文摘
我们研究的特殊部分和多个分布的傅里叶级数。我们获得足够的条件求和的黎兹分布紧凑支持的傅里叶扩张的手段。
1。介绍
重建的一个分布傅里叶扩张是最近在谐波分析研究的问题。良好定义的序列部分和总是在弱收敛拓扑(1,2]。然而,一个人可以研究这些领域的扩张在古典意义上一个分布的同时,局部可积的函数。散度的狄拉克δ函数的傅里叶级数,它遵循一个奇点的分布使收敛在一个域重大影响是非常光滑的(在这种情况下等于零)。甚至分段光滑函数的特征函数展开,其不连续有负面影响收敛点远奇点集(品现象)3- - - - - -5]。
在本文中,我们考虑一个定位分布的多个傅里叶级数的问题。与一维情况下可以定义多个傅里叶级数的部分和各种方式,如矩形、正方形,和球面部分和1,2]。傅里叶展开奇异分布也可以研究古典意义上的在它伴随着一个正则函数的域(1,2,6- - - - - -13]。我们证明本地化定理nonspherical部分资金,也就是说,总和域下的傅里叶级数多项式有限水平表面的椭圆。
2。预赛和配方的主要结果
我们表示——空间周期在每个变量,光滑函数功能,。
让表示multiindex,维向量和非负整数,让组件,在那里。
半范数的系统产生一个局部凸拓扑,在那里对所有multiindexes运行。我们表示相应的局部凸拓扑空间。让是周期性的空间分布,即空间上的连续线性泛函,。
对于任何分布从我们定义它的傅里叶系数分布的作用在测试函数,在那里和,维向量和整数坐标。然后可以用傅里叶级数 它总是在弱收敛拓扑(见,例如,在1,2])。
考虑下面的多项式: 在哪里是一个正整数的数字,然后呢。
多项式是一个均匀的学位,也就是说, 和一个椭圆,
因此,一个家庭有界集 享受以下属性:(一)对于任何对,有,这样,(b) 。
让。然后部分的系列(2。1)定义的平等
对于任何真正的,我们定义的黎兹手段(2。6) 在我们获得部分和(2。6)。
可和性的系列(2。1),以及它的正则化(2。7),取决于权力的奇点。为了分类奇点的分布,我们应用周期刘维尔空间(14]。
在本文中,我们研究了收敛的黎兹手段(2。7)在一个分布域零(本地化问题)是一致的。这项工作的主要结果是证明以下。
定理2.1。让,配合零。如果 然后均匀紧集
3所示。辅助估计狄利克雷内核的前题
黎兹意味着(2。7)可以写成 在哪里作用于通过和黎兹的手段吗部分的多个狄拉克δ函数的傅里叶级数: 注意,如果,然后正是黎兹狄利克雷内核的手段。
首先,我们估计(3所示。2)规范的积极刘维尔空间。在这方面,我们使用内核之间的关系(3所示。2)和傅里叶积分的相关的内核。这种关系被称为泊松求和公式。傅里叶积分也可以相应的内核所描述的相同的多项式取代它的参数范围来: 在域的定义必须改变其范围一致的。
后渐近公式有效的内核(3所示。3),我们获得引理3所示。1。
引理3.1。让。然后,对于和
注意,积分算子,相应的内核和,在不同的功能空间。假设的引理3所示。1因此,如果满足条件(2。8在定理2。1,然后。
假设多维数据集的边界附近消失。然后函数 属于和保存的所有属性在内部的。相反,如果内部的支持吗,然后,如果我们改变它的图形沿着坐标轴与步骤的倍数,我们得到一个周期函数,恰逢在,也就是说,
傅里叶系数的傅里叶变换相关的公式吗。因此,比较与先前的公式,我们得到泊松求和公式 泊松求和公式(3所示。7),例如,如果函数满足条件 在哪里是任何正数。
请注意,从内核的定义由此可见,
平等(3所示。9)建立了内核的傅里叶系数之间的关系和傅里叶变换的内核。此外,从引理3所示。1和不平等(2。8),它遵循内核满足条件(3所示。8)。因此,从(3所示。7),我们得到 另一方面,考虑到(3所示。9),从内核的定义,我们获得 因此,从(3.10)和(3.11),我们得到 然后在(3.12)分离这个词我们获得 在哪里被定义为 然后从引理3所示。1我们立即获得以下引理。
引理3.2。让任意小的数量和,对于任何。如果满足(2。8),然后
引理3所示。2提供了一个估计的第二项(3.13)。此外,如果,然后从(3所示。4我们得到一个估计的第一项(3.13)。因此,我们证明了下面的引理。
引理3.3。让任意小的数量和。如果满足(2。8),然后
我们将估算的内核规范的空间。引理3所示。3提供了一个估计在。如果,那么我们有以下评估[15]。
定理3.4。让是一个紧集,然后均匀 在哪里是一个任意域这样。
然后利用线性算子的斯坦的插值定理分析家庭(16)与和,我们获得以下。
引理3.5。让满足(2。8),让任意紧集。那么均匀 在哪里是一个任意域这样。
对于任何数量介绍以下功能(内核): 请注意,。
引理3.6。让,在那里是一个任意小的数量,让满足(2。8)。然后对任何非负数字下面的关系是正确的。
证明。如果是一个整数,然后(3.20直接从引理)之前3所示。3和的关系
如果不是整数,那么写呢,在那里是一个整数,。然后有一个积极的功能,这样和
然后声明的引理3所示。6之前的关系(3.22)和引理3所示。3。引理3所示。6是证明。
引理3.7。让是一个任意紧集,满足(2。8),。然后均匀以下评估是有效的: 在哪里是一个任意域这样。
4所示。主要结果的证明
让一个分布有一个紧凑的支持和属于空间,在那里。让是一个任意紧集和满足(2。8)。然后从(3所示。1), 在哪里意味着一个规范的空间和意味着一个规范的空间,这样。
让。然后从不平等 和引理3所示。7由此可见, 一致通过从。
承认
本文已经由马来西亚Putra大学研究型大学授予(地毯)。05 - 01 - 11 - 1273俄文。