文摘

利用不动点方法,我们获得的一个版本的稳定性结果贝克在概率度量和quasimetric空间三角Hadžić类型的规范。作为一个应用程序中,我们证明一个定理有关的稳定性添加剂柯西函数方程随机赋范空间。

1。介绍

利用不动点理论的研究Ulam-Hyers稳定性是由贝克在文献[1]。贝克使用经典的巴拿赫不动点定理证明非线性函数方程的稳定性 他结果读取如下。

定理1.1(见[1定理2])。假设 是一个非空的集合, 是一个完备度量空间, , , , 另外,假设 , , 那么存在一个唯一的映射 这样

从论文(2,3),不动点方法已经成为研究的一个基本工具Ulam-Hyers稳定。在概率和模糊环境中,这种方法在报纸上首次使用(4,5]随机和模糊赋范空间中具有最强的三角范数 。事实上,通过确定合适的确定性指标,这种空间的稳定性问题是减少到广义度量空间的不动点定理。这个观点被许多作者采用,看到例如,(6- - - - - -11]。值得注意的是,在应用这一方法中,三角形的事实标准 是至关重要的。

在本文中,我们研究的稳定性(1.1当未知 以概率值(准)度量空间赋予一个三角形Hadžić类型的规范。为此,我们利用不动点理论在概率度量空间中,而不是在度量空间。

2。Hyers-Ulam的稳定性方程 在概率度量空间

在本节中,我们研究的稳定性方程 ,未知函数 是一组映射的一个非空的吗 概率度量空间 , 和 给出了映射。

我们假设读者熟悉概率度量空间理论的基本概念。像往常一样, 表示所有功能的空间 ,这样 左连续,不减少的 , , 表示的子空间 组成的函数 与 。这里我们采用的术语(12),因此概率度量值 。

我们回忆起一些事实的不动点理论在概率度量空间。

定义2.1。一个 规范 据说是 类型(13如果迭代的家庭) ,由 , 对所有 ,同等连续的 。

一个小例子 规范的 类型是 规范 , ,但存在 规范的 从最小值类型不同14]。

下面的定理提供了一个连续的特征 规范的 类型。

命题2.2(见[15])。 假设存在一个严格增加序列 在 这样 和 。然后 是 类型。
相反,如果 是连续的 类型,那么存在一个序列的 。

定义2.3(见[16])。让 是一个概率度量空间。一个映射 据说Sehgal收缩(或 收缩)如果以下关系:

定理2.4(见[17])。让 一个完整的概率度量空间 的Hadži 类型和 是一个 收缩。然后 有一个不动点当且仅当有吗 这样 。如果 ,然后 独特的定点 在一组 。

下面的引理完成定理2.4估计关系, 。

引理2.5(见[18])。让 是一个完整的概率度量空间和 是一个 收缩。假设 ,让 。然后

这个引理可以扩展到概率度量空间的情况下在一个连续的 规范的 类型。

引理2.6。让 一个完整的概率度量空间, 一个连续的t-norm 类型和 是一个幂等的严格增序列 。假设 是一个 收缩与李普希茨常数 。如果存在 这样 ,然后 独特的定点 在一组 此外,如果 是为了让 ,然后 。

证明。我们只需要证明的最后一部分定理。我们用归纳法的节目 那 意味着 ,尽管 。
这个案子 是显而易见的。现在,假设 。然后
让 是这样的, ,让 。然后 对所有 。自 收敛于 , 去1 趋于无穷时,所以 通过 我们获得

为了国家我们的第一个稳定的结果,我们定义一个合适的函数方程近似解的概念(1.1)。

定义2.7。一个概率统一近似解(1.1)是一个函数 的财产 统一在 。

例2.8。让 是一个度量空间,让 被定义为 然后 是一个概率度量空间(诱导概率度量空间)。一个很容易验证 是一个概率统一近似解(1.1)当且仅当它满足关系(1.3),因此作为一个近似解的定理1.1。

定理2.9。让 是一个非空的集合, 一个完整的概率度量空间, 一个连续的t-norm 类型, 是一个幂等的严格增序列 。假设 是一个映射的存在吗 与 对所有 , 和 。
如果 是一个概率统一近似解(1.1),则存在一个函数 这是一个精确解(1.1),与财产,如果 是这样的, 然后

证明。表示由 所有映射的集合 ,让 贝克的算子,给出的 对所有 。我们定义的分布函数 通过 对所有 。
在空间的假设 确保 是一个完整的概率度量空间。同时, 也就是说, 是一个Sehgal收缩 。
此外,关系 ,统一 意味着
现在我们可以应用引理2.6获得一个固定的角度 ,这是一个映射 这是一个解决方案(1.1), 对所有 。
接下来,我们 是这样的, 对所有 。然后,从左边的连续性 ,接下去 ,对于一些 。因此 ,所以 。由引理2.6, ,我们得出这样的结论:估计(2.12)持有。

2.10的话。贝克的结果(1)可以获得特定情况下的定理2.9在这个定理,通过考虑诱导概率度量空间(见例子2.8)。

从定理2.9一个可以获得一个稳定的结果柯西添加剂函数方程 在随机赋范空间中。

回忆(见[12),一个随机赋范空间( 讨论)是一个三元组 ,在那里 是一个真正的线性空间, 是一个映射的 来 , 是一个 规范,满足以下条件( 将用 ):(我) 对所有 敌我识别 ,的零向量 ;(2) ,尽管 , ,所有 ;(3) ,尽管 和所有 。

定义2.11。一个概率统一近似解(2.16)是一个函数 的财产 统一在 。

定理2.12。让 是一个真正的线性空间, 是一个完整的 讨论与 ——连续t-norm 类型, 是一个幂等的严格增序列 。
如果 是一个概率统一近似解(2.16),那么存在一个映射 这是一个精确解(2.16),与财产,如果 是这样的, 然后

证明。我们应用定理2.9为 , , , 在概率度量空间 与 定义为 对所有 , 。请注意, 满足(2.10) ,因为 对所有 , 和 。
很容易看到 是一个概率统一近似解(1.1),因此存在一个确切的解决方案(1.1),也就是说,一个映射 令人满意的 对所有 。估计(2.19)可以立即来自相应的定理2.9。
它仍然显示 是添加剂。在此之前这一事实 ,尽管 , 是一个概率统一近似解(2.16)。也就是说,对所有 , 暗示 对所有 。

3所示。Hyers-Ulam的稳定性方程 在概率Quasimetric空间

quasimetric结构的定义特征就是缺乏对称性。这允许一个考虑不同观念的收敛性和完整性。我们国家的术语和符号,(19)(也看到20.])。

定义3.1。概率quasimetric空间是三倍 ,在那里 是一个非空的集合, 是一个 规范, 是一个映射满足(我) 当且仅当 ;(2) ,尽管 ,尽管 。

我们注意到如果 验证对称的假设 ,尽管 ,然后 是一个概率度量空间。

如果 是一个概率quasimetric空间,然后映射 定义为 对所有 被称为共轭的概率quasimetric 。

定义3.2。让 是一个概率quasimetric空间。一个序列 在 据说是:(我)正确的 柯西(左 柯西),为每一个 和 ,存在 因此, , ( 职责);(2) 收敛( 收敛) 如果为每个 和 ,存在 这 ( ),为所有 。

定义3.3。让 和 。的空间 是 完成如果每个 柯西序列 收敛。

定义3.4。概率quasimetric空间 有 - - - - - - ( - - - - - - )财产如果每个 - ( -)收敛序列有一个独特的限制。

下面的引理quasimetric模拟引理2.6。

引理3.5。让 是一个 推进与概率quasimetric空间 财产, 是一个连续t-norm的 类型。让 是一个幂等的严格增序列 。
假设 是Sehgal收缩李普希茨常数 , 是一种元素的 这样 。然后 是一个不动点的 如果 是为了让 ,然后 。

证明。我们继续以古典的方式显示的顺序迭代 是正确的 它是柯西,因此 收敛到 。这一事实 是一个不动点的 的结果是什么 空间的属性 。接下来,在引理的证明2.6我们用归纳法的节目 那 意味着 ,尽管 。
让 是这样的, ,让 。然后 对所有 。自 是 收敛到 , 去1 趋于无穷时,所以 通过 我们获得

贝克的概率quasimetric版本定理可以表示如下。

定理3.6。让 是一个非空的集合, 是一个 推进与概率quasimetric空间 财产, 一个连续的t-norm 类型, 是一个幂等的严格增序列 。假设 是一个映射的存在吗 与 对所有 , 和 。
如果 是一个概率统一近似解(1.1),则存在一个函数 这是一个精确解(1.1),与财产,如果 是这样的, 然后

证明。我们只素描的证据,因为它非常类似于定理2.9。
在提到证据,表示 所有映射的集合 ,定义了分布函数 通过 对所有 和贝克的运营商 , 对所有 。
在空间的假设 确保 是一个 推进与概率quasimetric空间 财产, 是一个Sehgal收缩 和的关系 ,统一 意味着
我们现在可以应用引理3所示。5获得一个映射 这是一个解决方案(1.1), 对所有 。
估计(3所示。6)是通过使用左边的连续性 在定理的证明2.9。

确认

d . Miheţ的工作是支持格兰特的罗马尼亚国家权威科研、CNCS-UEFISCDI,不。pn - ii - id - pce - 2011 3 - 0087。c . Zaharia的工作是支持的战略格兰特POSDRU / CPP107 / DMI1.5 / S / 78421,项目ID 78421(2010),欧洲社会基金投资共同投资的人来说,在部门内运营项目人力资源开发2007 - 2013。