文摘

摘要连续应用遗传算法奇异两点边值问题的解决方案,在光滑解曲线的演变中使用算法来获得所需的节点值。拟议的技术可能被认为是一个变化的有限差分法,每一个衍生品由一个适当的差商近似代替。这种新方法具有主要优势;它可以应用在没有任何限制的性质问题,奇点的类型,和网格点的数量。数值例子包括证明的准确性、适用性和通用性的技术。研究结果表明,该算法是非常有效的,简单的,简单的。

1。介绍

奇异边值问题(BVPs)常微分方程经常出现在许多分支应用气体动力学等数学和物理,核物理,化学反应,原子结构、原子计算,研究非线性椭圆方程的正径向解(例如,看到1- - - - - -3])。在大多数情况下,奇异两点BVPs并不总是有解决方案,我们可以使用分析方法获得。事实上,许多真正的物理现象,是由这种技术,几乎不可能解决这些问题必须受到各种近似和数值方法。

这封信的目的是向大家介绍连续遗传算法(CGA),之前开发的第二作者,替代现有的方法在解决奇异两点BVPs的形式 边界条件 在哪里是一个开放或半开区间端点和,,,,是真实的有限的常量,然后呢是线性的还是非线性的函数和。

当应用于奇异两点BVP,标准的数值方法为常规设计BVP遭受的损失精度或甚至可能无法收敛4),因为奇点。然而,有限差分法可以用于解决线性奇异两点BVPs,但很难解决非线性奇异两点BVPs。此外,有限差分方法需要一些重大修改,包括使用一些root-finding技术而解决非线性奇异两点BVPs。

特别提出了数值方法来处理奇异问题。提到一些,在5),作者讨论了奇异BVP的解的存在和唯一性通过有限差分法,包括近似的解决方案。在[6),作者讨论了奇异方程的解的存在性和唯一性和提出了可变网格数值方法解决此类问题。同伦分析方法已经被应用于解决奇异方程如[7]。此外,高阶有限差分和三次样条方法进行(8,9奇异BVP)。在[10)另外,作者提供了四个订单准确的三次样条方法来进一步研究奇异方程。此外,内核方法求解奇异BVP繁殖提出了在11]。最近,修改Adomian分解方法求解奇异方程提出了在12]。

请读者通过调查文献[13为了知道关于奇异两点BVPs的更多细节。在这篇论文中,作者介绍了各种数值方法包括有限差分、样条函数,有限元素,搭配,变分迭代,和其他特殊近似方法在文学的批评言论求解线性和非线性奇异问题。然而,在大多数的引用,讨论的问题主要是特殊情况的一般形式(1.1)和(1.2),几乎没有有效的解决方法(1.1)和(1.2)。因此,必须为非标准方法之一。

注册会计师(“连续”这个词是用来强调连续优化问题的性质和产生的解曲线的连续性)的演进取决于在一维空间中曲线。算法开始时随机生成的候选人和人口的发展朝着更好的解决方案通过遗传算子繁殖、交叉和变异。这个新方法是一种相对较新的类的优化技术,生成一个日益增长的兴趣在数学和工程社区。注册会计师是适合广泛的问题在科学和工程14- - - - - -22]。

注册会计师是由第二作者(14)作为解决优化问题的有效方法,参数优化相互关联或解决方案的平滑曲线必须实现。它已经成功地应用于机器人机械手的运动规划,这是一个高度非线性、耦合问题15,16),数值解的正则两点BVPs [17),在最优控制问题的解决方案18),在机器人的无碰撞路径规划问题的解决方案(19),在拉普拉斯方程的数值解20.,数值解的非线性规律系统的二阶BVPs [21]。他们的小说发展打开了门算法的广泛应用领域的数学和工程。它也被应用于模糊微分方程的解决方案(22]。读者被要求请参考[14- - - - - -22]为了知道关于注册会计师的更多细节,包括他们的理由使用条件对平滑的函数中使用的算法,几个优势的海巡署在传统GA(离散版)当它应用于耦合参数和/或问题顺利解决曲线,等等。

本文中给出的工作是出于需要一个新的数字技术解决方案的奇异两点BVPs具有以下特点。(1)它不需要任何修改,从线性到非线性切换情况下;结果,自然是多才多艺的。(2)这种方法不诉诸于更高级的数学工具;即算法应该容易理解,实现,应该很容易接受在数学和工程应用的领域。(3)该算法获得全球性的解决方案以及其解决其他数学和工程问题的能力。然而,作为一个变体的有限差分格式的截断误差,该方法为解决方案提供了温和的准确性。

本文的其余部分组织如下:在下一节中,我们制定奇异两点BVPs。部分3涵盖了详细的描述。数值结果和讨论部分4。最后,给出了结论5。

2。奇异两点BVPs的配方

在本节中,(1.1)和(1.2)是第一个制定基于最小化作为优化问题的累积残余所有未知的内部节点。之后,介绍了一个适应度函数以最小化问题转化为最大化问题。

近似的解决方案(1.1)和(1.2),我们的规定通过间隔均匀分布的网格点。这个条件是确保通过设置,,在那里。因此,在内部网格点,,,方程近似给出 边界条件

差商近似公式,近似和,,使用一个分内部网格点和错误,在那里和导数的顺序可以很容易地获得通过使用算法(6.1)(23]。例如,基于该算法分公式的截断误差,近似,给出 而分公式的截断误差,近似,给出 然而,很明显,第一个和最后一个方程(2.3)和(2.4)近似的第一和第二衍生品在边界点和众所周知的解决方案。因此,他们是被忽视的,只有我们用剩下的公式。

我们这里提到的号码从2开始,逐步增加。完成制定的近似公式替代和,在(2.1),这个方程的离散形式。由此产生的代数方程的函数,,,,。之后,有必要重写离散方程在以下形式: 一般的内部节点的残余,,用,被定义为 整个个人残留,是一个函数的所有内部节点的剩余工资。它可以表示为

一个映射整体个人残余的适应度函数,,算法中需要转换的最小化问题最大化的问题。一个合适的适应度函数被定义为用于这项工作 个人健康改善如果减少的价值是实现。问题的最优解,节点值,将取得接近零,方法统一。

3所示。注册会计师的描述

在本节中,提出了遗传算法的综述。在那之后,给出的详细描述的注册会计师。稍后将显示,注册会计师的效率和性能取决于几个因素,包括设计的注册会计师运营商和系统参数的设置。

遗传算法是基于原则的启发从自然系统中观察到的遗传与进化机制。其基本原则是解决人口问题的维护,对全球最优发展。它是基于遗传繁殖的三角形,评估和选择(24]。通过执行遗传繁殖两种基本遗传算子:交叉和变异。评估是通过适应度函数执行的,取决于具体的优化问题。选择机制,选择父个体概率正比于它们的相对适合交配的过程。

GA的建设对于任何问题可以分开在五个不同但相关的任务24]。首先,基因表示的潜在问题的解决方案。其次,创建一个初始种群的方法解决方案。第三,遗传算子的设计。第四,适应度函数的定义。第五,系统参数的设置,包括人口规模,应用遗传算子的概率,等等。以前的每个组件大大影响获得的解决方案以及遗传算法的性能。

GA的以人群为基础的性质使它比其他优化技术两个主要优势。首先,它标识了并行遗传算法的行为所实现的人口同时移动搜索个人或候选解决方案(24]。实现遗传算法的并行机器,大大降低了所需CPU时间,是一个主要的有趣的好处的隐式并行性。第二,信息关于不同地区之间的解决方案空间传递积极交叉个体的过程。这种信息交换使得遗传算法高效和健壮的方法优化,特别是对于多变量的优化函数和非线性函数。另一方面,GA的以人群为基础的特性也导致两个主要缺点。首先,占用更多的内存空间;,而不是使用一个矢量搜索解决方案,搜索使用向量,它代表了人口规模。第二,遗传算法通常患有计算负担,当应用于顺序的机器。这意味着,使用遗传算法解决某些问题所需的时间会相对较大。然而,解决时间是一个重要的点,当我们感兴趣的实时应用程序。但如果离线解决方案所需的任何现实生活中的问题,然后我们的主要问题将解决方案的准确性,而不是解决方案所需的时间。对于现实生活中的问题,实现实时计算时间可以缩短过程利用其平行的性质,可以应用于并行计算机或FPGA (18]。

GA的事实只使用目标函数信息而不需要合并高度特定领域知识指出简单的方法从一边和它的多功能性。这意味着一旦发展到GA处理一个特定的问题,它可以很容易地修改,以处理其他类型的问题通过改变现有算法的目标函数。这就是为什么GA是归类为一个通用的搜索策略。遗传算法的随机行为不容忽视的主要部分,给他们他们的搜索效率。遗传算法采用随机过程探索特定的响应面优化问题。这种行为的优点是能够逃脱局部最小值没有监督(18,25]。

的使用问题耦合参数和/或光滑的曲线需要一些理由(14,17]。首先,离散初始种群的初始化版本意味着邻近参数可能有另一个极端值的概率,使有价值的信息在这个人口非常有限,和相应的健身将非常低。这个问题是克服使用连续曲线,消除的可能性高度振荡在邻近的参数值,导致有价值的初始种群。第二,传统交叉算子的结果参数的值猛增的交叉点的谎言,同时保持其他参数相同或之间交换两个父母。这种不连续导致一种非常缓慢的收敛过程。另一方面,注册会计师的结果在平稳过渡的交叉过程中参数值。第三,传统的版本的突变过程只更改参数的值的突变出现在有必要做出一些以来全球邻近变异影响的一组参数参数相互耦合或曲线应光滑。总而言之,全球运营商的注册会计师的性质和应用在个体层面,而当地的运营商传统GA的性质和应用于参数水平。因此,运营商的传统GA导致step-function-like跳海巡署的参数值而导致平滑过渡。

然而,使用GA优化问题时,应该注意两点;首先,优化的参数是否与对方。第二,是否有一些限制最终解决方案的平滑曲线。在不相关的参数或非光滑解曲线,传统遗传算法将表现良好。另一方面,如果参数相互关联或解决方案的平滑曲线是必须的,那么注册会计师最好在这种情况下(14- - - - - -22]。海巡署用于这项工作的步骤如下。

(1)初始化:初始化函数中使用的算法应该从一面光滑,应该满足约束边界条件从另一侧。两个光滑函数满足边界条件的选择在这工作,其中包括修改后的正常高斯(西班牙芒果)功能 和修改后的切双曲线(m)的功能 为每一个和,在那里是变量值父母,的斜坡函数变量值和定义,是人口规模,范围内的随机数和,分别。

的两个初始化函数不同于两个主要标准:凸/凹性质和任何过度的可能性低于有关的函数。西班牙芒果函数是凸或凹在给定范围内的独立变量,而m函数是凸子区间的独立变量和凹在剩余的时间间隔。西班牙芒果函数和m函数,另一方面,可能导致一个超过或低于,可能超过给定边界条件的值在某种内部网格点但不是边界点稍后将显示。两个初始化函数乘以校正功能,两个函数,保证总是满足给定的边界条件。

的选择取决于边界条件和如下:任何范围内的随机数如果不同于零,在范围内如果消失了,在范围内如果和都消失了。它是注意,初始化函数,指定的振幅校正器和函数指定了分散度。对小的参数指定西班牙芒果的中心功能,指定斜坡函数之间的交点和第m个功能,决定了凸性的观点。两个初始化函数和斜坡函数如图1。

前面提到的参数,,生成随机因为为我们所需的解决方案不清楚,和为了使初始种群不同,随机应消除偏见有任何解决方案。提到的多样性是关键参数在一个信息丰富的初始种群。在其他情况下,解决方案的边界曲线之一是未知,请读者通过(18为比较和更多的细节。

(2)评价:健身、非负质量测量用于反映个人的善良程度,计算为每个单独的人群中。

(3)选择:在选择过程中,个人选择从当前人口进入交配池用于创建新的个人等下一代的机会选择给定个体的交配正比于其相对健康。这意味着最好的个体获得更多后代,这样他们的副本可取的特征可能会传递给后代。这个步骤确保整体质量的人口增加从一代到另一个。

六个选择方案纳入算法,其中包括rank-based [26与替换[],比赛26不重复),比赛(27),轮盘赌(24),随机普遍(27],和half-biased选择[28]。Rank-based选择选择规定数量的父个体根据Rank-based比率最高的健身,,执行交配过程的随机选择的父母从这个族群大小。

在锦标赛选择方案中,两个人从亲本种群是随机选择的,和个人的副本大健身价值,更好的个人,两个被替换的交配池。锦标赛选择两种形式取决于选择的个人将被放置回亲本种群。比赛不重复,两个人都留出接下来的选择操作,和他们不是取代人口直到所有其他个人也被移除。因为两个人从每个个体选择的人口,交配池后恢复原来的人口一半了。第二轮的过程重复为了填补交配池。与更换,比赛的选择更好的两个人,两个人都放回原来的人口在未来的选择操作。执行这一步骤,直到交配池已满。当比赛选择应用方案,每个单独的副本在原始的人口无法预测,除了它是保证不会有副本的原始人口最严重的个人。

轮盘赌选择适当的健身选择方案的槽一个轮盘赌大小根据每个人的健康。在随机普遍的选择,等距标记放置在轮盘赌。每个选择的副本的数量在一个旋转的轮盘赌的数量等于标记在相应的槽(槽的大小仍然是健身比例)。

随机普遍选择保证个体选择的副本的数量几乎成正比的健身,这是不一定的轮盘赌选择。在half-biased选择,选择一个伴侣在轮盘赌选择,而另一方配偶选择随机从原始人口。

(4)交叉:交叉提供手段价值的人群中个体之间的信息共享。它结合了两个父个体的特点,说和,形成两个孩子的人,说和,这可能有新的模式相比,他们的父母和算法中起着重要的作用。交叉过程表示为 为每一个,在那里和代表了两个父母选择从交配池,和通过交叉过程获得的两个孩子,代表了交叉范围内的权重函数。的参数和给定的初始化过程。图2显示解决方案中的交叉过程曲线的两个随机的父母。很明显,新信息纳入儿童同时保持最终解决方案的平滑曲线。

(5)突变:变异函数可以是任何范围内的连续函数这样的突变子解曲线将从孩子的解曲线通过交叉过程产生并逐渐改变其值,直到它到达解曲线相同的孩子在另一端。突变通常是介绍了防止过早收敛。一般来说,在一段时间内的几代,基因库会越来越均匀。突变的目的是介绍偶尔扰动的参数维护种群内的遗传多样性。突变过程由以下公式: 为每一个和,在那里代表了变量值孩子通过交叉产生的过程,是突变th的孩子th变量值是高斯变异函数。的参数给定的初始化过程。

关于变异中心,色散系数,,用于突变过程,三种方法用于生成变异中心,每个方法应用于三分之一的人口和两种方法用于生成弥散因子在每个方法应用到一半的人口。读者被要求请参考[17),以了解更多的细节和描述这些方法。一个随机的突变过程孩子如图3。在转换过程中,一些新的信息包含在变异的孩子同时保持平滑曲线产生的解决方案。

(6)更换:在生成后代人口通过遗传算子的应用给父母的人口,父母的人口是完全或部分取代后代人口取决于所使用的替代方案。这就是所谓的不重叠的世代、更换。这就完成了“生命周期”的人口。

(7)终止:算法终止时遇到一些收敛性判据。可能趋同标准如下:到目前为止最好的个人健身发现超过一个阈值,最好的个人的最大节点剩余人口小于或等于某个预定义的阈值,一代又一代的最大数目,或最好的健身价值的改善成员的人口在指定数量的代小于一些预定义的阈值,达到。终止算法后,问题的最优解是最好的个人发现迄今为止。如果不满足终止条件,则该算法将回到第2步。

是指出这两个函数用于算法的初始化阶段将平稳振荡两端之间的最大数量的单一振荡。如果最终解决曲线会有不止一个平稳振荡振荡,那么这将在完成整个进化过程的交叉和变异机制。这实际上是由这两个运营商在算法的运行而解决问题。然而,评估步骤算法会自动决定是否拒绝或接受修改由于其适应度函数值。

另外两个运营商加强注册会计师的性能,介绍了“精英主义”运营商,运营商“灭绝和移民”。这些操作符的形式总结了以下(14- - - - - -22]。

(1)精英主义:精英主义是用来确保健身的最佳候选解决方案在当前人口必须大于或等于之前的人口。

(2)物种灭绝和移民:这个操作符应用当所有个人在人口是相同的或最好的个人的健身价值的改善在一定数量的代小于某个阈值。这个操作符包括两个阶段;第一阶段是灭绝的过程,所有的个体在当前一代除了best-of-generation个体中删除。第二个阶段是大规模移民过程中生成的灭绝人口再次填写个人保持人口规模固定的。生成的人口划分为两个相等的部分大小;第一段在初始化阶段,生成,而另一段是由执行连续突变best-of-generation个人给出的公式 为每一个和,在那里是变量值使用移民算子生成th父母,代表了best-of-generation个体,是高斯变异函数,然后呢代表一个随机数作为给定的初始化过程。

总结注册会计师个人的演化过程是一个候选解决方案,包括1曲线节点的值。个人经历的人口选择过程,这导致交配池其中对个人交叉概率。这个过程的结果在每个孩子的后代一代经历变异概率。之后,新一代生产根据替换策略应用。完整的重复过程,直到满足收敛性判据的地方最好的个人所需的节点参数值。发现所需的节点值的最终目标转化为寻找适者个体在遗传方面。

我们提到以下事实前面提到的参数,,:首先,这些参数的值可以逐渐增加或减少的间隔提到了在初始化阶段,在整个进化过程中交叉和变异机制。其次,这些值从过程过程中,代代相传,曲线,从曲线;这是由于这样的事实,他们是随机生成的。

4所示。数值结果与讨论

为了评估的性能提出了CGA,一些问题的奇异两点BVPs进行了研究。注册会计师所获得的结果与解析解的问题。结果表明,目前的方法是非常有效的。各种CGA运营商和控制的影响参数对该算法的收敛速度也在这一节中调查。分析包括各种初始化方法的影响算法的收敛速度除了分析最常用的选择方案的影响,rank-based比率,交叉和变异概率,人口规模,最大节点剩余,尺寸效应。

的注册会计师是使用visual basic实现平台。总结了算法的输入数据表1。

使用混合方法初始化方案,有一半的人口是西班牙芒果生成的函数,而另一半使用m函数生成的。使用rank-based选择策略。代替代方案是应用的精英父母传递给下一代=十分之一的人口规模。灭绝和移民算子应用时最好的健身价值的改善个人的人口在400代小于0.001。终止判据用于每个问题是依赖于问题和变化从一个到另一个。然而,海巡署停止时满足下列条件之一。(1)健身最好的个人的人口达到一个值为0.999999。(2)最好的个人的最大节点剩余的人口是小于或等于0.00000001。(3)3000代的最大数量。(4)最好的个人的健身价值的改善人口在500代小于0.001。

要注意,前两个条件表明成功终止过程(发现最优解),而最后两个条件指出部分成功最终取决于健身最好的个体人口(达到最优解附近)14- - - - - -22]。由于注册会计师的随机性质,十二个不同的运行是由每一个结果在这个工作使用不同的随机数生成器的种子;结果的平均值。这意味着每次运行的海巡署将导致从其他运行略有不同的结果。

问题1。考虑以下线性奇异两点BVP奇点在左端点: 边界条件 确切的解决方案是。

问题2。考虑下面的非线性奇异方程奇异性在两个端点: 边界条件 确切的解决方案是。

问题3。考虑下面的非线性奇异方程奇异性在两个端点: 边界条件 确切的解决方案是。

问题4。考虑下面的非线性奇异两点BVP奇点在两个端点: 边界条件 确切的解决方案是。

在这篇文章中,我们将努力给四个问题的结果;然而,在某些情况下,我们将获得的结果之间切换的问题为了不增加纸的长度没有剩余损失的共性问题和结果。算法的收敛速度,只要使用,意味着代收敛所需的平均数量。四个问题是固定的步长为0.1,因此,内部节点的数量等于9的所有问题。

的融合数据表中给出了四个问题2。从表中很明显,花1086代的问题,平均约229.13秒内收敛于一个健身价值0.99999653的平均绝对节点的剩余价值和平均绝对差获得的精确值和值之间使用注册会计师的价值。

四个问题的详细数据,包括具体的节点值,海巡署节点值,绝对误差和绝对节点表中给出了残差3,4,5,6,分别。很明显,使用注册会计师获得的准确性是温和的,因为它有一个订单的截断误差。

best-fitness个体的进化发展情节的四个问题是如图4和5。很明显的数据一代最好的健身方法非常快;之后,这方法慢。这意味着注册会计师的近似快速收敛于实际的解决方案一代又一代。

的方式进化问题的节点值1和4研究了下一个。图6展示了进化的第一个,、中、第九,,节点值的问题1而图7第二,展示了进化、中、第八,,节点值的问题4。从进化情节可以看出,收敛过程分为两个阶段:粗调阶段和微调阶段,在粗调阶段是初始阶段的进化情节发生振荡,在微调阶段的最后阶段进化情节达到稳态值,通过常规检查没有振荡。换句话说,进化为所有节点初始振荡性质,在同样的问题。因此,所有节点,在同样的问题,达到最优解附近。的平均百分比总数的微调阶段直到收敛代所有的节点表中给出了四个问题7。很明显从表花了的问题代,平均来说,在粗调阶段,而剩下的花在微调阶段。

的影响不同类型的初始化方法讨论了算法的收敛速度。三种初始化方法进行实验研究工作;第一种方法使用西班牙芒果函数,第二个使用m函数,而第三个是混合型的初始化方法,初始化第一一半的人口使用西班牙芒果函数和下半年的人口使用m函数。表8表明,使用初始化方法有轻微影响收敛速度因为通常初始种群的影响死了几十代之后,后收敛速度是由选择机制,交叉和变异算子。的问题1,2,3,西班牙芒果函数导致收敛速度最快的时间问题4混合型的初始化方法导致收敛速度最快的。为一个特定的问题,最高的初始化方法收敛速度是提供初始解曲线接近最优解的问题;也就是说,问题的最优解1,2,3接近西班牙芒果函数等等。然而,由于任何给定问题的最优解并不被认为是已知的,最好是有一个多样化的使用混合型初始种群的初始化方法。因此,混合型算法初始化方法用作默认的方法(14- - - - - -22]。

最常用的选择方案的影响通过GA社区表现的注册会计师的探索。表9代表了收敛速度使用前文所述的六个选择方案。很明显从表rank-based选择方案对所有问题有更快的收敛速度。锦标赛选择(有或没有替换)方法来第二几乎相似的收敛速度。很明显,健身比例的方法(即。,roulette wheel, stochastic universal, and half-biased selection schemes) have slower convergence speed of the rest of the methods. The half-biased selection scheme has the slowest convergence speed.

rank-based率的影响,接下来研究了收敛速度。表10给出了算法的收敛速度不同值范围内。很明显,结果在所有问题最好的收敛速度。此外,它是观察到的平均数量代收敛所需增加的比率增加。

向量范数用于健身的效果评价研究。两个向量使用规范:规范和规范。规范是由以下方程: 而规范是由(2.7)。图8展示了进化发展情节best-of-generation个人的问题2和3使用和规范而表11给四个问题的收敛速度。在这方面两个观测;首先,进化发展情节的规范说明标准具有较高的健身价值比规范整个演化过程。第二,范数收敛更快一点规范。这些观点背后的关键因素是出现在广场力量规范。关于第一次观察到,众所周知,对于一个给定的节点残差值小于1,规范导致更高的价值比使用规范,相应的健身价值规范将会高于使用规范。关于第二个观察,规范试图选择单个解决方案,与分布式节点节点之间的残差向量,而不是集中节点是一个节点剩余残差,其余节点剩余误差相对较小。这种分布式选择方案导致进一步的解决方案比集中选择最优的方案。此外,交叉算子将前者比后者更有效。这两点导致更快的收敛速度规范与规范。此外,观察到规范不太敏感的遗传相关参数的变化和问题相关的参数。作为一个结果,规范是首选规范,作为算法的默认标准(14- - - - - -22]。

特定的设置排气口的几个调优参数包括应用交叉算子和变异算子的概率调查。这些调优参数通常依赖问题和实验确定。他们发挥不可忽视的作用,提高算法的效率。表12显示了交叉概率的影响,变异概率,,对算法的收敛速度问题1。步骤的概率值增加从和结束对于这两个和。很明显从表,当概率值和逐渐增加,代收敛所需的平均数量也减少。它指出,实现算法的最佳性能和。因此,这些值设置为默认值的算法。

人口规模的影响在海巡署研究下的收敛速度问题2如表所示13。人口规模增加的步骤从和结束。小种群大小遭受更多的代所需的概率收敛性和被困在局部最小值,而庞大的人口规模遭受更多的健身评价这意味着更大的执行时间。然而,指出改善收敛速度变得几乎可以忽略不计(达到饱和)后的人口规模。

现在,最大的影响最好的单个节点剩余的收敛速度和相应的错误了。这是第二个算法的终止条件及其值设置0.1到。表14给出了相关数据的问题3。关于收敛速度,很明显,最大节点剩余减少,代收敛所需数量的增加迅速自搜索过程将由微调阶段。确切的区别和最初的注册会计师节点值减少到最大节点的剩余价值是达到了。之后,就没有改善方案的准确性得到进一步减少最大节点剩余。建议的方法是一个变种的有限差分格式的截断误差。结果,获得的解决方案的准确性依赖于使用的步长,和一定的步长会有最初的提高而减少的最大节点剩余直到达到步长限制,进一步减少将是毫无用处的。

节点的数量的影响探讨下收敛速度和相应的错误。表15给出了相关数据的问题4节点的数量,涵盖的范围从5到20步骤5。观察,减少步长导致减少错误和相应的改善的准确性得到解决方案。这是关于有限差分方案符合已知的事实,更准确的解决方案通过使用减少步长。另一方面,成本支付在这个方向的快速增长是代收敛所需的数量。例如,增加节点的数量从5到10到20,所需数量的后代为收敛从近550到1200年到3500年,也就是2.15到2.51倍增系数。

最后,数值比较的问题1接下来进行了研究。表16显示了一个解决方案比较的注册会计师除了再生核希尔伯特空间方法的解决方案(11Adomian分解方法[]和修改12与精确解。从比较的结果很明显,这是发现我们的方法相比,所提到的方法更好,准确性和利用率。

5。结论

在这个工作中,一种新的数值算法提出了解决奇异两点BVPs。这部小说的核心方法是使用注册会计师的光滑解曲线用于代表所需的节点值。拟议的技术可能被认为是一个变化的有限差分法,每一个衍生品由一个适当的差商近似代替。该方法具有几个优势:第一,它能够解决奇异两点BVPs没有其他数值技术的使用。第二,它不采取更先进的数学工具;结果,目前的方法是简单、有效,与巨大的潜力和吸引力的方法在数学和工程应用。第三,它不需要任何修改而切换从线性到非线性的情况。不同参数的影响,包括进化的节点值,初始化方法,选择方法,rank-based比率,使用向量范数,交叉和变异概率,人口规模,最大节点剩余,和步长,也进行了研究。这种新方法将打开新的可能性为应用数学的一个重要类和工程问题。