ) = 0 , 0 ( 0 ) = 0 , 0 ( 1 ) = 0 , 0 ( 1 ) = − 。 ( 3 。 3 )
一阶问题:<年代pan class="equation" id="EEq3.2"> 1 ( 5 ) , 1 , 2 = 5 ( 3 + 2 ) 1 + 2 − 1 + 2 0 ( ) , 1 ( 0 ) = 0 , 1 ( 0 ) = 0 , 1 ( 0 ) = 0 , 1 ( 1 ) = 0 , 1 ( 1 ) = 0 。 ( 3 。 4 )
二阶问题:<年代pan class="equation" id="EEq3.3"> 2 ( 5 ) , 1 , 2 = 1 + 1 + 2 1 ( 5 ) , 1 , 2 − 1 + 2 1 , 1 , 2 , 2 ( 0 ) = 0 , 2 ( 0 ) = 0 , 2 ( 0 ) = 0 , 2 ( 1 ) = 0 , 2 ( 1 ) = 0 。 ( 3 。 5 ) 添加了这些问题的解决方案,二阶近似解,<年代pan class="equation" id="EEq3.4"> ̃ ( ) = 0 ( ) + 1 , 1 , 2 + 2 , 1 , 2 + 1 5 , ( 3 。 6 ) 是由知道辅助常数的最佳值,<年代vg height="14.3375" id="M62" style="vertical-align:-3.13504pt;width:16.700001px;" version="1.1" viewbox="0 0 16.700001 14.3375" width="16.700001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 1 和<年代vg height="14.3375" id="M63" style="vertical-align:-3.13504pt;width:16.700001px;" version="1.1" viewbox="0 0 16.700001 14.3375" width="16.700001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 。利用伽辽金方法,我们获得<年代vg height="14.7875" id="M64" style="vertical-align:-3.13504pt;width:128.85001px;" version="1.1" viewbox="0 0 128.85001 14.7875" width="128.85001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 1 = − 1 。 0 0 0 2 4 5 4 5 1 ,<年代vg height="14.7875" id="M65" style="vertical-align:-3.13504pt;width:118.15px;" version="1.1" viewbox="0 0 118.15 14.7875" width="118.15" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 = 0 。 0 0 0 1 2 4 6 1 5 。
通过考虑这些值,(3所示。6)成为<年代pan class="equation" id="EEq3.5"> ̃ ( ) = − 0 。 5 3 − 0 。 3 3 3 3 3 3 4 − 0 。 1 2 5 5 − 0 。 0 3 3 3 3 3 3 6 − 0 。 0 0 6 9 4 4 4 4 7 − 0 。 0 0 1 1 9 0 4 9 8 − 0 。 0 0 0 1 7 3 6 0 1 9 − 0 。 0 0 0 0 2 2 0 4 9 5 1 0 − 2 。 4 8 0 1 3 × 1 0 − 6 1 1 − 2 。 5 0 5 0 1 × 1 0 − 7 1 2 − 2 。 2 7 5 0 1 × 1 0 − 8 1 3 − 2 。 0 3 2 6 × 1 0 − 9 1 4 + 1 5 。 ( 3 。 7 ) 数值结果的解决方案(3所示。7)是显示在表中1。

表1
它显示了OHAM(获得的解决方案的比较3所示。7),ADM (18],HPM [20.],VIM [22],ITM [24],VIHPM [21]。从数值结果,很明显,OHAM更为高效、准确。

示例3.2(另一个基于线性)。考虑以下问题:<年代pan class="equation" id="eq6"> ( 5 ) ( ) + ( ) = 1 9 C o 年代 ( ) − 2 3 C o 年代 ( ) − 4 1 年代 我 n ( ) + 2 2 年代 我 n ( ) , ( 3 。 8 ) 与边界条件<年代pan class="equation" id="eq7"> ( − 1 ) = ( 1 ) = C o 年代 ( 1 ) , ( − 1 ) = ( 1 ) = − 4 C o 年代 ( 1 ) + 年代 我 n ( 1 ) , ( − 1 ) = 3 C o 年代 ( 1 ) − 8 年代 我 n ( 1 ) 。 ( 3 。 9 ) 这个问题的精确解<年代vg height="16.637501" id="M131" style="vertical-align:-2.29482pt;width:155.78751px;" version="1.1" viewbox="0 0 155.78751 16.637501" width="155.78751" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) = ( 2 2 − 1 ) C o 年代 ( ) 。
考虑到二阶解<年代vg height="17.8375" id="M132" style="vertical-align:-3.25793pt;width:309.0625px;" version="1.1" viewbox="0 0 309.0625 17.8375" width="309.0625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ̃ ( ) = 0 ( ) + 1 ( , 1 ) + 2 ( , 1 , 2 ) + ( 1 3 ) ,我们使用最小二乘法获得<年代vg height="14.7875" id="M133" style="vertical-align:-3.13504pt;width:125.9625px;" version="1.1" viewbox="0 0 125.9625 14.7875" width="125.9625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 1 = 0 。 9 9 4 0 6 0 5 3 0 6 ,<年代vg height="14.7875" id="M134" style="vertical-align:-3.13504pt;width:136.66251px;" version="1.1" viewbox="0 0 136.66251 14.7875" width="136.66251" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 = − 3 。 9 7 6 2 8 5 1 3 7 6 。
这些值,在这种情况下我们的解决方案<年代pan class="equation" id="EEq3.6"> ̃ ( ) = − 0 。 9 9 9 9 7 8 + 2 。 4 9 9 9 2 2 − 1 。 0 4 1 5 5 4 + 0 。 0 8 4 6 3 6 5 6 − 0 。 0 0 2 7 6 8 6 6 8 + 0 。 0 0 0 0 4 2 0 2 3 9 1 0 + 3 。 3 8 2 8 6 × 1 0 − 7 1 2 + 1 3 。 ( 3 。 1 0 ) 数值结果的解决方案(3.10)是显示在表中2。

表2
报告的最大绝对误差(28)是<年代vg height="14.5" id="M136" style="vertical-align:-0.3135pt;width:89.262497px;" version="1.1" viewbox="0 0 89.262497 14.5" width="89.262497" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 1 。 8 7 7 5 × 1 0 − 5 ,而在我们的例子中,它是<年代vg height="14.375" id="M137" style="vertical-align:-0.3135pt;width:89.262497px;" version="1.1" viewbox="0 0 89.262497 14.375" width="89.262497" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 8 。 5 7 5 7 × 1 0 − 8 。

示例3.3 ((33基于非线性)。考虑以下问题:<年代pan class="equation" id="eq8"> ( ) ( ) = 3 ( ) − , 0 < < 1 , ( 3 。 1 1 ) 与边界条件<年代pan class="equation" id="eq9"> ( 0 ) = 1 , ( 0 ) = 1 / 2 , ( 0 ) = 1 / 4 , ( 1 ) = 1 / 2 , 1 ( 1 ) = 2 1 / 2 。 ( 3 。 1 2 ) 这个问题的精确解<年代vg height="16.637501" id="M154" style="vertical-align:-2.29482pt;width:68.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 68.375 16.637501" width="68.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) = / 2 。
我们考虑到二阶的解决方案,<年代vg height="17.9625" id="M155" style="vertical-align:-3.25793pt;width:309.0625px;" version="1.1" viewbox="0 0 309.0625 17.9625" width="309.0625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ̃ ( ) = 0 ( ) + 1 ( , 1 ) + 2 ( , 1 , 2 ) + ( 1 5 ) 。
利用伽辽金的程序部分2,我们获得以下值:<年代pan class="equation" id="eq10"> 1 = 0 。 0 1 0 8 6 8 4 6 6 , 2 = − 0 。 0 2 9 4 2 3 1 1 3 。 ( 3 。 1 3 ) 二阶近似解<年代pan class="equation" id="EEq3.7"> ̃ ( ) = 1 + 2 + 2 8 + 0 。 0 2 0 5 9 9 3 3 + 0 。 0 0 3 0 5 3 3 4 + 0 。 0 0 0 0 6 3 0 6 7 1 5 + 5 。 2 5 5 6 × 1 0 − 6 6 + 3 。 7 5 4 × 1 0 − 7 7 + 2 。 2 9 4 0 1 × 1 0 − 8 8 + 1 。 7 4 8 9 2 × 1 0 − 9 9 − 3 。 2 6 9 2 × 1 0 − 1 1 1 0 − 1 。 4 8 5 9 6 × 1 0 − 1 2 1 1 − 6 。 2 0 2 4 3 × 1 0 − 1 4 1 2 − 2 。 5 8 4 9 5 × 1 0 − 1 5 1 3 + 2 。 7 5 2 8 7 × 1 0 − 1 7 1 4 + 1 5 。 ( 3 。 1 4 ) 数值结果的解决方案(3.14)是显示在表中3。

表3

示例3.4 (sixth-order非线性)。考虑以下问题:<年代pan class="equation" id="eq11"> ( ) ( ) = 2 ( ) , 0 < < 1 , ( 3 。 1 5 ) 与边界条件<年代pan class="equation" id="eq12"> ( 0 ) = 1 , ( 0 ) = 1 , ( 0 ) = 1 , ( 1 ) = − 1 , ( 1 ) = − − 1 , ( 1 ) = − 1 。 ( 3 。 1 6 ) 确切的解决方案是<年代vg height="14.0625" id="M182" style="vertical-align:-2.29482pt;width:67.362503px;" version="1.1" viewbox="0 0 67.362503 14.0625" width="67.362503" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) = − 。
对于这个问题,我们采取辅助函数<年代vg height="15.1125" id="M183" style="vertical-align:-3.13504pt;width:136.53751px;" version="1.1" viewbox="0 0 136.53751 15.1125" width="136.53751" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ℎ ( ) = ( 1 + 2 − ) ,<年代pan class="equation" id="eq13"> ̃ ( ) = 0 ( ) + 1 , 1 , 2 + 2 , 1 , 2 + 1 3 。 ( 3 。 1 7 ) 利用伽辽金方法,我们获得<年代vg height="14.6" id="M185" style="vertical-align:-3.13504pt;width:133.77499px;" version="1.1" viewbox="0 0 133.77499 14.6" width="133.77499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 1 = 0 。 4 1 2 4 3 7 9 8 9 9 8 ,<年代vg height="14.725" id="M186" style="vertical-align:-3.13504pt;width:125.9625px;" version="1.1" viewbox="0 0 125.9625 14.725" width="125.9625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 = 0 。 0 0 1 4 0 6 9 1 4 9 。
在这种情况下是OHAM解决方案<年代pan class="equation" id="EEq3.8"> ̃ ( ) = 1 − 0 。 9 9 9 9 9 9 9 9 4 + 2 2 − 0 。 1 6 6 6 6 6 7 7 5 3 + 4 2 4 − 0 。 0 0 8 3 3 2 4 6 5 5 + 0 。 0 0 1 3 8 7 4 4 1 6 − 0 。 0 0 0 1 9 7 7 8 4 7 + 0 。 0 0 0 0 2 5 0 7 1 8 − 3 。 0 0 2 × 1 0 − 6 9 + 2 。 9 1 8 × 1 0 − 7 1 0 − 6 。 7 × 1 0 − 9 1 1 − 2 。 2 5 7 × 1 0 − 9 1 2 + 1 。 8 0 6 × 1 0 − 1 0 1 3 − 1 。 9 7 4 × 1 0 − 1 1 1 4 + 1 5 。 ( 3 。 1 8 ) 数值结果的解决方案(3.18)是显示在表中4。

表4
它显示了OHAM比较解决方案(3.18)与精确解和分解方法得到的错误(ADM) (19),同伦摄动方法(HPM) (24),和变分迭代法(22]。很明显的结果,我们应用的方法比其他方法更有效和准确。

示例3.5 (eighth-order非线性)。考虑以下问题:<年代pan class="equation" id="eq14"> ( ) ( ) = − 2 ( ) , 0 < < 1 , ( 3 。 1 9 ) 与边界条件<年代pan class="equation" id="eq15"> ( 0 ) = 1 , ( 0 ) = 1 , ( 0 ) = 1 , ( 0 ) = 1 , ( 1 ) = , ( 1 ) = , ( 1 ) = 。 ( 3 。 2 0 ) 考虑到二阶解<年代vg height="17.8375" id="M236" style="vertical-align:-3.25793pt;width:309.0625px;" version="1.1" viewbox="0 0 309.0625 17.8375" width="309.0625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ̃ ( ) = 0 ( ) + 1 ( , 1 ) + 2 ( , 1 , 2 ) + ( 1 3 ) 以下值的收敛控制常数得到利用伽辽金方法:<年代pan class="equation" id="eq16"> 1 = − 1 。 4 5 1 8 9 4 6 7 3 × 1 0 − 1 1 , 2 = − 0 。 0 0 0 6 4 7 5 8 1 。 ( 3 。 2 1 ) 在这种情况下的近似解<年代pan class="equation" id="EEq3.9"> ̃ ( ) = 1 + + 0 。 5 2 + 0 。 1 6 6 6 6 7 3 + 0 。 0 4 1 6 2 7 5 4 + 0 。 0 0 8 8 4 8 5 7 5 + 0 。 0 0 1 1 7 0 2 7 6 + 0 。 0 0 0 3 3 1 6 1 7 + 1 。 6 0 6 1 × 1 0 − 8 8 + 1 。 7 8 4 5 6 × 1 0 − 9 9 + 1 。 7 8 4 5 6 × 1 0 − 1 0 1 0 + 1 。 6 2 2 3 3 × 1 0 − 1 1 1 1 + 1 。 3 4 9 4 × 1 0 − 1 2 1 2 + 1 3 。 ( 3 。 2 2 ) 如果使用最小二乘的方法来确定<年代vg height="10.6125" id="M239" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 的年代,我们有<年代pan class="equation" id="eq17"> 1 = 1 。 7 9 3 × 1 0 − 8 , 2 = − 1 。 0 0 1 3 4 7 2 8 4 。 ( 3 。 2 3 ) 在这种情况下的近似解<年代pan class="equation" id="EEq3.10"> ̃ ( ) = 1 + + 0 。 5 2 + 0 。 1 6 6 6 6 7 3 + 0 。 0 4 1 6 6 6 7 4 + 0 。 0 0 8 3 3 3 1 3 5 + 0 。 0 0 1 3 8 9 1 8 6 + 0 。 0 0 0 1 9 8 2 3 3 7 + 0 。 0 0 0 0 2 4 8 3 5 8 + 2 。 7 5 9 4 4 × 1 0 − 6 9 + 2 。 7 5 9 4 4 × 1 0 − 7 1 0 + 2 。 5 0 8 5 9 × 1 0 − 8 1 1 + 2 。 0 8 6 5 6 × 1 0 − 9 1 2 + 1 3 。 ( 3 。 2 4 ) 让我们使用辅助函数<年代vg height="15.1125" id="M242" style="vertical-align:-3.13504pt;width:136.53751px;" version="1.1" viewbox="0 0 136.53751 15.1125" width="136.53751" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ℎ ( ) = ( 1 + 2 − ) 并考虑二阶的解决方案<年代pan class="equation" id="eq18"> ̃ ( ) = 0 ( ) + 1 , 1 , 2 + 2 , 1 , 2 + 1 3 。 ( 3 。 2 5 ) 利用伽辽金方法,我们获得<年代vg height="14.7875" id="M244" style="vertical-align:-3.13504pt;width:136.66251px;" version="1.1" viewbox="0 0 136.66251 14.7875" width="136.66251" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 1 = − 0 。 9 9 9 3 1 7 1 4 5 8 ,<年代vg height="14.7875" id="M245" style="vertical-align:-3.13504pt;width:136.66251px;" version="1.1" viewbox="0 0 136.66251 14.7875" width="136.66251" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 = − 0 。 0 0 1 2 3 1 4 9 9 5 。
在这种情况下OHAM解决方案<年代pan class="equation" id="EEq3.11"> ̃ ( ) = 1 + + 2 + 2 ! 3 3 ! + 0 。 0 4 1 6 6 6 6 6 7 4 + 0 。 0 0 8 3 3 3 3 3 3 5 + 0 。 0 0 1 3 8 8 8 8 9 6 + 1 。 9 8 4 × 1 0 − 4 7 + 2 。 4 8 0 × 1 0 − 5 8 + 2 。 7 5 6 × 1 0 − 6 9 + 2 。 7 5 6 × 1 0 − 7 1 0 + 2 。 5 0 5 × 1 0 − 8 1 1 + 2 。 0 8 8 × 1 0 − 9 1 2 + 1 3 。 ( 3 。 2 6 ) 数值结果的解决方案(3.22),(3.24)和(3.26)是显示在表中5。

表5

示例3.6 (nineth-order线性)。考虑以下问题:<年代pan class="equation" id="eq19"> ( 9 ) ( ) = ( ) − 9 , ( 3 。 2 7 ) 与边界条件<年代pan class="equation" id="eq20"> ( 0 ) = 1 , ( 0 ) = 0 , ( 0 ) = − 1 , ( 0 ) = − 2 , ( 0 ) = − 3 , ( 1 ) = 0 , ( 1 ) = − , ( 1 ) = − 2 , ( 1 ) = − 3 。 ( 3 。 2 8 ) 确切的解决方案是<年代vg height="14.0625" id="M295" style="vertical-align:-2.29482pt;width:104.3375px;" version="1.1" viewbox="0 0 104.3375 14.0625" width="104.3375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) = ( 1 − ) 。
对于这个线性问题,我们接受<年代vg height="14.7125" id="M296" style="vertical-align:-3.13504pt;width:124.0375px;" version="1.1" viewbox="0 0 124.0375 14.7125" width="124.0375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ℎ ( ) = ( 1 + 2 ) ,根据程序的其余部分OHAM,二阶解,<年代vg height="17.8375" id="M297" style="vertical-align:-3.25793pt;width:332.14999px;" version="1.1" viewbox="0 0 332.14999 17.8375" width="332.14999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ̃ ( ) = 0 ( ) + 1 ( , 1 , 2 ) + 2 ( , 1 , 2 ) + ( 1 3 ) ,是由价值观决定的<年代vg height="14.7125" id="M298" style="vertical-align:-3.2316pt;width:70.574997px;" version="1.1" viewbox="0 0 70.574997 14.7125" width="70.574997" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> : = 1 , 2 。金的方法后,我们获得<年代vg height="14.6" id="M299" style="vertical-align:-3.13504pt;width:54.612499px;" version="1.1" viewbox="0 0 54.612499 14.6" width="54.612499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 1 = − 1 ,<年代vg height="14.6" id="M300" style="vertical-align:-3.13504pt;width:43.912498px;" version="1.1" viewbox="0 0 43.912498 14.6" width="43.912498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 = 0 ,因为<年代vg height="10.9125" id="M301" style="vertical-align:-0.17555pt;width:35.174999px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.174999 10.9125" width="35.174999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = 0 和<年代vg height="10.8625" id="M302" style="vertical-align:-0.13794pt;width:34.674999px;" version="1.1" viewbox="0 0 34.674999 10.8625" width="34.674999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = 1 。
二阶近似解<年代pan class="equation" id="EEq3.12"> ( ) = 1 − 2 2 − 3 3 − 4 4 − 0 。 0 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 − 0 。 0 0 6 9 4 4 4 4 4 4 6 − 0 。 0 0 1 1 9 0 4 7 6 2 7 − 0 。 0 0 0 1 7 3 6 1 1 1 8 − 0 。 0 0 0 0 2 2 0 4 5 8 6 9 − 2 。 4 8 0 1 6 × 1 0 − 6 1 0 − 2 。 5 0 5 2 1 × 1 0 − 7 1 1 − 2 。 2 9 6 4 4 × 1 0 − 8 1 2 + 1 3 。 ( 3 。 2 9 ) 数值结果的解决方案(3.29)是显示在表中6。

表6

示例3.7 (tenth-order非线性)。考虑以下问题:<年代pan class="equation" id="eq21"> ( ) ( ) = − 2 ( ) , 0 < < 1 , ( 0 ) = 1 , ( 0 ) = 1 , ( 0 ) = 1 , ( 0 ) = 1 , ( ) ( 0 ) = 1 , ( 1 ) = , ( 1 ) = , ( 1 ) = , ( 1 ) = , ( ) ( 1 ) = 。 ( 3 。 3 0 ) 我们考虑二阶的解决方案<年代vg height="17.8375" id="M329" style="vertical-align:-3.25793pt;width:309.0625px;" version="1.1" viewbox="0 0 309.0625 17.8375" width="309.0625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ̃ ( ) = 0 ( ) + 1 ( , 1 ) + 2 ( , 1 , 2 ) + ( 1 3 ) 。
找到的值<年代vg height="14.45" id="M330" style="vertical-align:-3.2316pt;width:14.6375px;" version="1.1" viewbox="0 0 14.6375 14.45" width="14.6375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ,我们应用Galarkin的方法。所以解决系统<年代pan class="equation" id="eq22"> ̃ 1 = 0 , ̃ 2 = 0 , ( 3 。 3 1 ) 我们有<年代vg height="14.6" id="M332" style="vertical-align:-3.13504pt;width:43.912498px;" version="1.1" viewbox="0 0 43.912498 14.6" width="43.912498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 1 = 0 ,<年代vg height="14.725" id="M333" style="vertical-align:-3.13504pt;width:128.85001px;" version="1.1" viewbox="0 0 128.85001 14.725" width="128.85001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 = − 1 。 0 2 3 9 6 6 0 8 6 。
在这种情况下,近似解<年代pan class="equation" id="EEq3.13"> ̃ ( ) = 1 + + 2 2 + 3 6 + 4 2 4 + 0 。 0 0 8 3 3 3 3 2 3 5 + 0 。 0 0 1 3 8 8 9 4 6 + 0 。 0 0 0 1 9 8 3 1 2 7 + 0 。 0 0 0 0 2 4 8 9 8 8 + 2 。 7 1 2 × 1 0 − 6 9 + 2 。 8 2 1 8 × 1 0 − 7 1 0 + 2 。 5 6 5 2 × 1 0 − 8 1 1 + 2 。 1 3 7 7 × 1 0 − 9 1 2 + 1 3 。 ( 3 。 3 2 ) 数值结果的解决方案(3.32)是显示在表中7。

表7

4所示。结论

在本文中,我们使用OHAM找到高阶两点边值问题的近似解析解在有限域。观察,方法明确,有效,可靠。它适用于高阶问题,是最快的收敛以及显著的低误差。OHAM还为我们提供了一个非常简单的方法来控制和调整使用辅助的级数解的收敛常数<年代vg height="14.45" id="M359" style="vertical-align:-3.2316pt;width:14.6375px;" version="1.1" viewbox="0 0 14.6375 14.45" width="14.6375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 的最佳决定。此外,通过使用不同形式的辅助功能,更可获得精度。它也被观察到,确定最优的值<年代vg height="10.6125" id="M360" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ,最小二乘法和伽辽金的性能的方法是依赖于问题的。一个人可以选择一个最适合的这两个问题的解决方案。