文摘
新的多级混合数值方法基于Gauss-Siedel松弛法和切比雪夫pseudospectral方法,为解决复杂动力系统展示超混沌行为,。该方法称为多级谱松弛法(MSRM),适用于三个超混沌系统的数值解,也就是说,蔡,陈和Rabinovich-Fabrikant系统。展示性能的方法,研究的结果发表在表和图和结果相比,利用龙格-库塔-(4、5)的MATLAB求解程序,数值和其他以前公布的结果。
1。介绍
系统出现混沌行为从不同的研究人员近年来受到越来越多的关注,由于与计算相关联的挑战他们的解决方案和应用程序在许多地区科学如电路、激光、流体力学,机械设备,人口增长,和许多其他领域。混乱的行为是洛伦茨(首次观察到的1)于1963年在一个系统的常微分方程建模的天气现象。
混沌系统是复杂的动态系统的特点是快速变化的解决方案和高灵敏度小扰动的初始数据,因此计算他们的解决方案已被证明是具有挑战性的。混沌系统包括只有一个正的李雅普诺夫指数。混沌系统至少有两个正的李雅普诺夫指数系统。超混沌系统通常有更复杂的比普通混沌系统的动力学行为。超混沌同步的概念被首次引入Rossler [2)在常微分方程建模的化学反应。寻求找到准确和有效的方法来解决混沌系统是驱动的研究科学家专注于开发新方法或寻求优化现有方法的解决方案。
快速振荡的动力学系统的混沌和超混沌系统,标准分析迭代方法不能保证及时给解决方案在全球范围内有效。最近的研究已经能够努力克服缺乏全局收敛性通过修改标准分析迭代计划。这是通过实施计划序列的小区间的联盟根本问题的领域。这些修改的方法被称为多级(或分段)方法。最近被应用于混沌系统的例子包括多级Adomian分解方法(3- - - - - -6),多级同伦分析方法(7,8),多级微分变换法(9- - - - - -11),多级变分迭代法(12- - - - - -14[],多级同伦摄动方法15- - - - - -18]。分析多级方法是有限的,他们的应用程序,因为他们试图获得在每个多个间隔的显式解析解。这个过程包括费时和繁琐的计算操作,如果太多的小间隔被认为,可能在处理高度振荡系统,分析一体化进程将会计算成本太高且无法解决,即使使用象征性的科学软件。克服低效率的分析方法在解决混沌系统,最近尝试使用多级实现想法的一些数值方法解决方案。的例子最近报道的多级数值方法解决混沌系统包括piecewise-spectral参数迭代法(19)和连续分段线性化方法(PSLM) (20.- - - - - -22]。
在这项工作提出了一种新的多级迭代计划基于混合高斯-赛德尔类型松弛法与谱搭配集成。新方法被称为“多级谱松弛法(MSRM)。MSRM基于简单的分离和重组管理ivp和数值积分得到的方程在多个间隔。我们检查的适用性的超混沌混沌系统提出MSRM ivp包括蔡,陈,Rabinovich-Fabrikant系统。并给出了数值模拟计算,指出该方法是准确的,高效的,非常容易实现,因为它的算法很容易得到,因为它不需要任何原始方程的线性化。数值结果也与一些Matlab解决内置龙格-库塔和良好的协议。
2。多级谱松弛法
在本节中,我们给出一个简短描述的多级谱松弛法(MSRM)算法开发解决方案的常见的一阶非线性系统混沌系统由ivp。考虑一个混沌系统的定义非线性一阶微分方程的形式 初始条件 在哪里未知的变量和吗相应的初始条件,已知常数输入参数和的非线性分量吗th方程和点表示分化对时间。
后(20.- - - - - -22),我们首先分解积分的间隔为不重叠的时间间隔在哪里和。让的解决方案(2.1)在第一子区间和在随后的子区间的解决方案()。方程(2.2)作为初始条件获取解决方案在第一子区间。之后,我们使用相邻的子区间之间的连续性条件获取初始条件求解(2.1在其余的子区间。因此,在每一个时间间隔我们必须解决 受 在哪里克罗内克符号。我们评论,为方便开发MSRM方案,有必要表达形式的控制方程(2.3)。
MSRM算法使用Gauss-Siedel的思想方法解耦系统的方程然后应用切比雪夫谱配置方法离散化和解决由此产生的解耦子系统。我们说明MSRM发展的四个方程(IVP系统)。
在这一期间,提出MSRM迭代方案 初始条件 在哪里估计后的解决方案吗迭代。我们的话,迭代计划(2.5)- (2.8)只适合IVP系统的非线性项不包含变量在方程。这是通常的情况最著名的混沌和超混沌系统,报告文学。
一个合适的初始猜测开始迭代计划(2.5)- (2.8)是一个满足初始条件(2.9)。一个方便的选择初始猜测被发现在数值实验中被认为是在这个工作
系统的(2.5)- (2.8)形成一个解耦的线性常微分方程的解决方案可以很容易地发现解微分方程的分析使用标准技术。然而,由于计算的解决方案时间间隔,以确保准确性和收敛性,必须选择非常小,它可能不是实际寻求解析解。出于这个原因,我们使用一个基于伪谱方法来解决方程的数值方法。谱方法是求解常微分方程的强大工具,如果物理域是简单和顺利的解决方案。他们有明显的优势的光谱精度比相关,从而更准确数值方法如有限差分和有限元素。属性的光谱方法的细节可以在书中找到了Canuto et al。23],Fornberg [24],Trefethen [25]。
我们用切比雪夫谱方法来解决(2.5)- (2.8在每个时间间隔)。我们首先改变该地区的时间间隔光谱的方法是利用线性变换定义的 在每一个时间间隔为。转换后,间隔使用Chebyshev-Gauss-Lobatto搭配离散点(23,25] 的极值是哪一个阶切比雪夫多项式
切比雪夫谱配置方法基于的理念引入微分矩阵用于近似未知变量的衍生品吗在搭配点矩阵和向量的乘积 在哪里和向量函数的搭配点吗。切比雪夫函数微分矩阵的条目被定义为 与
应用切比雪夫谱配置方法(2.5)- (2.7)给 与 在哪里是一个单位矩阵的顺序。因此,从初始近似(2.10),递推公式 可以用来获取解决方案吗在这一期间。近似的解决方案在整个时间间隔是由
3所示。数值例子
在本节中,我们应用提出MSRM ivp与混沌系统的行为来说明其有效性。特别是,我们考虑系统蔡美儿,陈,Rabinovich-Fabrikant系统。获得的结果进行比较,结果通过内置的Matlab解决者,数值。
3.1。蔡系统
蔡系统最初创建的蔡女士于1983年作为一个电池电路(26]。系统是一组与一个光滑的非线性方程
基于蔡氏振荡器,赫利和阿尔伯克基27)构造一个新的四维系统通过引入第四个变量这是一个适当的反馈控制器在系统(第三个方程3.1)获得
当系统(3.2)有两个正的李雅普诺夫指数,因此展品超混沌行为(28]。超混沌系统(3.2)解决了初始条件。
在这个示例中,使用的参数MSRM迭代(2.5)- (2.7)
3.2。陈系统
Qi et al。29日陈)提出了一个四维系统在每个立方非线性方程。系统是由
系统具有超混沌行为,因为它包含一个以上的李雅普诺夫指数。Qi et al。29日]分析的基本属性(3.4)使用李雅普诺夫指数和分岔图,发现系统可以生成周期,周期和混沌吸引子取决于参数的选择。
后Qi et al。29日),在实现MSRM (3.4我们使用的参数。的参数之间的不同和循环,周期和混沌吸引子。使用的初始条件。
在这个示例中,使用的参数MSRM迭代(2.5)- (2.7)
3.3。Rabinovich-Fabrikant系统
Rabinovich-Fabrikant系统模型的动力学行为引起的非平衡耗散介质中的调制不稳定性(30.,31日]。拉比诺维奇和Fabrikant引入的系统32]。Rabinovich-Fabrikant方程具有多个混沌吸引子。所描述的系统是由以下方程组: 与参数。罗等。31日)报道,不同的混沌行为是观察不同的值和。
在这个示例中,使用的参数MSRM迭代(2.5)- (2.7)
该系统的两个病例被认为是:
案例1。 与初始条件。
例2。 与初始条件。
4所示。结果与讨论
我们现在讨论数值结果的超混沌系统在上一节中介绍。MSRM结果与MATLAB求解程序数值。这项研究的结果发表在表和图形形式。在生成所有结果提出了工作中,发现在每个间隔搭配点足以给良好的精度。MSRM算法在每个间隔重复运行的标准低于连续迭代之间的区别。
4.1。蔡系统
比较结果和计算时间的蔡系统表中描述1和图1。从这些观察,很明显,MSRM和数值产生类似的结果。然而,MSRM速度比数值从计算时间,可以观察到。数据2和3显示了两个和三维阶段分别蔡系统的肖像。
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4.2。陈系统
对于陈系统,计算MSRM结果相比,分段逐次线性化法(PSLM) [22)的结果。结果表中描述2,3,4循环,周期,分别和混乱。类似的结果在所有的情况下获得的。PSLM和性能比较数值是由Motsa和Sibanda22),观察的结果吻合很好。循环的相图、周期和混沌陈系统显示的数字4,5,6,分别。阶段情节类似于Motsa和Sibanda22]。
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4.3。Rabinovich-Fabrikant系统
Rabinovich-Fabrikant,两种情况被认为是取决于的价值,产生了不同的混沌行为。结果情况1()如表所示5和结果的情况下2()如表所示6。此外,数据7和9显示图形解决方案的情况1和案例2,分别。从数据和表MSRM和数值结果具有可比性。不同的混沌行为显然可以从数据8和10描述了案件的情节相1和案例2,分别。相图是类似于罗et al。31日]。
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5。结论
在这个工作我们已经成功地计算解决方案三个超混沌系统即蔡,Chen和Rabinovich-Fabrikant系统,使用一个新方法基于混合Gauss-Siedel放松法和切比雪夫伪谱法。方法,称为多级谱松弛法(MSRM)是一个多阶段方法适应解决复杂动态系统的超混沌系统。表中给出的结果和图形形式与结果使用龙格-库塔-(4、5)的MATLAB内置的能手,数值,以及其他以前公布的结果。研究结果还表明,该MSRM是准确的,计算高效,可靠的方法来解决复杂动力系统与超混沌行为。