文摘

我们引入一组数学常数在多个理论涉及自然伽马函数。那么我们现在一般渐近不平等这些常数的特殊情况被认为包含所有结果最近2011年陈。

1。介绍和预赛

双伽马函数 和多个伽玛函数 定义并系统地研究了巴恩斯(1- - - - - -4大约在1900年。巴恩斯在调查之前,这些函数被引入以不同的形式,例如,持有人(5],Alexeiewsky [6]和Kinkelin [7]。在1980年代中期,这些功能恢复的研究上的拉普拉斯算子的决定因素 维单位球 (见[8- - - - - -13])。自那时以来,多个伽马函数吸引了许多作者的关注,一直以不同的方式使用。它是看到一组常量 在(1.11)涉及自然理论的多个伽玛函数 (见[14- - - - - -20.)和引用)。例如,对于足够大 和 ,我们的斯特林公式 函数(见[1];参见[21方程(7)]页26日): 在哪里 Glaisher-Kinkelin常数(见[7,22- - - - - -24)在(1.16下面)。Glaisher-Kinkelin常数 的常量 和 下面介绍了崔和斯利瓦斯塔瓦已经使用,除此之外,在特定系列的封闭评价涉及ζ函数和多个伽玛函数的一些积分的计算。所以想给这些常量的渐近公式 , , 是重要的。最近陈(25这些常量)提出了不错的渐近的不平等 , , 通过主要使用Euler-Maclaurin求和公式。在这里,我们的目标是在呈现渐近的不平等的一组数学常数 在(1.11)的一些特殊情况被认为产生所有的结果在25]。

为了这个目的,我们首先总结一些函数的微分和积分公式 在(1.2)。

引理1.1。微分的函数 时候,我们获得 在哪里 是一个多项式的学位 在 满足以下递推关系: 事实上,通过数学归纳法 ,我们可以给一个显式表达式 如下: 设置 在(1.3)和(1.5),分别 在哪里 定义的谐波数据吗 区分 在(1.6) 时候,我们获得 整合功能 在(1.2) 来 ,我们得到

为每一个 ,定义一个序列 通过 在哪里 伯努利数了(1.12), 给出了(1.5), 表示最大的整数≦(像往常一样) 。定义一组数学常数 通过 伯努利数 由母函数定义(见[211.6节);参见[261.7节): 我们介绍一个著名的公式(参见[212.3节): 在哪里 是黎曼ζ函数定义的 很容易观察到的1.13),

1.2的话。我们发现常数 , 和 符合Glaisher-Kinkelin常数 的常量 和 分别介绍了崔和斯利瓦斯塔瓦: 在哪里 表示Glaisher-Kinkelin常数的数值 在这里 和 是常数的近似数值给出 常数 和 被认为是最近由崔和斯利瓦斯塔瓦(16,18]。参见Adamchik [27,199页)。Bendersky [28)提出了包括一组常量 和 。

2。Euler-Maclaurin求和公式

我们首先回顾Euler-Maclaurin求和公式(cf。哈代([29日,30.》,318页): 在哪里 是一个任意常数在每个特殊情况,确定吗 伯努利数了(1.12)。另一个有用的求和公式,请参阅爱德华兹(31日,117页)。

让 是一个类的函数 ,让间隔 被分割成 小区间的长度相同 。然后我们有Euler-Maclaurin求和公式的另一个有用的形式(见,例如,32):存在 这样 在哪里 。在同等条件下(2.2),设置 , , , 在(2.2),我们获得一个简单的求和公式(参见[25): 为了方便,余项 是由 视为有界的吗

朱海洋和杨欣(33)建立一些有用的公式起源于Euler-Maclaurin求和公式(2.1)(参见[25下面的引理)断言。

引理2.1。让 ,让 有第一次 衍生品在一个区间 这样 和 (或 和 ), 。然后以下结果适用:(我)序列 是收敛的。让 。(2)为 和 ,我们有 为 和 ,我们有 (3)存在 这样

3所示。渐近公式和不平等

应用函数 在(1.2)到Euler-Maclaurin求和公式(2.1), 和使用结果中给出引理1.1,我们获得一个序列的渐近公式 下面的定理。

定理3.1。以下常量的渐近公式 和 适用: 在哪里 的常数依赖 据悉(像往常一样)和一个空的总和是零。和

证明。我们只注意到(我) (2)

应用函数 在(1.2)到公式(2.9), ,并使用结果中给出引理1.1,我们得到两个站的不平等的差别 和 由定理断言3.2。

定理3.2。以下的不平等适用:

证明。设置函数 在(1.2在公式()2.9), ,并使用结果中给出引理1.1,我们得到 对于一些 。
替换 通过 和 在(3.6),分别得到 鉴于(1.15),我们发现以下不平等: 最后很容易看出两面不平等 可以表示在一个单一的形式(3.5)。

3.3的话。的特殊情况(3.5)当 , , 很容易看到符合方程吗 , , 在陈的工作25),分别。

应用函数 在(1.2)到公式(2.3)和使用结果中给出引理1.1,我们得到两面不平等的 由定理断言3.4。

定理3.4。以下的不平等适用: 为了方便起见,

证明。设置函数 在(1.2在公式()2.3),并使用结果中给出引理1.1,我们有一些 , 替换 通过 和 在(3.12),分别得到 鉴于(1.15),我们发现 那 现在,以限制双方的不平等 作为 在定理,我们得到结果3.4。

3.5的话。它很容易看到专业的不平等(3.9)当 和 和(3.10)当 与那些不平等的方程 , , 在陈的工作25),分别。

确认

这项研究受到了基础科学研究项目通过韩国国家研究基金会资助的教育、科学和技术(2012 - 0002957)。