文摘

本文提出了不动点的存在性和唯一性定理下令在巴拿赫晶格收缩映射。此外,我们证明了存在唯一解一阶常微分方程的初值条件通过理论结果与不需要使用较低的解决方案的条件或一个上层的解决方案。

1。介绍和预赛

完备度量空间的存在不动点在部分命令最近被认为是进一步在1- - - - - -6]。许多新的不动点定理证明了在一个度量空间具有偏序利用单调迭代技术,和他们的研究结果应用于问题对于某些微分方程解的存在性和唯一性问题。在[6)存在的最小和最大的解决方案提出了一种非线性问题通过构造迭代序列的条件较低的解决方案或一个上层的解决方案。

本文的理论结果固定的点是延长使用锥定理和单调迭代技术在巴拿赫晶格。但可以构造迭代序列不需要使用较低的解决方案的条件或上层的解决方案。为了演示我们的结果的适用性,我们将它们应用于研究常微分方程的问题在本文的最后一节,并得到解的存在性和唯一性。

让 巴拿赫空间 一个锥形的 。我们定义一个部分排序 关于 通过 当且仅当 。一个圆锥 如果有一个常数叫正常 ,这样 意味着 ,尽管 。最积极的常数 满足上面的不平等被称为正常的常数 。

让 黎兹空间配备了黎兹规范。我们称之为 巴拿赫晶格的部分排序 ,如果 是规范完成。对于任意的 , 和 存在。可以看到[7]对晶格的定义和属性。

让 ;操作员 据说越来越多的运营商如果 , ,意味着 ;操作员 据说是减少运营商如果 , ,意味着 。

引理1.1(见[8])。让 在一个真实的巴拿赫空间正常锥 。假设 是一个单调序列的子序列 收敛于 ,然后 也收敛于 。此外,如果 越来越序列呢 ;如果 是一个递减序列呢 。

引理1.2(见[9])。让 是一个有界开集在一个真实的巴拿赫空间 这样 ;让 是一个锥形的 。让 完全是连续的。假设 然后 。

引理1.3(见[9])。让 是一个真实的巴拿赫空间,让 是一个圆锥。假设 和 是两个有界开的子集 与 和 ,让 完全是连续的。假设要么 和 ,或 和 。然后 有一个固定的点 。

2。主要结果

定理2.1。让 是一个真实的巴拿赫晶格,让 是一个正常的锥。假设 是一个减少算子,存在一个线性算子 与谱半径 和 然后操作员 有一个独特的定点。

证明。对于任何 ,因为 ,我们有 。现在我们假设以下两种情况。
(我)。假设 堪比 。首先,不失一般性,假设 。如果 ,然后完成证明。假设 。自 减少在一起 ,我们获得的感应 和 具有可比性,为每一个 。使用收缩条件(2.1),我们可以通过感应得到 事实上,对于 ,使用这一事实 是正常的,我们有什么 假设(2.2)是正确的 当 ,我们获得 对于任何 , ,因为 是正常的锥,我们有什么 在这里 是正常的常数。
给定一个 这样 ,因为 ,存在一个 这样 对于任何 , ,因为 是正常的锥,我们有什么 这意味着 是一个柯西序列 。完整的人物 暗示的存在 这样 接下来,我们证明 是一个不动点的 在 。自 减少, ,我们可以得到 。
所以 然后 很容易知道 增加和 通过感应,我们获得 因此,序列 越来越柯西子序列 和减少柯西子序列 这样 因此引理1。1意味着 , 。
自 是一个柯西序列,我们可以得到的 。
此外 因此 。这是 。因此 是一个不动点的 在 。
例(2)。相反,假设 没有可比性 。
现在,因为 巴拿赫晶格,存在吗 这样 。这是 和 。自 是减少运营商,我们有吗 这表明 。同样情况的证明(我),我们可以得到 有一个固定的点 在 。
最后,我们证明 有独特的定点 在 。事实上,让 和 是两个不动点 在 。(1)如果 堪比 , 堪比 对于每一个 , 这意味着 。(2)如果 没有可比性 ,存在一个上限或下限的 和 因为 是巴拿赫晶格,存在吗 这样 或 。单调性暗示 堪比 和 ,尽管 , 这表明 当 。因此 有独特的定点 在 。

定理2.2。让 是一个真实的巴拿赫晶格,让 是一个正常的锥。假设 是一个完全连续和增加运营商这样存在一个线性算子 与谱半径 和 然后操作员 有独特的定点 在 。

证明。对于任何 ,让 。现在我们假设以下两种情况。
(我)。首先,假设存在 这样 。如果 ,然后完成证明。假设 。自 和 不减少的,我们获得的感应 同样作为定理的证明2.1,我们可以得到 是一个柯西序列 。自 完成后,由引理吗1。1,存在 这样 接下来,我们证明 是一个不动点的 ,也就是说, 。事实上 现在,收敛的 来 ,我们可以得到 。这证明 是一个不动点的 。
例(2)。相反,假设 对所有 。因此引理1。2意味着一个不动点的存在也在这种情况下。
最后,同样作为定理的证明2.1,我们可以得到 有独特的定点 在 。

定理2.3。让 是一个真实的巴拿赫晶格,让 是一个正常的锥。假设 是一个完全连续和增加运营商满足以下假设:(我)存在一个线性算子 与谱半径 和 (2) 是有界的。
然后操作员 有一个独特的非零定点 在 。

证明。首先,对任何 ,让 。现在我们假设以下两种情况。
(我)。假设存在 这样 。同样作为定理的证明2.1,我们得到 有一个非零的定点 在 。
例(2)。相反,假设 对所有 。现在,因为 是有界的存在 这样 对所有 与 。因此引理1。3意味着一个非零的存在不动点。
最后,同样作为定理的证明2.1,我们可以得到 有一个独特的非零定点 在 。

3所示。应用程序

在本节中,我们使用定理2.1显示存在唯一解的一阶初值问题 在哪里 和 是一个连续函数。

定理3.1。让 是连续的,假设存在 ,这样 然后(3所示。1)有一个独特的解决方案 。

证明。很容易知道 巴拿赫空间最大标准吗 ,也是巴拿赫晶格与最大的规范 。让 , 是一个正常的锥在巴拿赫格子 。方程(3所示。1)可以写成 这个问题是等价的积分方程 定义操作符 如以下: 此外,映射 减少在 。事实上,通过假设, , 意味着 所以 是减少的。此外,为 , 在哪里 。自 减少,那么 是正线性算子。
现在,让我们证明谱半径 。为 ,因为 ,我们有 数学归纳法,对任何 ,我们有 所以 自 ,我们有 定理的条件2.1持有,定理3所示。1是证明。

确认

第一作者是由国家自然科学基金委(71240007),财务支持NSFSP (ZR2010AM005)。