文摘

本文考虑时滞泛函微分方程与多个常数偏差变元的三阶。使用Lyapunov-Krasovskii功能的方法,我们发现一些充分条件的解是稳定的和有界。我们给一个例子来说明这个工作所取得的理论分析和显示方法利用的有效性。

1。介绍

在本文中,我们考虑时滞微分方程常数偏差变元的三阶,,,如下: 写作(1.1)作为一阶方程组,我们有 在哪里和,积极的常量,即固定延迟;的函数,,,,连续的都是各自的参数和质数(1.1)表示分化有关,。它还假设衍生品,,,存在,是连续的;在整个论文,缩写为, ,,分别。最后,解的存在性和唯一性(1.1)认为,所有解决方案被认为应该是真正的价值。

我们所知的文学,在过去五年中,有很多关注讨论的解决方案的非线性微分方程的稳定性和有界性的三阶没有偏离的论点。对于主题的综合治疗,我们参考这本书的读者Reissig et al。1)的调查和论文Ademola et al。2),Afuwape et al。3),伊佐拉(4- - - - - -13),伊佐拉和Tejumola14,15),有和Shadman16],Ogundare [17],Ogundare和Okecha [18],Omeike [19,20.],蓬佐[21,22],Swick [23- - - - - -25],Tejumola [26,27],Tunc [28- - - - - -34],Tunc和Ateş[35),Tunc和世界货币基金36],这些论文的参考文献引用一些作品的主题。

此外,第一,1973年,Sinha [37)研究了三阶非线性微分方程解的稳定性与偏离的论点。之后,一些作者处理的稳定性和有界性解决方案不同的三阶非线性微分方程的偏差参数。一些相关的作品,一个可以参考的论文Afuwape和Omeike38],Omeike [39],Sadek [40,41],Tejumola和Tchegnani [42],Tunc [43- - - - - -59),姚明和孟(60朱],[61年),和引用。

应该注意的是,在所有上述文件,李雅普诺夫函数或Lyapunov-Krasovskii泛函,已被用来作为基本工具来证明结果成立。也值得一提,最有效的方法来研究非线性微分方程解的稳定性和有界性更高的订单没有参数或偏离在文献中仍然是李雅普诺夫直接法,尽管它使用过去长时期了。

本文的动机来自于上面提到的论文和书籍。我们的结果改进和包括现有文献的结果。这工作使贡献现有研究文献。

2。主要结果

让。

我们的第一个结果是由下面的定理。

定理2.1。除了基本的假设实施的功能,,,,出现在(1.1),我们假设存在正的常数,,,,,,,,,这样,下列条件:(我) ,, (2) 。
如果 然后的零解(1.1)是稳定的。

证明。定义Lyapunov-Krasovskii功能作为 在哪里和一些积极的常量是选择之后。
使用的假设,,,,,我们有 这 另一方面,很明显, 这 因此,我们可以获得一些积极的常数,,这样 在哪里,因为积分和是负的。
让的解决方案(1.2)。区分Lyapunov-Krasovskii功能在这个解决方案中,我们发现
使用定理的假设2.1和估计,我们得到 这 让和因此, 让。然后 因此,如果 然后 这就完成了定理的证明2.1(伯顿62年黑尔],[63年],Krasovskiĭ[64年])。

让。

我们的第二个主要结果是由下面的定理。

定理2.2。除了所有定理的假设2.1,我们假设条件 持有,。如果 然后,存在一个有限正的常数这样的解决方案(1.1)定义的初始函数 满足 对所有,在那里。

证明。假设下的定理2.2的时间导数Lyapunov-Krasovskii功能满足 使用估计和 由此可见, 在哪里。
整合上述估计来,使用的假设和Gronwall-Bellman不等式(见Gronwall [65年]和Mitrinović[66年]),我们可以得出这样的结论:所有解决方案(1.1)是有界的。

例2.3。考虑三阶非线性微分方程的两个偏差参数如下: 写作(2.22)作为系统的一阶方程,我们得到 由此可见,(2.22(的)是特例1.1),当我们比较(2.22)和(1.1我们得到以下估计: 鉴于上述讨论,它遵循 也就是说,, 因此,所有定理的假设2.1和2.2持有。这表明的零解(2.22)是稳定的和所有的解决方案相同的方程有界的,什么时候和,分别。