文摘
功能分析的单元磁盘和满足的微分方程被认为是,服从是一个规范化的凸单叶函数吗。这些函数给出了二重积分算子的形式与服从。微分方程的所有解的最佳优势。Starlikeness属性和各种尖锐的估计这些解决方案研究了凸函数的特定情况。
1。介绍
让表示所有分析功能的类打开单元中定义的磁盘和规范化的条件,。此外,让的子类单价的组成的功能,让是它的子类星形的功能。一个星形的函数特征是分析的条件在,即域是星形的起源。对两个函数和在阿达玛的产品(或卷积)和是函数定义为
为和在,一个函数隶属于,写成,如果有一个解析函数令人满意的和,这样,。当是单价的,然后是服从相当于和。
在最近的一篇论文,米勒和Mocanu [1]调查starlikeness属性的函数由二重积分定义操作符的形式
在这篇文章中,条件在不同的内核研究了从starlikeness的角度。具体地说,我们认为功能由二重积分算子的形式给出 在这种情况下,它遵循
在哪里。此外,该函数满足一个三阶微分方程的形式
合适的参数和。调查的功能可以被看作是一个扩展类的研究
类为一个适当的函数或其变体研究了在几个作品;见,例如,(2- - - - - -10和最近11,12]。
2。结果微分从属
我们第一次召回的定义最佳微分从属的主要解决方案。
定义2.1((主导和最佳主导)13])。让,让是单价的。如果分析在和满足微分从属 然后被称为微分从属的解决方案。单价的函数被称为主流如果对所有令人满意的(2.1)。一个主要满足对于所有的优势种(2.1)据说是最好的优势(2.1)。
在接下来的续集,我们将假设一个分析凸函数在吗与。为,考虑三阶微分方程 我们将表示类组成的所有解决方案作为,也就是说,
让 用判别。请注意,和。
我们将重写的解决方案
在它的等效积分形式
它遵循的关系(2.4),
因此,
做替换在上面的积分和集成,改变变量的收益率
我们将使用的符号为 从[14众所周知,是凸的提供。
定理2.2。让和是由(2.4), 然后函数是凸的。如果,然后 和是最好的优势。
证明。它遵循从(2.10),
因此,
因为两个凸凸函数的卷积(15),这个函数是凸的。让
然后,
众所周知从[16),
同样的,
意味着
差动链
显示,。自,函数
是一个微分从属的解决方案,因此对于所有的优势种。因此,是最好的优势。
2.3的话。(1)当,然后和,上面的从属减少的结果(16),也就是说,
(2)上面的证据也显示,
也就是说,。
定理2.4。让,,给出定理2.2。如果,然后
证明。让。然后 与由(2.10),这意味着安于现状
摘要starlikeness属性将追究功能由二重积分算子的形式(1。3)。
3所示。应用程序
首先,我们考虑一类凸单价的功能这是对称的对真正的轴。表示由类
在哪里,让。当和,让。的类具有特殊的意义,我们将简单地表示它
同样,
定理3.1。假设下的定理2.2,如果 然后 在哪里 是最好的优势。此外, 如果, 如果。
4所示。Starlikeness财产
Starlikeness函数由一个二重积分算子的性质研究了在这一节中。下面的结果将是必需的。
引理4.1(见[5])。如果满足 为,然后。这个结果是锋利的。
定理4.2。让和是由(2.4),和。如果 在哪里,满足 然后。
证明。这个函数满足 因此 现在,也意味着,所以 它遵循的定理的证明2.2那 在哪里 自 一个应用程序的引理4.1产生结果。
推论4.3。让和 如果满足 然后。
证明。在这种情况下,,,结果现在遵循从定理4.2。
例4.4。如果 和满足 然后。
定理4.5。让,让和是由(2.4),。如果满足 然后。
证明。很明显, 自,替换和在(3所示。7)给 因此,它遵循
确认
作者非常感谢裁判的很多建议,帮助提高本文的演示。这里介绍的工作支持的部分研究型大学授予从马来西亚理科大学。