文摘

广义Ito系统提出了四个耦合非线性评价方程。新类的精确不变量解决方案利用李群分析得到。此外,我们调查的存在单参数群联系转换为一个广义Ito系统。因此,我们研究单参数群一个联系人之间的关系转换和单参数的谎言点转换为广义Ito系统。

1。介绍

连续变换系统调查小组是由谎言(1882 - 1899)。他最初的目标是建立一个集成为常微分方程理论类似于交换理论的解代数方程。他调查的基本概念不变性集团承认由给定的微分方程组。今天,数学方法的对象是完整的不变性组织承认的建设和分析系统的微分方程称为组微分方程的分析。这些团体现在通常被称为李群和李代数相关重要的现实应用。

在过去的二十年里,李群方法被应用于解决各种各样的问题和探索非线性现象的许多物理有趣的解决方案。最近,几个经典谎言算法的扩展和修改提出了为了到达新的偏微分方程(PDE)的解决方案。谎言对称性分析是其中一个最强大的方法来得到微分方程的特解。它是基于不变性的研究对单参数李群无穷小算子的点转换生成的向量场。一旦李群,把微分方程不变,我们可以构建一个名为一群不变解的精确解变换下是不变的。

在这项工作中,我们首先找到对称组和获得减少形式,然后寻求一些相似解决方案的形式以下Ito耦合的系统。单参数的应用组减少了独立变量的数量,因此一套广义Ito系统减少的常微分方程(ode)分析解决。

现在我们考虑一个广义Ito系统介绍了四个耦合的非线性演化方程的最近Tam et al ., (1)和Karasu-Kalkanli et al。2]: 这是著名的推广可积的Ito系统[3]: 现在,我们调查的存在单参数群联系转换为一个广义Ito系统(1。1)获得谎言点转换发电机和使用对称组发现同样的谎言点转换发电机从接触转换获得。

2。联系转换为一个广义的存在Ito系统

进化方程模型中各种现象的物理,生物和经济科学。李群理论为解决偏微分方程提供了一个有用的工具。很多书已经写在这方面(4]。李群理论有用evolution-type偏微分方程的解,谎言点转换发电机需要确定(4]。一旦谎言点转换发电机已经确定,可以用它们来获得特殊的微分方程考虑的解决方案。减少数量的变量和转换到其他更简单的方程可能更容易解决也是可行的。谎言理论提供了洞察许多物理现象,否则不可能。

2.1。预赛

我们只总结相关方面的情况下两个独立变量(时间,一个空间变量,)。读者被称为(5]。的转换(,,)空间,即 在哪里是一个真正的参数,是一个单参数组谎言点转换如果它满足组属性。发电机的转换(集团2。1)是由

的转换空间,即 在哪里是一个真正的参数,是一个单参数的转换,如果它满足组属性和联系吗,持有。

一群接触的发电机转换

谎言特征函数的定义 的功能,,可以给的吗作为 和公式可以很容易地编写的吗作为 高阶拖长某个可以延长的公式计算: 在哪里运营商的总差异吗

如果一阶导数是线性的吗和,然后联系转换发生器(2。4)减少到一个扩展点转换发生器(2。2)。

2.2。应用程序转换为广义Ito接触系统

在本节中,我们确定广义Ito接触转换系统(1。1),

谎言点转换发电机是由(4]。确定联系的转换(1。1),我们解决确定方程: 在哪里的延长操作符(2。4)的。

因此,我们发现 在哪里,,,,,,,,,,从下面的关系可以确定吗 在哪里和,,,是,,,,分别。

用,,,,,,,,,,到(2.18)和一些计算后,得到谎言特征函数在以下形式: 在哪里,,,任意常数。然后Ito系统有以下无穷小:

2.3。李群分析

许多作者应用李群分析找到确切的解决方案,例如,在[6]作者使用谎言对称性分析和动力系统的方法扩展mKdV方程得到精确解,在7]作者应用谎言对称分析和Painleve分析新(2 + 1)维KdV方程,和在8]作者有一些地下水流动和分析解决方案通过使用李群分析输运方程。获得各种对称性降低,降低了系统的偏微分方程系统的常微分方程,我们可以获得完整的常微分方程系统的解决方案。在本节中,通过要求方程的不变性(1。1)的单参数组下变换,得到偏微分方程的系统不仅让我们可以找到集团的发电机也使用不变的表面状况和到达在所有考虑的情况下简化方程。现在要求的不变性(1。1)对无穷小变换的单参数李群,我们研究广义Ito系统解决方案的相似之处。

让我们考虑一个单参数李群无穷小变换(9- - - - - -11)的形式:

的函数,,,,,无穷小的转换变量吗,,,,,,分别。为了获得这些无穷小函数我们必须构造一个第三扩展向量场所定义的 和对称向量场由(2。2)。方程(1。1可以书面形式):

的不变性(2.24无穷小的转换(下)2.23)需要进行扩展操作系统pd (2.24),我们有 下,,,。通过使用符号软件数学谎言,将不同系数的各种单项第一,第二和第三阶偏导数,,,到(2.25),经过计算,我们得到以下系统的偏微分方程,,,,,(12- - - - - -15]:

现在,我们解决这个系统的线性偏微分(2.26)无穷小,,,,,我们获得 在哪里,,和任意常数。上面的方程是一样的(2.21)。我们从(2.21),这个谎言点转换发电机

相应的李代数的无穷小对称性(1。1)是无穷小张成的发电机,,,。因此,相应的换向器表可以构造表1。

很容易检查躺下架。因此,李代数的基础,这是一个四维李群代数。

2.4。常微分方程(ode)减少

从理论上讲,所有的相似性变量与说谎有关对称性(2.23)可以通过求解特征方程如下:

因此,我们得到了以下几点: 从

解决(2.31),我们获得相似的变量 从(2.30),我们得到

通过求解(2.33),我们获得相似的解决方案是: 在哪里和,,,是任意的函数。

用(2.34)到方程(1。1),我们最后得到的非线性常微分方程组,,,的形式:

解决系统的常微分方程(2。4),我们有四个解决方案,,,。

案例1。 在哪里,和有任意常数。

例2。 在哪里,和有任意常数。

例3。 在哪里和是任意常数。

例4。 在那里,和是任意常数。

用(2.36)- (2.39)(2.34广义Ito)我们获得解决方案系统(1。1)在以下

家庭1。 在哪里,和有任意常数。

家庭2。 在哪里,和有任意常数。

家庭3。 在哪里和是任意常数。

家庭4。 在哪里和任意常数,。

3所示。结论

在本文中,我们证明了单参数群的存在联系转换为一个广义Ito系统(1。1)。此外,我们之间的关系获得谎言点转换发电机和联系转换为一个广义Ito系统。同时,我们使用了对称组发现同样的谎言点转换发电机从接触转换获得。

最后,应用单参数组,我们探索了一些新的解决方案Ito系统通过谎言对称性分析文献没有报道这个模型。

承认

作者要感谢院长以来的科研、北边界大学为他们的财政支持项目没有。432/32。