文摘
我们现在最好的降低和上界Neuman-Sandor意味着的凸组合谐波和二次或几何和二次谐波和反低的意思。
1。介绍
为与,Neuman-Sandor意味着(1)被定义为 在哪里反双曲正弦函数。
最近,二元理论意味着被密集的主题研究[2- - - - - -17]。特别是,Neuman-Sandor意味着许多显著的不平等可以在文献中找到(1,18- - - - - -20.]。
让,,,,,,和谐波,几何,对数,塞弗特,算术,第二个塞弗特,二次,反低的手段和,分别。众所周知,不平等 适用于所有与。
在[1,18],纽曼和桑德尔证明了双重的不平等 适用于所有与。
让,与,和。然后下面的肯塔基州风机的不平等 提出了在1]。
双不平等对所有与建立了李等人在19),(),和是广义对数均值和,方程的唯一解吗。
纽曼(20.]证明了双重的不平等 适用于所有与当且仅当,,和。
本文的主要目的是找到最小值,,和最大的值,,,这样双重的不平等 适用于所有与。
定理1.1。双不平等 适用于所有与当且仅当和。
定理1.2。双不平等 适用于所有与当且仅当和。
定理1.3。双不平等 适用于所有与当且仅当和。
2。前题
为了证明我们的主要结果我们需要两个引理,我们在这一节中。
引理2.1(见[21引理1.1])。假设的幂级数和收敛半径吗和对所有。让是真的,那么以下语句。(1)如果序列(严格)增加(减少),然后呢也(严格)增加(减少)。(2)如果序列(严格)增加(减少)(严格)减少(增加),然后存在这样(严格)增加(减少)(严格)减少(增加)。
引理2.2。让,和 然后和对所有。
证明。从(2。1),有
在哪里
我们将证据分为两种情况。
情况下1。()。然后(2。5)导致
在哪里
我们清楚地看到,函数严格递减。然后从(2。8),我们得到
为。
因此,对所有是很容易从(2。2),(2。4),(2。6),(2。7)和(2。9)。
情况下2。()。然后(2。3)和(2。5)产量
在哪里
我们将讨论这种情况下分为两个子用例,和所有的计算都使用MATHEMATICA软件。
子用例。
。然后从(2.12),这一事实
我们知道
为。
子用例B。
。然后从(2.12),有
在哪里
我们得出这样的结论:
对所有。事实上,如果,然后(2.17从()之前2.16)和不平等
如果,然后(2.17从()之前2.16)和不平等
从(2.15)和(2.17我们清楚地看到,存在这样为和为。
子用例A和B导致的结论为和为。因此从(2.11),我们知道严格增加并严格递减的。
它遵循从(2。4)和(2.10)的分段单调性这存在这样严格增加并严格递减的。
因此,为遵循从(2。2)和(2.10)的分段单调性。
3所示。定理的证明1。1- - - - - -1。3
定理的证明1。1。自,和是对称的均匀程度的1。因此,不失一般性,我们假设。让和。然后,,,,和
利用幂级数和,我们可以表达(3所示。1)如下:
让和然后。此外,通过一个简单的计算,我们看到
为。
方程(3所示。1)和(3所示。2)与不平等(3所示。3)和引理2。1导致的结论严格递减。这反过来又意味着
因此,定理1。1遵循从(3所示。1)和(3所示。4)的单调性。
定理的证明1。2。自,和是对称的均匀程度的1。因此,不失一般性,我们假设。让,和。然后利用给了
此外,我们获得
我们用的添加剂凸组合之间的区别,,如下:
在哪里引理的定义是2。2。
因此,对所有与遵循从(3所示。8)和引理2。2。这与下面的语句给断言的结果。(我)如果,然后(3所示。5)和(3所示。6)暗示存在这样对所有与。(2)如果,然后(3所示。5)和(3所示。7)暗示存在这样对所有与。
定理的证明1。3。我们将遵循,在某种程度上,在定理的证明1。1。首先,我们重新排列的(1。9)获得
使用其次是一个替换给了
在哪里
因为这个函数是偶函数,它可以研究其行为间隔。
用幂级数和,然后(3.11)可以写成
让和。然后
它遵循从(3.13)序列是严格增加。
方程(3.12)和(3.13)一起引理2。1的单调性导致的结论严格增加。此外,
利用(3.14)和(3.10)的单调性给断言的结果。
确认
这项研究受到了中国自然科学基金资助下11071069和11271105,和创新团队的基础下的浙江省教育部授予T200924。