文摘
本文的主要目的是讨论一些扩展某些积分的运营商和凸性的获得他们的订单。其他几个也被认为是密切相关的结果。
1。介绍
让是解析函数的类中定义的开放复平面的单位圆盘。
我们表示的子类所有单价的功能组成。一个函数是星形的秩序的功能 如果它满足 对于一些。我们表示的子类组成的功能是星形的在。为,我们获得的类星形的函数,用。
一个函数是凸的 如果它满足 对于一些()。我们表示的子类组成的函数是凸的在。为我们获得凸函数的类,用。
一个函数是在课堂上如果
Frasin和Jahangiri引入1)家庭组成的函数满足的条件 为我们有,对于我们有。
在本文中,我们将获得以下的凸性的顺序一般积分运算符: 的功能在对所有。
为了证明我们的主要结果,我们回忆起下面的引理。
引理1.1(见[2施瓦兹将军引理])。函数普通的磁盘,固定。如果有一个零与多样性大于订单吗为,然后 平等可以容纳只有 在哪里是恒定的。
2。主要结果
定理2.1。让是在课堂上对所有。如果()为所有,那么积分算子 是在,在那里 和。
证明。让是在课堂上。我们有从(1。5), 也 然后 ,因此, 应用一般的施瓦兹引理,我们有,尽管。因此,从(2.6),我们得到 从(1。4)和(2.7),我们看到
让和对所有在定理2.1,我们有以下推论。
推论2.2。让是在课堂上对所有。然后中定义的积分算子(1。5)是在,在那里 和。
让和对所有在定理2.1,我们有以下推论。
推论2.3。让是在课堂上对所有。如果()为所有,然后中定义的积分算子(1。5)是在,在那里 和。
让,,对所有在定理2.1,我们有以下推论。
推论2.4。让是星形的功能对所有。如果()为所有,然后中定义的积分算子(1。5)是凸的,在那里。
定理2.5。让是在课堂上对所有。如果()为所有,那么积分算子 是在,在那里 和对所有。
证明。让是在课堂上。它遵循从(1。6), ,因此, 应用一般的施瓦兹引理,我们有对所有。因此,从(2.14),我们得到 从(1。4)和(2.15),我们看到 这就完成了证明。
让和对所有在定理2.5,我们有以下推论。
推论2.6。让是在课堂上对所有。如果()为所有,然后中定义的积分算子(1。6)是凸函数,在那里
让和对所有在定理2.5,我们有以下推论。
推论2.7。让是在课堂上对所有。如果()为所有,然后中定义的积分算子(1。6)是在,在那里 和对所有。
让,对所有在定理2.5,我们有以下推论。
推论2.8。让是一个星形的函数。如果(),然后积分算子是凸的,在那里。
定理2.9。让是在课堂上对所有。如果()为所有,那么积分算子 是在,在那里 和。
证明。让是在课堂上。它遵循从(1。7), 因此,从(2.21),我们有 应用一般的施瓦兹引理,我们有对所有。因此,从(2.22),我们得到 从(1。4)和(2.23),我们看到 这就完成了证明。
让和对所有在定理2.9,我们有以下推论。
推论2.10。让是在课堂上对所有。如果()为所有,然后中定义的积分算子(1。7)是凸函数,在那里
让和对所有在定理2.9,我们有以下推论。
推论2.11。让是在课堂上对所有。如果()为所有,然后中定义的积分算子(1。7)是在,在那里 和。
让,,对所有在定理2.9,我们有以下推论。
推论2.12。让是一个星形的函数。如果(),然后积分算子是凸的,在那里。