文摘

众所周知,严格pseudocontractive映射有更强大的应用程序比扩张映射解决逆问题。在本文中,我们将研究计算严格pseudocontractive映射的不动点的迭代。两种迭代方法(一个隐式的,另一个显式的)寻找严格pseudocontractive映射的不动点在希尔伯特空间构造。作为特殊情况,我们可以使用这两个方法来找到最低标准严格pseudocontractive映射的不动点。

1。介绍

在本文中,我们将研究计算严格pseudocontractive映射的不动点的迭代。我们的主要动机是在两个方面。

动机1
寻找扩张映射的不动点迭代方法得到了大量调查由于其广泛的应用在各种应用领域的逆问题,偏微分方程,图像恢复,和信号处理;参见[1- - - - - -35)和引用。它是已知的36)严格pseudocontractive映射有更强大的应用程序比扩张映射解决逆问题。因此,有趣的是制定严格的算法pseudocontractive映射。

动机2
在许多问题,需要找到一个解决方案与最低标准。在一种抽象的方式,我们可以制定等问题找到一个点随着房地产 在哪里是一个非空的闭凸子集的一个真正的希尔伯特空间。一个典型的例子是约束的最小二乘解线性反问题[37]。一些相关的作品寻找minimum-norm解决方案(或扩张映射的不动点)已经被一些作者认为。读者可以参考(38- - - - - -41]。
在本文中,我们提出了两种迭代方法(一个隐式的,另一个显式的)寻找严格pseudocontractive映射的不动点在希尔伯特空间。作为特殊情况,我们可以使用这两个方法来找到最低标准严格pseudocontractive映射的不动点。

2。预赛

让是一个真正的希尔伯特空间内积和规范,分别。让是一个非空的闭凸子集。

2.1。一些概念

回想一下,一个映射被称为扩张,如果 对所有。和一个映射据说是严格pseudocontractive如果存在一个常数这样 对所有。在这种情况下,我们也这么说是一个严格pseudocontractive映射。很明显,在一个真正的希尔伯特空间,(2.2)等价于 对所有。很明显,严格严格pseudocontractive映射的类包括扩张映射的类。

回想一下,最近的点(或指标)的投影到定义如下:每一个点吗,独特的点在吗属性: 请注意,特点是不平等: 因此,是扩张。

2.2。几个有用的前题

引理2.1(见[42])。让是一个真正的希尔伯特空间。那里拥有以下标识: 对所有。

引理2.2(见[43])。让是一个非空的闭凸子集的一个真正的希尔伯特空间。让是一个严格pseudocontraction。然后,(我) 封闭凸的投影吗是定义良好的;(2) 为扩张。

引理2.32.3(见[42])。让是一个非空的封闭凸的一个真正的希尔伯特空间。让是一个严格pseudocontractive映射。然后demiclosed在也就是说如果和,然后。

引理2.4(见[44])。让和巴拿赫空间中有界序列,让是一个序列与。假设 对所有和 然后。

引理2.5(见[45])。让是一个非负实数序列满足 在哪里和满足(我) ,(2)要么或。然后收敛于。

我们使用以下符号:(我) 代表固定的点的集合;(2) 代表的弱收敛来;(3) 代表的强烈收敛来。

3所示。迭代和收敛性分析

定理3.1。让是一个非空的闭凸子集的一个真正的希尔伯特空间。让一个严格pseudocontractive映射与。让是一个常数。为和任何,让下面的隐式定义的序列的方式: 然后序列强烈收敛。

证明。一步1。序列是定义良好的。
集。它很容易检查。然后,我们可以重写(3.1), 相当于以下: 请注意,扩张(见引理吗2.2)。为解决,我们定义了一个映射通过 为,我们有 这意味着自收缩的对于每一个。因此有独特的定点这是定点方程的唯一解(3.3)。
一步2。序列是有界的。
接任何。从(3.3),我们有 由此可见,
因此,是有界的,所以是什么。
一步3所示。。
从(3.3),我们有
由此可见,
一步4所示。 。
自是有界的,存在一个子序列的,收敛弱一点。注意到(3.9我们可以用引理2.3得到。
通过使用标准的凸性和引理2.1,对于任何,我们有 事实证明, 在哪里是一个常数,这样吗 因此,我们可以用为在(3.11) 然而,。这在一起(3.13)保证。很明显,。事实上,在(3.11),如果我们让,然后我们得到 这相当于 因此,。因此,。这就完成了证明。

推论3.2。让是一个非空的闭凸子集的一个真正的希尔伯特空间。让一个扩张映射的映射,。让是一个常数。为和任何,让下面的隐式定义的序列的方式: 然后序列强烈收敛。

推论3.3。让是一个非空的闭凸子集的一个真正的希尔伯特空间。让一个严格pseudocontractive映射与。让是一个常数。对于任何,让下面的隐式定义的序列的方式: 然后序列强烈收敛这是最低标准不动点的。

推论3.4。让是一个非空的闭凸子集的一个真正的希尔伯特空间。让一个扩张映射的映射,。让是一个常数。对于任何,让下面的隐式定义的序列的方式: 然后序列强烈收敛这是最低标准不动点的。

接下来,我们介绍一个显式算法找到的不动点。

定理3.5。让是一个非空的闭凸子集的一个真正的希尔伯特空间。让一个严格pseudocontractive映射与。让和是两个常数令人满意的。为和任何,让下面的显式定义的序列的方式: 在哪里满足下列条件: ) ,( ) 。
然后序列强烈收敛。

证明。一步1。序列是有界的。
首先,我们可以重写(3.19), 取。从(3.20),我们有 通过感应, 因此,序列是有界的,也有界。
一步2。 。
我们可以重写(3.20), 在哪里 由此可见, 因此, 这与引理2.4意味着 请注意, 由此可见, 因此,
一步3所示。 ,在那里。
看到这,我们可以乘子序列的令人满意的属性 由demiclosed原则(见引理2.3)和(3.30),我们有。所以, 一步4所示。。
从(3.20),我们得到 在哪里和 很容易看到和。因此,我们可以应用引理2.5(3.34),并得出结论,作为。这就完成了证明。

推论3.6。让是一个非空的闭凸子集的一个真正的希尔伯特空间。让一个扩张映射的映射,。让和是两个常数令人满意的。为和任何,让下面的显式定义的序列的方式: 在哪里满足下列条件:( ) ,( ) 。然后序列强烈收敛。

推论3.7。让是一个非空的闭凸子集的一个真正的希尔伯特空间。让一个严格pseudocontractive映射与。让和是两个常数令人满意的。对于任何,让下面的显式定义的序列的方式: 在哪里满足下列条件:( ) ,( ) 。然后序列强烈收敛这是最低标准不动点的。

推论3.8。让是一个非空的闭凸子集的一个真正的希尔伯特空间。让一个扩张映射的映射,。让和是两个常数令人满意的。对于任何,让下面的显式定义的序列的方式: 在哪里满足下列条件:( ) ;( ) 。然后序列强烈收敛这是最低标准不动点的。

4所示。结论

发现非线性映射的不动点(特别是扩张映射)收到了巨大的调查由于其广泛的应用在各种应用领域的逆问题,偏微分方程、图像恢复和信号处理。是著名的严格pseudocontractive映射有更强大的应用程序比扩张映射解决逆问题。在本文中,我们将构建的方法计算严格pseudocontractive映射的不动点。两种迭代方法被提出。特别是,我们可以使用这两个方法来找到最低标准严格pseudocontractive映射的不动点。本文中包含的思想可以帮助我们解决在应用科学的最低标准问题。

承认

作者的部分支持由国家安全委员会100 - 2221 - e - 230 - 012。