文摘
复制内核法(RKM)和Adomian分解法(ADM)应用于解决阶非线性弱奇异沃尔泰拉积分微分的方程。这类方程的数值解是一个艰难的主题分析。本文的目的是使用泰勒近似,然后改变给定的阶非线性沃尔泰拉积分微分的方程变成一个普通的非线性微分方程。使用RKM和ADM解决普通非线性微分方程是一种准确、有效的方法。一些例子表明,该方法是一种有效的方法来解决阶非线性沃尔泰拉积分微分方程。
1。介绍
在本文中,我们考虑以下阶非线性弱奇异沃尔泰拉积分微分方程的形式(1- - - - - -4]: 在哪里,是一个给定的函数,是未知函数,是内核的积分方程。我们通常假设函数和连续或平方可积吗。
一些问题的数学物理描述的(1。1),研究了不同的方法,包括样条配置方法(5],分段多项式[6],Haar小波[7),同伦摄动方法(HPM) [8,9],wavelet-Galerkin方法[10),泰勒多项式(11],τ方法[12],sinc-collocation方法[13),结合拉普拉斯transform-Adomian分解方法(14),和Adomian的渐近分解方法15)来确定精确和近似的解决方案。但据我们所知仍然没有可行的分析方法求解弱奇异沃尔泰拉积分微分方程。目前的工作是出于获得近似解的欲望阶非线性弱奇异沃尔泰拉积分微分方程,被积函数是弱奇异积分奇异点是连续的,也就是说,它的内核是单数。
复制内核在数值分析理论具有重要应用,微分方程,概率论与数理统计等16,17]。和RKM已成功应用到求解线性和非线性问题(18- - - - - -20.]。
剩下的纸是组织如下。一节中2转换(1。1)泰勒近似的微分方程。节3,RKM介绍。应用RKM和ADM解决(1。1节中讨论)4。并给出了数值例子5。最后,一个简短的结论是在最后一节中。
2。泰勒近似
考虑以下阶非线性弱奇异沃氏integro-different方程: 我们已经通过设置 重写(2。3), 的解决方案下的积分已经取代了。因此, 这 或者同样的 我们使用以下泰勒的近似程度的关于: 因此, 用近似关系(2。9)的右手边(2。7)的收益率 因此,(2。1可以近似的)阶非线性微分方程2.10)。
3所示。分析再生核希尔伯特空间
定义3.1(复制内核空间,17])。 并赋予它与内积和规范,分别
定理3.2。的空间是一个复制内核空间。也就是说,存在一个函数,对于每一个固定,对于任何,满足 复制内核可以用 在哪里已知系数。
定理3.3。让是一个内核空间和繁殖。如果收敛于在的感觉,然后收敛于均匀。
属性1。如果是内核空间繁殖,繁殖内核函数在是独一无二的。
定义3.4(复制内核空间,17])。 并赋予它与内积和规范,分别
存在一个唯一复制内核函数,可以用
获取的方法,繁殖系数的内核和定理的证明3所示。2和3所示。3给出了(17]。
4所示。ADM和RKM
4.1。逆算子的代表
在这里,我们提出一种新的微分算符,如下: 让 在哪里,然后我们把(2.10)如下: 现在我们介绍如何确定逆算子的。很明显,是一个有界的线性算子。
我们选择一样密集,让,在那里的共轭算子是吗和是由(3所示。7)。此外,为了简单起见,让表示,即
现在,一些前题。
引理4.1。 完整的系统吗。
证明。为,让,也就是说,
请注意,中设置的密度吗,因此。由此可见,存在的。
引理4.2。下面的公式是 其中下标的运营商表明运营商适用于功能。
证明。考虑 这就完成了证明。
正交系统的可以从gram - schmidt正交化过程, 在哪里是正交系数。
定理4.3。如果逆算子存在,是密集的,然后逆算子可以确定为 在哪里。
证明。从(4.9),它认为 定理的证明是完整的。
从定理4.3很明显,是确定的。
4.2。分解方法
通过应用(两边4.3),我们有 ADM介绍了解决方案和非线性函数由无穷级数 在哪里是Adomian多项式非线性项吗,可以发现从以下公式: 用(4.12)和(4.13)(4.11)的收益率 根据ADM,组件可以确定为 这给了 在哪里,。
从(4.17),我们可以确定组件,因此的级数解在(4.12)可以立即获得。
我们获得近似解下列方程:
以下用一些例子来证明该算法的有效性。
5。数值例子
为了说明我们的方法的适用性和有效性,我们考虑下面的例子。由使用Mathematica 5.0符号和数值计算。
例5.1。考虑下面的一阶非线性弱奇异沃尔泰拉积分微分方程: 与,,和。
让,,。
在选择100点,得到近似解,结果如图1。
例5.2。考虑下面的二阶非线性弱奇异沃尔泰拉积分微分方程: 与,,和。
让,,, 。
在选择100点,得到近似解,结果如表所示1。
例5.3。考虑下面的三阶非线性弱奇异沃尔泰拉积分微分方程: 与,,,和。
让,,,, 。
在选择100点,得到近似解,结果如图2。
6。结论
在这篇文章中,我们减少了非线性弱奇异沃尔泰拉积分微分方程的解普通非线性微分方程的解的奇异点使用一个适当的泰勒近似。然后我们演示了这些普通的非线性微分方程的解决方案由RKM和海军上将ADM是准确和有效的方法解决非线性弱奇异沃尔泰拉积分微分方程。
确认
中国国家自然科学基金支持的研究(61071181),黑龙江省的教育部门科技项目(12512133和12512133)和科学创新项目毕业于黑龙江省(yjscx2012 - 184 hlj)。