文摘
家庭的必要和充分条件可解性与周期性边界条件差分方程得到使用的相对光谱线性有界算子的概念在巴拿赫空间和遍历性定理。结果表明,当存在的条件满足,那么这样的周期解是使用的公式构建广义逆算子的线性有限。
1。问题和主要的声明
这类方程的周期解的存在性问题是众所周知的。尽管很难提到所有的贡献者在一个单一的纸,我们想马克发达Floke理论(1),用于分析的线性微分方程系统的单值矩阵。算子理论被这样的类比(当有单一的解决方案)在巴拿赫空间微分方程是由Daletskyi和Krein2]。
本文致力于获得类似条件的差分方程在巴拿赫空间和建设表示相应的解决方案。该方法允许获得了关键和非关键情况的解决方案。注意,这个问题可以使用成熟的伪逆接近技术在理论上的边值问题(3]。在本文中,我们首先建立一个新的表示形式的伪逆算子基于遍历理论的结果,然后我们提供必要和充分条件,保证相应的解的存在性。
让复杂的巴拿赫空间与规范和零元素;巴拿赫空间中有界的线性算子来。在本文中,我们考虑方程周期解的存在性 与周期性条件 在哪里,,尽管,是一个复杂的参数,然后呢是一个序列。对应的齐次方程的解决方案(1。1)具有以下形式4]: 在哪里 问题是进化算子(1。1);,在那里标识符。让我们的话,和。操作符传统上被称为单值算子。
我们可以代表4的解决方案(1。1),任意的初始条件在表单中 在哪里 如果我们用这个表示边界条件(1。2),我们获得算子方程 根据符号,我们得到了算子方程
边值问题(1。1),(1。2)的周期解当且仅当算子方程(1。8)是可以解决的。
继文献[5),点被称为对稳定点如果单值算子的不平等。
表示(这组正值组这样操作通常是可以解决的)。它是容易消散的设置的运营商在于。
在我们假设的续集是反身为简单起见6]。
中包含本文的主要结果是定理1。1。
定理1.1。让是正确的稳定点(1。1)。然后(一)边值问题(1。1),(1。2当且仅当序列)解决方案满足条件 (b)条件下(1。9),解边值问题(1。1),(1。2)有以下形式: 在哪里任意元素的巴拿赫空间吗,广义的绿色的边值(1。1),(1。2),它是由平等定义的
2。辅助的结果
让我们制定和证明一些辅助前题,这意味着定理。
引理2.1。如果,然后边值问题(1。1),(1。2)是解决当且仅当序列满足条件
证明。从上面的假设是,统计遍历定理的条件(6]。然后 上面的方程可以看出,元素在于值集的运算符当且仅当 这证明引理。
考虑以下的后果进一步推理的假设之上。假设和对单值操作符的稳定点,这样吗定义特征空间,恰逢组操作符的值。这个操作符满足下列条件(6]:
引理2.2。操作符有界的逆形式 对所有。
证明。我们表明,。事实上,如果,然后
自和(6),子空间和只有在零点相交,和条件(2。6当且仅当)满意和。当且仅当这是可能的。我们表明,。注意(6]。它遵循从过去的任何元素的分解的形式,在那里,这证明。因此根据巴拿赫定理(6)原始运营商以来逆双射的地图本身。因此,点是常规的6)的运营商。因为经营者的权力一致有界和谱半径吗(,然后)。它是众所周知的6]豫解有界算子是开放的。数量;因此存在一个社区这样每个点的小区属于溶剂组。对任何一点属于附近存在一个溶剂(6),收敛标准系列的形式
使用分析性的溶剂和著名的身份点这样我们获得
最后,用系列在上面的方程中,我们得到了(2。5),这证明了引理。
让我们先介绍一些符号下声明证明。
定义2.3。操作符 被称为算子的广义逆 (3如果下列条件:
引理2.4。操作符广义逆, 或融合算子级数的形式 对所有。
证明。它可以检查条件(1)和(2)的定义2。3。我们使用这两种表征(2.10),(2.11)和表达式(2。4)操作符。考虑以下产品: 请注意,对于任何(这种直接源于(2。4)使用二项式系数的公式)。现在,证明 事实上 因此 我们的操作员满足条件(1)的定义2。3。让我们检查条件(2)
3所示。定理的证明1。1
根据线性方程可解性的一般理论3),我们获得的问题(1。1),(1。2)是集可以解决的满足的条件 这种情况和引理2。1相当于represantion定理(a)1。1。
在这样的条件下,所有问题的解决方案(1。1),(1。2)的形式 随着符号引入相当于表示(b)的定理。
4所示。注释和示例
4.1的话。假设希尔伯特空间,在这种情况下我们可以表明,公式(2.10),(2.11)给我们的代表Moore-Penrose伪逆(7,8]与自共轭算子(正交投影)6]。
4.2的话。假设 (存在于所有,然后下面的方程:。这允许代表的解决方案(1。1),(1。2)只使用运营商的家庭和他们的逆。
让我们说明上面的声明证明了在二维系统的例子。
(1)考虑方程 与周期性条件 在哪里,, 很容易看到 在哪里 然后下面的持有 用周期性条件(4.2)(4.4根据我们获得一个方程 考虑的情况下。在这种情况下(4.7)变成适用于任意的初始矢量。很明显和。根据定理1。1,所有的周期解(4.1)的形式 对所有。
(2)我们可以搜索任何时期的周期解在以前的问题。他们有共同的观点 在哪里是参数。
为了说明我们做了下面的集的复杂性。
回想一下,向量的长度是。系统(4.9)使用Wolfram Mathematica 7框架实现。设在对应于时间,设在对应向量的长度。向量的长度是计算时间的整数的时刻。这样获得的点被连接在一个分段线性方法。获得的结果为特定的参数值描述下图。
我们可以看到的轨迹向量长度密集填充矩形或变成一条线(数字3和4)。数据1,2,5,6证明轨迹可以填补结构化集。在图结构1类似于分形。
这使我们能够得出结论,系统的行为是相当复杂;它可以发生不可预知的变化丝毫变化一个参数。我们必须承认,影响描述需要进一步的理论研究。
承认
a . a . Boichuk得到了格兰特1/0090/09斯洛伐克共和国授予机构(VEGA)和项目apvv - 0700 - 07年的斯洛伐克研发机构。