文摘

我们定义和研究积极的和消极的观念渐近点的同胚的量度讨论。我们获得必要和充分条件积极/消极两个点渐近。同时,我们表明,研究的问题广阔的同胚赋范线性有界的子集讨论相当于研究线性问题广阔的同胚于另一个赋范线性的有限子集讨论。

1。介绍

豪爽,引入了伍兹(1度量空间)在1950年同胚,是其中一个重要的动力系统动力特性研究。广阔的同胚有很多应用程序拓扑动态,遍历理论,连续介质理论,符号动力学,等等。渐近点的概念定义了度量空间上的同胚伍兹在[1]。在度量空间、渐近点的存在下的同胚由伍兹(研究1),科比2,3)、酒(4],威廉姆斯[5,6),和其他人。在[7),作者使用了这个概念分类所有圆的同胚没有周期点。使用发电机的概念,科比和沃尔特斯(8两点)获得必要且充分的条件下积极/消极渐近紧致度量空间上的同胚。

在[6),威廉姆斯已经表明,研究膨胀的问题同胚在赋范线性空间的有限子集相当于研究线性膨胀的问题同胚在另一个赋范线性空间的有限子集。使用上面的等价,威廉姆斯取得必要且充分的条件下积极/消极渐近的两个点同胚在赋范线性空间的有限子集。研究了巴拿赫空间上的同构的,可以参考(9,10]。

为了研究各种动态属性的映射拓扑组的持续作用下,在11),豪爽的概念称为广阔的同胚为self-homeomorphism定义一个度量讨论。可以看出豪爽的概念和概念豪爽的重要作用是相互独立的。标准条件下的同胚讨论的是膨胀和反之亦然。最近在(Choi和金12)用这个概念来概括拓扑分解定理证明(13)由于青木和Hiraide紧凑度规空间。此外,在14),发电机的概念空间称为发电机被定义和描述获得广阔的同胚发电机。关于存在的取得了一些有趣的结果广阔的同胚。在[15,16我们学习了更多的属性广阔的同胚。对于一些其他动态属性空间,一个可以引用(17,18]。节2,我们给所需的预赛剩余的部分。节3,我们定义积极/消极的概念渐近点的同胚的量度讨论。观察到这微不足道的行动下的概念在伴随着积极/消极渐近点。然而在一个重要的作用在,而积极/消极积极/消极渐近点渐近,我们还提供了示例证明反过来是不正确的。研究与渐近点发电机为一个同胚紧凑度规讨论,我们获得的必要和充分条件积极/消极两个点渐近。节4,我们表明,研究的问题广阔的同胚赋范线性有界的子集讨论相当于研究线性问题广阔的同胚于另一个赋范线性的有限子集讨论。使用上面的等价性,得到两个点的充分必要条件是积极的或消极的渐近在一个同胚赋范线性有界的子集讨论延长威廉的结果(6]。

2。预赛

在表示所有self-homeomorphisms拓扑空间的集合,表示整数的集合表示正整数的集合。由一个讨论(19,20.我们的意思是三,在那里豪斯多夫空间,是一个拓扑群,是一个持续的行动的在。从今以后,将用。为,一组被称为轨道的在。请注意,轨道和点的在分离或相等。一个子集的被称为不变的如果。让和是自然商映射来,然后赋予商拓扑叫做的轨道空间(对)。地图叫做轨道地图,是连续的和开放的,如果是紧凑的也是一个封闭的地图。一个行动的在被称为琐碎的如果,每和。如果是空间,然后连续映射被称为等变化,如果为每一个在和每个在。我们称之为pseudoequivariant如果为每一个在。但是等变化地图显然pseudoequivariant交谈不需要是正确的(11]。我们研究了属性的详细地图(21]。在赋范线性讨论,我们的意思是一个赋范线性空间的一个拓扑组行为。

回想一下,如果是一个度量空间度量和是一个自我同胚然后如果存在一个叫做膨胀,这样,当然后有一个整数令人满意的然后一个广阔的常数呼吁吗。不同的点被称为积极(分别地。消极的)asymptotic under如果为每个,存在这样(职责。)意味着。给定一个紧凑的豪斯多夫空间和一个self-homeomorphism的,一个有限开放的被称为发电机(22如果每个bisequence]成员的,最多包含一个点。如果是一个规讨论与度量然后self-homeomorphism的被称为广泛的用广阔的常数如果当与然后有一个整数令人满意的,尽管和。给定一个紧凑的豪斯多夫讨论和一个self-homeomorphism的,一个有限的覆盖的组成的不变集被称为开放发电机的如果为每个bisequence成员的,最多包含一个- - - - - -轨道。微不足道的行动在,一个发电机相当于一台发电机,但在14]提供了例子来证明,在一个非凡的行动都是独立的。

3所示。发电机和渐近点

定义3.1。让是一个规讨论和是一个同胚。然后被称为积极渐近(分别地。,消极关于渐近)点如果对存在一个整数这样,当(职责。),,对于一些。

3.2的话。微不足道的行动在积极的概念(分别地。消极的)渐近点的同时,积极的概念(分别地。负面)渐近点。另一方面,在一个重要的作用在显然,积极(分别地。消极的)asymptotic points with respect to a homeomorphism on是积极的(分别地。消极的)渐近点:事实上的单位元素。然而,反过来不需要真正的从下面的例子可以看到。

例3.3。让在通常的度量和定义定义为 然后。让离散群采取行动通过和,。然后点和被认为是积极的吗渐近但不积极渐近有关。

我们获得一个充分必要条件积极/消极两个点渐近对一个同胚紧凑度规讨论有一个发电机。我们首先证明以下引理-发电机。

引理3.4。让是一个紧凑度规讨论,,是一个发电机的。然后对每一个非负整数,存在这样,对于与,对于一些暗示的存在在这样。相反,对于每一个,存在一个正整数这样与和在意味着对于一些。

证明。自紧凑和作为一个发电机是一个开放的封面,勒贝格号码,说什么。修复一个非负整数,。自因此是一个紧凑的度量空间一致连续。因此,对于以上存在一个这样意味着对所有。如果对于一些然后利用这一事实是一个勒贝格的数字,对于每一个,我们发现一个这样因此 相反,假设是给定的。如果所需的结果是不正确的,那么对于每个正整数,存在与不同的轨道和这样 对所有。自紧凑,序列和将收敛。假设他们收敛和然后分别(*)。自是一个有限开放的封面,无穷多的一样,说因此对无穷多,。但这给了。同样的,对于每一个整数无穷多的因此一个人一致在这样。因此 这与这一事实是一个发电机的。

定理3.5。让是一个紧凑度规讨论,等变化,是一个发电机的。然后与不同的轨道是积极的渐近的当且仅当存在一个这样,每存在一个与。

证明。假设与不同的轨道是积极的渐近点。那么对于一个给定的,存在这样 在。取勒贝格的数量。然后为每个,存在在这样对于一些因此使用equivariancy,我们获得。
相反,假设存在一个整数这样,每存在一个这样。让。然后通过引理3.4,获得一个正整数这样,如果与和在然后对于一些。让。然后意味着 因此, 也意味着并从equivariancy,我们获得因此对于一些。现在equivariancy给了。因此,鉴于,存在这样,当,对于一些,我们有这证明了是积极的关于渐近点。

下列关于负面结果渐近点可以被证明是类似的。

定理3.6。让是一个紧凑度规讨论,等变化,是一个发电机的。然后与不同的轨道是消极的渐近的当且仅当存在一个整数这样,每存在一个与。

4所示。线性化的广阔的同胚

我们表明,研究的问题广阔的同胚赋范线性有界的子集讨论相当于研究线性问题广阔的同胚于另一个赋范线性的有限子集讨论。

让是一个赋范线性讨论与规范和采取行动以这样一种方式定义为是线性的每。

让 和,让 让被定义为,每每。为,定义和一个标量,定义通过。定义通过。用这个标准赋范线性空间。

使用上面的符号我们有以下结果。

定理4.1。让是一个赋范线性讨论,是一个有限的子集和是一个等变化同胚。然后定义为,对于每一个和每一个整数,满足。

证明。让和然后有界,等变化,我们有 因此。

定理4.2。让是一个赋范线性讨论,是一个有限的子集和是一个等变化同胚。地图是一个线性同胚的到自己,是不变的。此外,是有界的,是一个同胚的到。同时,是在广阔的当且仅当是在广阔的。

证明。让。然后 对于每一个。因此。同时,意味着。因此是线性的。如果在然后对一些这意味着因此。因此是一对一的。如果然后,在那里和,这证明是到。如果然后因此是连续的。类似的是连续的。接下来,我们证明。让然后 这意味着。很明显是有界的。很容易观察到是一个同胚的到。假设是在广阔的与广阔的常数。让与。让。自等变化,也是等变化,因此吗。进一步的膨胀系数在给一个整数的存在这样 对所有。现在线性和等变化,我们得到 因此是在广阔的与广阔的常数。
相反,假设是在广阔的与广阔的常数。我们表明,是在广阔的与广阔的常数。假设。然后存在与这样 对于一些和所有。让然后等变化同胚,。现在线性和等变化,我们有 一个矛盾的事实是广泛的用广阔的常数。因此是一个广阔的常数。

定理4.3。让是一个赋范线性讨论,是一个有限的子集和是一个等变化同胚。点积极(消极的)渐近在当且仅当和积极(消极的)渐近在。

证明。假设是积极的渐近在。让。然后存在这样对所有对于一些,我们有 自 我们得到了 因此是积极的渐近在。
相反,假设是积极的渐近在。让然后存在和这样对所有,
选择这样
然后,我们有
因此对和上面的,等变化得到, 暗示是积极的渐近在。
负面的情况下渐近点的证据是相似的。

承认

作者表达真诚的感谢裁判,他们的建议。