确切的解决方案方程使用谎言对称方法以及简单的方程和Exp-Function方法

文摘

本文获得的具体解决方案方程。谎言对称方法最简单的方程方法和Exp-function方法用于获得这些解决方案。作为一个简单的方程我们使用方程简单的黎卡提微分方程的方法。获得的精确解是行波解。

1。介绍

非线性方程的研究领域在过去的几十年中一直很活跃。有几种非线性方程组,出现在各种领域的物理和数学科学。很多努力已经建设的非线性方程的精确解起着重要的作用在许多科学领域,例如,在非线性物理现象的研究1,2]。非线性波现象出现在各种科学和工程领域,如流体力学、等离子体物理、光纤、生物学、海洋学3),固体物理,化学物理和几何。近年来,许多强大的和有效的方法来找到非线性方程的分析解决方案吸引了众多形形色色的科学家感兴趣的。tanh-function方法,这些方法包括扩展tanh-function方法(2,4,5],正弦余弦方法[6),扩张的方法(7,8]。

在本文中,我们研究了方程,即 本文的目的是使用谎言对称方法以及简单的方程方法(SEM)和Exp-function方法获得的精确解方程。最简单的方程方法是由Kudryashov [9- - - - - -12)的基础上一个过程类似于Painleve测试的第一步财产。Exp-function法是一个非常强大的法求解非线性方程。这个方法是由他和吴13)由于其出现在文献中已被许多研究人员应用求解非线性偏微分方程。例如,参见[14,15]。

本文的概述如下。节2我们讨论撒谎对称性分析的方法和获得的对称点方程。然后我们使用翻译对称性减少方程的常微分方程(ODE)。节3我们描述了SEM然后我们获得的具体解决方案减少使用SEM的颂歌。节4我们解释Exp-function方法的基本思想和获得精确解的减少使用Exp-function歌唱方法。结束语部分进行了总结5。

2。谎言对称性分析

我们回想一下,一个谎言点对称的偏微分方程(PDE)是一种可逆的变换了独立和相关的变量,使方程不变。一般确定的所有对称偏微分方程是一个艰巨的任务。然而,索菲斯躺(1842 - 1899)注意到,如果我们将自己限制于对称连续依赖小参数,形成一个组(连续单参数组的转换),一个可以使对称条件和线性化得到一个算法计算连续对称性(16- - - - - -19]。

对称群(1。1)将生成的向量场的形式 应用第二延长(1。1我们获得 在哪里 扩大(2。2我们得到以下线性偏微分方程的超定组:

解决上述系统,我们获得以下无穷小发电机: 我们现在使用翻译对称性的线性组合和,即和减少(1。1一个普通的微分方程。对称收益率以下两个不变量: 使一群不变解因此使用这些不变量(1。1)转化为二阶非线性ODE

3所示。解决方案(2。7使用最简单的方程方法)

我们现在使用最简单的方程方法解决(2。7)。最简单的方程,将使用Ricatti方程 在哪里和任意常数。这个方程是一个著名的非线性常微分方程具有精确解的基本功能。解决方法可以表示为 时的情况,, 为,。在这里是一个积分常数。

让我们考虑的解决方案(2。7)的形式 在哪里满足了黎卡提微分方程(3所示。1),是一个正整数,可以由平衡过程,然后呢参数被确定。

平衡过程收益率的解决方案(2。7)的形式

3.1。解决方案(2。7)当和

用(3所示。5)(2。7)和利用Ricatti方程(3所示。1),然后将所有系数的函数为零,我们获得一个代数方程组和。解决这些代数方程,借助数学软件,我们获得以下的值和。

案例1。 ,,,。

例2。 ,,,。
因此,当,解决方案(2。7),因此解决(1。1)为例1是由 的解决方案(1。1)为例2是由

3.2。解决方案(2。7)当和

如果,用(3所示。5)(2。7和利用3所示。1),然后进行如上所述,我们得到以下的值和。

例3。 ,,,。

例4。 ,,,。
因此,当,解决方案(2。7),因此解决(1。1)为例3是由 的解决方案(1。1)为例4是由

4所示。解决方案(2。7使用Exp-Function方法)

在本节中,我们使用Exp-function方法解决(2。7)。根据Exp-function方法(13- - - - - -15),我们考虑的解决方案(2。7)的形式 在哪里,,,是正整数的未知需要进一步确定,和是未知常数。Exp-function平衡过程的方法,我们获得和。此外,为简单起见,我们集和,所以(4所示。1)减少 用(4所示。2)(2。7),通过数学的帮助下,我们获得 在哪里是一个免费的参数。用这些结果(4所示。2),我们得到精确解 (2。7)。因此,如果我们选择然后这个解决方案,的变量和就变成了 这是一个孤子解的吗方程(1。1)。

5。结论

摘要谎言对称性分析与最简单的方程法和Exp-function法已经成功地用于获得确切的解决方案方程。作为一个简单的方程,我们使用了黎卡提微分方程。获得的解决方案是行波解。特别是,孤子的解决方案也获得。

引用

1. m . Duranda和d·朗之万物化理论的泡沫排水方法,”欧洲物理期刊E7卷,35-44,2002页。视图:谷歌学术搜索
2. 大肠的粉丝,“扩展tanh-function方法及其应用非线性方程组,”物理信,卷277,不。4 - 5,212 - 218年,2000页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
3. l·a·奥斯特洛夫斯基“非线性内波在旋转的海洋,”海洋资源研究18卷,第125 - 119页,1978年。视图:谷歌学术搜索
4. a m。Wazwaz”tanh-coth非线性抛物方程孤波和扭结的方法解决方案,“应用数学和计算,卷188,不。2、1467 - 1475年,2007页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
5. a m。tanh Wazwaz”方法:孤波和周期解Dodd-Bullough-Mikhailov和Tzitzeica-Dodd-Bullough方程,”混乱,孤波和分形,25卷,不。1,55 - 63、2005页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
6. a m。Wazwaz”正弦余弦方法获取解决方案和noncompact结构紧凑,”应用数学和计算,卷159,不。2、559 - 576年,2004页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
7. 应用r . Abazari。$(G^{\prime }/G)$扩张方法三个非线性演化方程的行波解,“电脑&液体,39卷,不。10日,1957 - 1963年,2010页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
8. e . Salehpour h .贾法里,n . Kadkhoda”的应用,$(G^{\prime }/G)$扩张方法非线性Lienard方程。”印度科学和技术杂志》上5卷,第2556 - 2554页,2012年。视图:谷歌学术搜索
9. h·贾法里:Kadkhoda, c . m . Khalique”行波解的非线性演化方程使用最简单的方程方法,”计算机和数学与应用程序,卷64,不。6,2084 - 2088年,2012页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
10. n . a . Kudryashov“简单方程的方法寻找非线性微分方程的精确解,“混乱,孤波和分形,24卷,不。5,1217 - 1231年,2005页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
11. n . a . Kudryashov和n . b . Loguinova”扩展简单方程的非线性微分方程的方法,”应用数学和计算,卷205,不。1,第402 - 396页,2008。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
12. n . k . Vitanov”应用程序的简单的伯努利方程和黎卡提微分获得确切行波光解一类多项式非线性pd,”非线性科学与数值模拟通信,15卷,不。8,2050 - 2060年,2010页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
13. 黄永发。他和X.-H。吴,“Exp-function的非线性波方程的方法,”混乱,孤波和分形,30卷,不。3、700 - 708年,2006页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
14. X.-H。吴和黄永发。他,“EXP-function方法及其应用非线性方程组。”混乱,孤波和分形,38卷,不。3、903 - 910年,2008页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
15. 周x w . y . x温,j . h .他“Exp-function方法解决非线性色散K (m, n)方程,”国际期刊的非线性科学和数值模拟9卷,第306 - 301页,2008年。视图:谷歌学术搜索
16. g . w . Bluman和s . Kumei对称性和微分方程卷,81应用数学科学施普林格,纽约,纽约,美国,1989年。
17. n . h . IbragimovCRC手册的李群分析微分方程,1 - 3卷,CRC出版社,波卡拉顿,佛罗里达州,美国,19941996。
18. a·g·Johnpillai和c . m . Khalique”李群分类和时变系数不变mKdV方程的解决方案,“非线性科学与数值模拟通信,16卷,不。3、1207 - 1215年,2011页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
19. p . j . Olver李群的应用微分方程卷,107研究生数学教材施普林格,柏林,德国,第二版,1993年版。视图:出版商的网站

版权

版权©2012·侯赛因·贾法里等。这是一个开放的分布式下文章知识共享归属许可,它允许无限制的使用、分配和复制在任何媒介,提供最初的工作是正确引用。