文摘
芯型随机KP方程是研究。随机单孤子解和随机multisoliton解决方案通过使用埃尔米特变换和达布变换。
1。介绍
近几十年来,人们越来越有兴趣考虑随机效应的建模,分析,模拟,和预测复杂的现象,已被广泛公认的地球物理和气候动力学、材料科学、生物学、化学和其他地区,看到1,2]。如果问题被认为是在随机环境中,随机偏微分方程(spd)适合复杂系统的数学模型在随机影响或噪音。到目前为止,我们知道随机波是随机偏微分方程的一个重要课题。
1970年,学习期间的稳定性与横向扰动小,类KdV孤波解Kadomtsev和Petviashvili3)到达的二维版本KdV方程: 这被称为Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程。KP方程在两个不同的形式出现在物理应用和,通常称为KP-I KP-II方程。物理应用KP方程的数量甚至比物理应用的数量KdV方程。众所周知,齐次平衡法(4,5)已被广泛应用于推导出非线性转换和精确解(尤其是孤波)和达布变换(6),以及在数学物理非线性pde的类似的削减。这些主题被许多作者研究。
社民党,(7),霍尔顿等人给白噪声功能研究方法随机偏微分方程在灯芯的版本中,随机效应考虑在内。在本文中,我们将使用他们的理论和方法研究随机芯型随机KP方程的孤子解,可以获得随机因素的影响。
芯型随机KP方程在白噪声环境下被认为是以下形式: 这是KP方程的扰动变量系数: 通过随机力,在那里飞驒分布是芯产品的空间中定义的部分是什么2,和是函数的,是高斯白噪声,和是一个布朗运动,是一个函数的对于一些常量,函数的灯芯版本吗。
本文组织如下。节2,功函数空间。节3,我们目前的单孤子解随机KP方程(1。2)。部分4致力于调查multisoliton随机KP方程的解决方案(1。2)。
2。社民党由白噪声驱动的
让和飞驒测试函数和飞驒分布空间,分别。集合构成一个正交的基础,在那里是为埃尔米特多项式。张量的家庭产品形成了一个正交的基础,在那里是维multi-indices与。的multi-indices被定义为元素的空间所有的序列与元素和紧凑的支持,也就是说,只有有限的许多。为,我们定义
如果是固定的,让包括那些与这样对所有与如果,在那里是白噪声测量和为。的空间可以被看作是双重的。组成的所有正式的扩张与这样对于一些的行动和通常的内积在吗。
被称为芯产品的和,因为与。我们可以证明空间,关闭下芯的产品。
为与,或被定义为的埃尔米特变换吗通过(当收敛),(所有的复数序列的集合)为。为通过这个定义对所有这样和存在。产品上面的公式的右边是两个元素之间的复杂的双线性产品定义为在哪里。让。那么向量被称为广义的期望用。假设是一个解析函数,在哪里是一个社区的。假设的泰勒级数周围系数在。然后灯芯版本。
假设建模考虑让我们考虑SPDE表示正式的,在那里是一些给定的函数,是未知的广义随机过程,和运营商吗当。如果我们所有产品解释为芯的产品和所有功能的灯芯版本, 的埃尔米特变换(2。2),芯产品变成了普通产品(复数)之间,以及方程的形式 在哪里埃尔米特变换吗和是复数。假设我们可以找到一个解决方案(2。3)为每一个对于一些,在那里和。然后在一定条件下,我们可以采取反埃尔米特变换从而获得一个解决方案最初的灯芯方程(2。2)。我们有下面的定理,证明了霍尔顿等人在7]。
定理2.1。假设是一个解决方案(一般强大,逐点的意义)(2。3)在一些有界开集和对于一些。此外,假设和所有的偏导数,参与(2。3),是有界的,连续对所有,和分析对所有。然后存在这样对所有和解决(在强烈)(2。2)。
3所示。随机KP方程的单孤子解
在本节中,我们调查的单孤子解芯型随机KP方程(1。2)。使用类似的想法关于行列式的达布变换非线性偏微分方程,我们可以获得孤子解(1。2),可以看到下面的定理。
定理3.1。芯型随机KP方程(1。2)在白噪声环境下,一个单孤子解KP-I: 和KP-II: 在哪里和
证明。的埃尔米特变换(1。2),方程(1。2)可以改变
在哪里埃尔米特变换吗;的埃尔米特变换被定义为在哪里是参数。
假设。让。从(3.4),我们可以获得
让;然后(3.5)可以改变
现在我们考虑的孤波解(3.6利用达布变换)。更方便的考虑以下的相容性条件线性偏微分方程组,也就是说,宽松的一双(3.6):
然后我们可以获得芯型宽松的一对(1。2):
让是一个给定的解决方案(3.8)。使用的想法关于行列式的达布变换非线性偏微分方程,通过直接计算,很容易知道,如果假设,在那里是一个任意的解决方案(3.8),然后满足以下方程:
在哪里,。
自(3.6)是非线性的,很难解决。特别是,和,然后从(3.8),我们有
如果,(3.10)指数函数的解决方案
在哪里
和是一个任意的实际参数。然后我们可以获得的单孤子解(3.6)。由(3.11)和(3.12)存在的随机单孤的解决方案(1。2)如下:
在哪里
自(见引理2.6.16(时7),(1。2)单孤子解
在哪里
特别是,当我们可以获得的解决方案(2。2),分别如下:
如果,(3.10)指数函数的解决方案
在哪里
的结合和是一个任意复杂的参数。让根据(3.9从(),3.18)和(3.19)存在的随机单孤的解决方案(1。2)如下:
在哪里
与前一种情况中,,(1。2)单孤子解
在哪里
特别是,当我们可以获得的解决方案(2。2)如下:
4所示。Multisoliton随机KP方程的解决方案
同时,随机KP方程的multisoliton解决方案也可以考虑。很明显,达布变换可以应用于(3.9再一次)。这个操作可以任意重复。这个过程的第二步 在哪里是固定的解决方案(3.9),这是由一些固定的解决方案(3.8)和独立。我们知道 通过使用倍达布变换公式(4所示。3)可以推广到获得初始方程的解决方案(3.8)没有任何使用解决方案相关中间迭代的过程。
让是不同的和独立的解决方案(3.8)。我们定义Wronski行列式的函数作为
定理4.1。芯型随机KP方程(1。2)在白噪声环境下,一个有孤子解令人满意的
证明。从[6),很容易看到的功能
满足以下方程:
在哪里和。
然后我们有芯型形式
满足以下方程:
在哪里。
特别是,,,我们可以获得孤波解(1。2):
当和,由相应的形式(3.11)和(3.18),采取不同的常数。
4.2的话。然而,在一般情况下,在视图的建模,可以考虑噪声的情况下有不同的性质。原来有密切数学联系社会民主党由高斯和Poissonian噪音至少对芯型方程。众所周知,有一个统一的映射到相应的解决高斯SPDE,看到7]。因此,如果系数由Poissonian白噪音(摄动1。2),随机单孤子解和随机multisoliton解决方案也可以获得同样的讨论。
确认
本文由中国国家自然科学基金支持的(没有。11061003)和基础博士的广西科技大学(没有。03081587)。