文摘
结构声学问题考虑在本研究中是一个矩形管的非线性共振频率与一个开口,一个灵活的结束,和四个刚性侧墙multiacoustic单一结构模态配方来源于两个耦合的偏微分方程代表了大型结构振动振幅的灵活的结束和声压在管诱导。谐波平衡的结果和同伦摄动方法相互验证。长宽比、振动振幅的影响,数量的声学模式和谐波计算,等等,在前两个谐振频率,检查。
1。介绍
在过去的几十年中,许多研究人员致力于线性structural-acoustic研究工作(例如,1- - - - - -7])和nonlninear结构振动问题(例如,8- - - - - -15),分别。矩形管的structural-acoustic问题(或类似的问题)研究了各研究多年。到目前为止,只有很少的研究工作大约structural-acoustics采用大型振动振幅的假设(16- - - - - -20.]。一些古典解非线性structural-acoustic问题已经发展到目前为止,尽管有许多方法可用于解决非线性控制微分方程(例如,21- - - - - -30.]。本文报道的研究中,使用同伦摄动和谐波平衡方法和评估。这是因为这两种方法被用来确定梁的大自由振动振幅和非线性振子在先前的研究,同意与其他出版的结果(31日]。从这两种方法获得的结果相互验证。在有限元等数值方法求解非线性结构振动的问题(例如,32- - - - - -35),有必要设置一组残余方程或全球矩阵方程,然后求解特征值的解决方案。所有的这些方法都需要很大努力作为一个特征值问题。本研究使用multiacoustic和单一结构模式开发的经典解决方案方法不需要大量的计算工作和预处理输入。
2。理论
2.1。控制方程
在图1,引发的矩形管中的声压灵活结束由以下给出齐次波动方程(1]: 在哪里P=管中的压力;τ=时间;=声音的速度。
给出了边界条件 在哪里板振动响应;模式;振幅(或位移);频率。
根据(1),一般multiacoustic模式的解决方案(2.1)是 在哪里和声学模式数字;和最后声学模式数字;和未知系数确定的边界条件。
应用边界条件(2.2摄氏度)(2.3)给 然后应用边界条件(2.2 d)(2.3)给 在哪里; 因此,声压和模态声压力作用于灵活的结束是由 在哪里。
根据朱棣文和赫尔曼的方法(15),大的振幅振动的控制方程的一个灵活的板是由 在哪里=面板表面密度;=基本板的线性谐振频率;是由于非线性刚度系数大的振幅振动;E板的杨氏模量;纵横比;泊松比;和=板厚度。
考虑模态声压力(2.7 b)在盘子里。方程(2.8)是修改和给出的
2.2。谐波平衡法
考虑到结构振动响应的谐波条件(20.]: 在哪里的振幅是吗th谐波响应;;和是最后一个谐波订单号;。
然后,模态声压力在(2.7 b)修订,也包括更高的谐波。 在哪里。
同样的,(2.8)修正,给出的 在哪里是一组功能包含。
如果,然后 考虑谐波平衡而忽视高谐波项(2.10)。然后,得到以下方程: 如果,然后 考虑谐波平衡而忽视高谐波项(2.10)。然后,以下三个方程得到: 根据(2.9),得到一个方程: 请注意,是最初的模态位移已知参数。因此,有四个未知数,在(2.14)- (2.14 d)。的共振频率ω通过解决这四个方程。
2.3。同伦摄动方法
考虑灵活的自由大的振幅振动板和相应的控制方程 在哪里。
使用同伦摄动方法(29日,30.),方程(2.15)可以线性化并构造以下同伦(请注意,有一些另类的方式构造同伦方程,例如,(36): 在哪里和是线性和一阶近似条件。他们的初始条件和近似形式给出 在哪里是近似非线性系统的固有频率。和和振动的振幅和,分别。
用(2.16 b)(2.16),收集相同的权力,给 根据(37),由变分公式 考虑和。然后,给出了共振频率 在哪里是大的振幅振动的共振频率。
现在考虑模态声压力作用于面板(2.7 b)。方程(2.18)可以改写和给出的 方程(2.21)一模一样(2.12),这是由谐波平衡方法。
3所示。结果和讨论
在这个数值研究中,前两个共振频率的矩形管和一个灵活的终端被认为和得到解决(2.10)和(2.21)。灵活的材料特性(灵活的面板或结束)如下:杨氏模量= 7.1×1010N / m2泊松比= 0.3,质量密度= 2700公斤/米3。管的尺寸是0.2米×0.2米×1.0米。面板的厚度是1毫米。面板的结构共振频率线性1日(不是安装在管结束),= 121.878赫兹。前九声模式(例如,)和前三个谐波条件(例如,)用于收敛性研究。表1(一)和1(b)不同振幅的谐波项收敛。四个声学模式(例如,)在表中使用的情况下1(一)和1(b),正如上面提到的(2.12)和(2.21),获得的线性共振频率的同伦摄动法和谐波平衡法与一个谐波项是完全相同的。可以看出,第三次谐波项的影响在前两个共振频率可以被忽略。解决方案与前两个谐波方面可以达到三位数精度。表2(一)和2(b)目前声学模式融合研究的结果对各种振动振幅。一个谐波项(例如,)用于病例表2(一)和2(b)。可以看出,更高的效果声模式(即,在前两个共振频率可以忽略。四个声模式的解决方案可以达到三位数精度。
在数据2(一个)和2 (b)振动幅值比,,策划反对频率比为各种面板厚度,、0.6和0.7毫米,前两个共振频率。
(一)
(b)
材料属性和其他维度表中那些被认为是一样的1(一)和1(b)。线性1日三个面板的结构共振频率(不是安装在管端)数据2(一个)和2 (b)是、73.127和85.315赫兹、0.6和0.7毫米。注意,这三个线性结构共振频率低于线性1声共振频率的管一个严格的结束和一个开口端(即,= 85.75赫兹)。通常,共振频率与振幅比在所有情况下都是单调递增。在图2(一个),1日非线性共振频率远小于相应的线性1结构共振频率时,振幅比很小。在图2 (b)非线性共振频率,第二总是高于第一管的线性声学共振频率与一个刚性的结束和一个开放的结束。根据三条曲线之间的比较,之间的差异1 3例图的非线性共振频率2(一个)对于大型振幅比例越来越小。相反,之间的差异2 3例图的非线性共振频率2 (b)越来越大,大的振幅比。
在数据3(一个)和3 (b)振动幅值比,,策划反对频率比为各种面板厚度,、0.9和1.0毫米,前两个共振频率。线性结构共振频率1的三个面板(不是安装在管端)数据3(一个)和3 (b)是、109.69和121.878赫兹,分别为1.0毫米。注意,这三个线性结构共振频率高于第一管的线性声学共振频率与一个刚性的结束和一个开放的结束。虽然在数据曲线3(一个)和3 (b)在数据显示类似的趋势2(一个)和2 (b),还有一些其他的观察发现。根据曲线之间的比较数据2(一个)和3(一个),1日非线性共振频率之间的区别在图3(一个)明显低于那些在图吗2(一个)对于所有振幅比率。在图3 (b),第二非线性共振频率之间的差异相当恒定振幅比率,而第二非线性共振频率图之间的区别2 (b)越来越大,大的振幅比。
(一)
(b)
在数据4(一)和4 (b),1号和2号非线性共振频率策划反对,对各种振动振幅比率(=线性第一面板的结构共振频率,不是安装在管端;=管的线性第一声共振频率与一个刚性的结束和一个开口端)。在图4(一)可以看出,1号下面的所有情况下总是非线性共振频率,当接近它正在增加。类似于观察图4(一),第二非线性共振频率的情况下在图4 (b)总是低于,当接近它正在增加。除此之外,可以看出第二非线性共振的情况下总是高于一定频率和收敛的时候越来越小。
(一)
(b)
在数据5(一个)和5 (b)振动幅值比,是对不同纵横比的频率比策划,、1.5和2毫米,前两个共振频率。1 3例的线性结构共振频率保持不变。可以看出,三条曲线之间的差异非常小;因此宽高比的影响是非常小的非线性结构声学系统的共振频率。
(一)
(b)
4所示。结论
本文提出一种多模公式,基于经典的非线性波面板和齐次方程,非线性振动的一个灵活的面板安装结束的矩形管。前两个共振频率是通过解决多模微分方程,利用谐波平衡法和同伦摄动方法。两种方法的解决方案被发现彼此吻合较好。声模式的趋同研究显示数量和谐波条件需要一个精确的结果。振动振幅的影响,面板厚度、长宽比等也被调查。主要研究结果包括以下:如果线性1面板的结构共振频率高于线性第一声共振频率的管一个严格的结束和一个开口端,第一structural-acoustic系统的非线性共振频率不太敏感的面板厚度比矩形管,该线性1面板的结构共振频率低于线性第一声共振频率;如果线性1面板的结构共振频率低于线性第一声管与一个刚性的共振频率,第二structural-acoustic系统的非线性共振频率是不敏感的面板厚度小的振幅比,大的振幅比和更敏感;和在每种情况下,第一非线性共振频率总是低于线性声学共振频率,1日和2日非线性共振频率总是高于1线性声学共振频率和低于2线性声学共振频率,分别。
承认
本文中描述的工作是完全支持的研究资助委员会的资助香港,香港(项目没有。使用证9041496 (116209))。