文摘

本文的目的是研究三阶延迟三项式的微分方程的性质<年代vg height="17.5" id="M1" style="vertical-align:-2.29482pt;width:268.17499px;" version="1.1" viewbox="0 0 268.17499 17.5" width="268.17499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ( 1 / ( ) ) ( ) ) + ( ) ( ) + ( ) ( ( ) ) = 0 ,通过将这个方程转换到第二/三阶二项式微分方程。使用合适的比较定理,我们建立新的结果研究了方程的渐近行为的解决方案。早些时候获得标准提高和推广的。

<年代p一个nclass="end-abs">

1。介绍

在本文中,我们将研究振荡和三阶三项式延迟微分方程解的渐近行为的形式<年代p一个nclass="equation" id="eq1"> 1 ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ( ) ) = 0 。 ( ) 在整个论文中,我们假设<年代vg height="14.75" id="M4" style="vertical-align:-3.25793pt;width:193.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 193.875 14.75" width="193.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ∈ ( ( 0 , ∞ ) ) 和<年代p一个nclass="list">(我)<年代p一个nclass="list-content"> ( ) > 0 ,<年代vg height="13.55" id="M6" style="vertical-align:-2.29482pt;width:50.275002px;" version="1.1" viewbox="0 0 50.275002 13.55" width="50.275002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) ≥ 0 ,<年代vg height="13.55" id="M7" style="vertical-align:-2.29482pt;width:49.787498px;" version="1.1" viewbox="0 0 49.787498 13.55" width="49.787498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) > 0 ,<年代vg height="13.45" id="M8" style="vertical-align:-2.21957pt;width:51.799999px;" version="1.1" viewbox="0 0 51.799999 13.45" width="51.799999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) > 0 ,(2)<年代p一个nclass="list-content"> ( ) ≤ ,<年代vg height="14.8" id="M10" style="vertical-align:-3.21404pt;width:112.475px;" version="1.1" viewbox="0 0 112.475 14.8" width="112.475" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> l 我 米 → ∞ ( ) = ∞ ,(3)<年代p一个nclass="list-content"> ∫ ( ) = 0 ( ) d → ∞ 作为<年代vg height="9.125" id="M12" style="vertical-align:-0.11285pt;width:47.849998px;" version="1.1" viewbox="0 0 47.849998 9.125" width="47.849998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> → ∞ 。

的解决方案(<一个href="#eq1"> ),我们的意思是一个函数<年代vg height="17.775" id="M14" style="vertical-align:-3.21404pt;width:117.4375px;" version="1.1" viewbox="0 0 117.4375 17.775" width="117.4375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) ∈ 2 ( ( , ∞ ) ) ,<年代vg height="14.3875" id="M15" style="vertical-align:-3.25793pt;width:45.737499px;" version="1.1" viewbox="0 0 45.737499 14.3875" width="45.737499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ≥ 0 满足(<一个href="#eq1"> )<年代vg height="14.7" id="M17" style="vertical-align:-3.21404pt;width:46.75px;" version="1.1" viewbox="0 0 46.75 14.7" width="46.75" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( , ∞ ) 。我们认为只有那些解决方案<年代vg height="13.55" id="M18" style="vertical-align:-2.29482pt;width:23.174999px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.174999 13.55" width="23.174999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) (<一个href="#eq1"> ),满足<年代vg height="14.1375" id="M20" style="vertical-align:-2.72118pt;width:148.10001px;" version="1.1" viewbox="0 0 148.10001 14.1375" width="148.10001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 年代 u p { | ( ) | ∶ ≥ } > 0 对所有<年代vg height="14.3375" id="M21" style="vertical-align:-3.21404pt;width:43.349998px;" version="1.1" viewbox="0 0 43.349998 14.3375" width="43.349998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ≥ 。我们假设(<一个href="#eq1"> 拥有这样一个解决方案。一个解决方案(<一个href="#eq1"> )振荡如果任意大0<年代vg height="14.7" id="M24" style="vertical-align:-3.21404pt;width:46.75px;" version="1.1" viewbox="0 0 46.75 14.7" width="46.75" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( , ∞ ) ,否则,它是建立。方程(<一个href="#eq1"> )本身据说如果其所有的解决方案都是振荡振荡。

最近,增加注意力一直致力于振荡和二、三阶微分方程的渐近性质(见[<一个href="#B1">1- - - - - -<一个href="#B22">22])。各种技术出现微分方程等的调查。我们的方法是基于建立新的比较定理,所以我们减少考试的三阶三项式微分方程问题的二项式方程的观测。

在早期的论文(<一个href="#B11">11,<一个href="#B13">13,<一个href="#B16">16,<一个href="#B20">20.),一个特定的情况下(<一个href="#eq1"> ),即常微分方程(及时)<年代p一个nclass="equation" id="eq2"> ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) = 0 , ( 1 ) 被调查,充分条件为所有非解决方案<年代vg height="13.55" id="M29" style="vertical-align:-2.29482pt;width:23.174999px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.174999 13.55" width="23.174999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 为了满足<年代p一个nclass="equation" id="EEq1.1"> ( ) ( ) < 0 ( 1 。 1 ) 或者更强的条件<年代p一个nclass="equation" id="EEq1.2"> l 我 米 → ∞ ( ) = 0 ( 1 。 2 ) 提出了。众所周知,(<一个href="#eq2"> 1 )一直令人满意的解决方案(<一个href="#EEq1.1">1.1)。最近,各种满足所有非振动解的充分条件(<一个href="#EEq1.1">1.1)或(<一个href="#EEq1.2">1.2)出现了。我们在这里提到[<一个href="#B9">9,<一个href="#B11">11,<一个href="#B13">13,<一个href="#B16">16,<一个href="#B21">21]。但只有几个微分方程的结果偏离的论点。已经进行了一些尝试在<一个href="#B8">8,<一个href="#B10">10,<一个href="#B18">18,<一个href="#B19">19]。在本文中,我们概括这些,我们将研究结果条件所有的非振动解的解决方案(<一个href="#eq1"> )满足(<一个href="#EEq1.1">1.1)和(<一个href="#EEq1.2">1.2)。为我们进一步引用我们定义如下。

<年代p一个nclass="statement" id="deff1">定义1.1。我们说(<一个href="#eq1"> )属性(<年代vg height="14.3875" id="M35" style="vertical-align:-3.25793pt;width:15.5px;" version="1.1" viewbox="0 0 15.5 14.3875" width="15.5" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 0 )如果它的每一个非振动解<年代vg height="13.55" id="M36" style="vertical-align:-2.29482pt;width:23.174999px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.174999 13.55" width="23.174999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 满足(<一个href="#EEq1.1">1.1)。

在本文中,我们有两个目的。首先,我们立即建立比较定理得到结果三阶时滞方程与三阶方程。这部分延伸和补充文件(<一个href="#B7">7,<一个href="#B8">8,<一个href="#B10">10,<一个href="#B18">18]。

其次,我们提出一个比较原理推导出所需的属性(<一个href="#eq1"> )从一个二阶微分方程的振荡。这里,我们概括的结果呈现在<一个href="#B8">8,<一个href="#B9">9,<一个href="#B14">14,<一个href="#B15">15,<一个href="#B21">21]。

<年代p一个nclass="statement" id="rem1">1.2的话。所有功能的不平等最终认为本文认为持有;0,他们感到满意<年代vg height="9.125" id="M38" style="vertical-align:-0.11285pt;width:5.0124998px;" version="1.1" viewbox="0 0 5.0124998 9.125" width="5.0124998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 足够大。

2。主要结果

这将是派生的属性(<一个href="#eq1"> )密切与对应的二阶微分方程<年代p一个nclass="equation" id="eq3"> 1 ( ) ( ) + ( ) ( ) = 0 ( ) 下面的定理说。

<年代p一个nclass="statement" id="thm1">定理2.1。<我>让<年代vg height="13.45" id="M42" style="vertical-align:-2.21957pt;width:23.3375px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.3375 13.45" width="23.3375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 是一个积极的解决方案(<一个href="#eq3"> )。然后(<一个href="#eq1"> )可以写成<年代p一个nclass="equation" id="eq4"> 2 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ( ) ) = 0 。 ( )

证明。证明的事实<年代p一个nclass="equation" id="eq5"> 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) = 1 ( ) ( ) + ( ) ( ) 。 ( 2 。 1 )

现在,在续集中,而不是研究性质的三项式方程(<一个href="#eq1"> ),我们将研究行为的二项式方程(<一个href="#eq4"> )。为我们的未来考虑,它是可取的(<一个href="#eq4"> 在规范形式);也就是说,<年代p一个nclass="equation" id="EEq2.1"> ∞ ( ) d = ∞ , ( 2 。 2 ) ∞ ( ) 2 ( ) d = ∞ , ( 2 。 3 ) 因为属性的正则方程很好地探索。

现在,我们将研究正解的属性(<一个href="#eq3"> )识别时(<一个href="#EEq2.1">2.2)- (<一个href="#EEq2.1">2.3)感到满意。以下结果(见,例如,<一个href="#B7">7,<一个href="#B9">9]或[<一个href="#B14">14])是斯图姆比较定理的结果。

<年代p一个nclass="statement" id="lem1">引理2.2。<我>如果<年代p一个nclass="equation" id="EEq2.3"> 2 ( ) 1 ( ) ( ) ≤ 4 , ( 2 。 4 ) 然后(<一个href="#eq3"> )拥有一个积极的解决方案<年代vg height="13.45" id="M56" style="vertical-align:-2.21957pt;width:23.3375px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.3375 13.45" width="23.3375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 。

可以肯定的是,<一个href="#eq3"> )拥有一个积极的解决方案,我们将假定在整个论文(<一个href="#EEq2.3">2.4)持有。下面的结果是显而易见的。

<年代p一个nclass="statement" id="lem2">引理2.3。<我>如果<年代vg height="13.45" id="M58" style="vertical-align:-2.21957pt;width:23.3375px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.3375 13.45" width="23.3375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 是一个积极的解决方案(<一个href="#eq3"> ),然后<年代vg height="15.325" id="M60" style="vertical-align:-2.21957pt;width:54.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 54.875 15.325" width="54.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) > 0 ,<年代vg height="17.4" id="M61" style="vertical-align:-2.21957pt;width:113.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 113.875 17.4" width="113.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ( 1 / ( ) ) ( ) ) < 0 ,更重要的是(<一个href="#EEq2.1">2.2)拥有和存在<年代vg height="11.0625" id="M62" style="vertical-align:-0.30096pt;width:33.8125px;" version="1.1" viewbox="0 0 33.8125 11.0625" width="33.8125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> > 0 这样<年代vg height="13.45" id="M63" style="vertical-align:-2.21957pt;width:76.074997px;" version="1.1" viewbox="0 0 76.074997 13.45" width="76.074997" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) ≤ ( ) 。

现在,我们将展示,如果(<一个href="#eq3"> )建立,我们总是可以选择积极的解决方案<年代vg height="13.45" id="M65" style="vertical-align:-2.21957pt;width:23.3375px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.3375 13.45" width="23.3375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) (<一个href="#eq3"> ),(<一个href="#EEq2.1">2.3)持有。

<年代p一个nclass="statement" id="lem3">引理2.4。<我>如果<年代vg height="14.6" id="M67" style="vertical-align:-3.13504pt;width:29.424999px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.424999 14.6" width="29.424999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 1 ( ) 是一个积极的解决方案(<一个href="#eq3"> ),(<一个href="#EEq2.1">2.3)是违反了<年代p一个nclass="equation" id="eq6"> 2 ( ) = 1 ( ) ∞ 0 ( ) 2 1 ( ) d ( 2 。 5 ) 是另一个积极的解决方案(<一个href="#eq3"> ),对<年代vg height="14.6" id="M71" style="vertical-align:-3.13504pt;width:29.424999px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.424999 14.6" width="29.424999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 ( ) ,(<一个href="#EEq2.1">2.3)持有。

证明。首先请注意,<年代p一个nclass="equation" id="eq7"> 2 ( ) = 1 ( ) 0 ( ) 2 1 ( ) d = − ( ) 1 ( ) 0 1 − 2 ( ) d = − ( ) 2 ( ) 。 ( 2 。 6 ) 因此,<年代vg height="14.6" id="M73" style="vertical-align:-3.13504pt;width:29.424999px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.424999 14.6" width="29.424999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 ( ) 是一个积极的解决方案(<一个href="#eq3"> )。另一方面,保证(<一个href="#EEq2.1">2.3)适用于<年代vg height="14.6" id="M75" style="vertical-align:-3.13504pt;width:29.424999px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.424999 14.6" width="29.424999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 ( ) ,让我们表示<年代vg height="19.450001" id="M76" style="vertical-align:-4.55574pt;width:144px;" version="1.1" viewbox="0 0 144 19.450001" width="144" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∫ ( ) = ∞ ( ) / 2 1 ( ) d 。然后<年代vg height="14.8" id="M77" style="vertical-align:-3.21404pt;width:111.3625px;" version="1.1" viewbox="0 0 111.3625 14.8" width="111.3625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> l 我 米 → ∞ ( ) = 0 和<年代p一个nclass="equation" id="eq8"> ∞ 1 ( ) 2 2 ( ) d = ∞ 1 − ( ) ( ) d = l 我 米 → ∞ 1 − 1 ( ) 1 = ∞ 。 ( 2 。 7 )

结合前题<一个href="#lem1">2.2,<一个href="#lem2">2.3,<一个href="#lem3">2.4,我们得到以下的结果。

<年代p一个nclass="statement" id="lem4">引理2.5。<我>让(<一个href="#EEq2.3">2.4)举行。然后三项式(<一个href="#eq1"> )可以在二项规范形式(<一个href="#eq4"> )。

现在我们可以研究的性质(<一个href="#eq1"> 与帮助的规范化表示()<一个href="#eq4"> )。给我们参考,我们表示为(<一个href="#eq4"> )<年代p一个nclass="equation" id="eq9"> 0 = , 1 1 = 0 , 2 = 2 1 , 3 = 2 。 ( 2 。 8 ) 现在,(<一个href="#eq4"> )可以写成<年代vg height="14.75" id="M86" style="vertical-align:-3.25793pt;width:173.4875px;" version="1.1" viewbox="0 0 173.4875 14.75" width="173.4875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 3 ( ) + ( ) ( ) ( ( ) ) = 0 。

我们提出一个非振动解的结构(<一个href="#eq4"> )。自(<一个href="#eq4"> )是规范形式,它遵循众所周知的引理的Kiguradze(见,例如,<一个href="#B7">7,<一个href="#B9">9,<一个href="#B14">14),每一个非振动解<年代vg height="13.55" id="M89" style="vertical-align:-2.29482pt;width:23.174999px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.174999 13.55" width="23.174999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) (<一个href="#eq4"> )是<我>度0,也就是说,<年代p一个nclass="equation" id="EEq2.4"> 0 ( ) > 0 , 1 ( ) < 0 , 2 ( ) > 0 , 3 ( ) < 0 , ( 2 。 9 ) 或<我>度2,也就是说,<年代p一个nclass="equation" id="EEq2.5"> 0 ( ) > 0 , 1 ( ) > 0 , 2 ( ) > 0 , 3 ( ) < 0 。 ( 2 。 1 0 )

定义2.6。我们说(<一个href="#eq4"> )属性<年代vg height="13.45" id="M94" style="vertical-align:-2.21957pt;width:21.737499px;" version="1.1" viewbox="0 0 21.737499 13.45" width="21.737499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 如果每一个非振动解<年代vg height="13.55" id="M95" style="vertical-align:-2.29482pt;width:23.174999px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.174999 13.55" width="23.174999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 度0;也就是说,它满足(<一个href="#EEq2.4">2.9)。

现在我们确认财产<年代vg height="14.75" id="M96" style="vertical-align:-3.25793pt;width:25.9125px;" version="1.1" viewbox="0 0 25.9125 14.75" width="25.9125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( 0 ) (<一个href="#eq1"> )和财产<年代vg height="13.45" id="M98" style="vertical-align:-2.21957pt;width:21.737499px;" version="1.1" viewbox="0 0 21.737499 13.45" width="21.737499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) (<一个href="#eq4"> )是等价的<年代vg height="13.55" id="M100" style="vertical-align:-2.29482pt;width:23.174999px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.174999 13.55" width="23.174999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 满足(<一个href="#EEq1.1">1.1)当且仅当它遵循(<一个href="#EEq2.4">2.9)。

<年代p一个nclass="statement" id="thm2">定理2.7。<我>让(<一个href="#EEq2.3">2.4)举行。假设<年代vg height="13.45" id="M101" style="vertical-align:-2.21957pt;width:23.3375px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.3375 13.45" width="23.3375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 是一个积极的解决方案(<一个href="#eq3"> )满意(<一个href="#EEq2.1">2.2)- (<一个href="#EEq2.1">2.3)。然后(<一个href="#eq4"> )属性<年代vg height="13.45" id="M104" style="vertical-align:-2.21957pt;width:21.737499px;" version="1.1" viewbox="0 0 21.737499 13.45" width="21.737499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 当且仅当(<一个href="#eq1"> )属性<年代vg height="14.75" id="M106" style="vertical-align:-3.25793pt;width:25.9125px;" version="1.1" viewbox="0 0 25.9125 14.75" width="25.9125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( 0 ) 。

证明。<年代vg height="7.125" id="M107" style="vertical-align:-0.0pt;width:19.8125px;" version="1.1" viewbox="0 0 19.8125 7.125" width="19.8125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> → 我们假设<年代vg height="13.55" id="M108" style="vertical-align:-2.29482pt;width:23.174999px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.174999 13.55" width="23.174999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 是一个积极的解决方案(<一个href="#eq1"> )。我们需要确认<年代vg height="13.575" id="M110" style="vertical-align:-2.29482pt;width:54.900002px;" version="1.1" viewbox="0 0 54.900002 13.575" width="54.900002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ′ ( ) < 0 。自<年代vg height="13.55" id="M111" style="vertical-align:-2.29482pt;width:23.174999px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.174999 13.55" width="23.174999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 也是一个解决方案(<一个href="#eq4"> ),然后它满足(<一个href="#EEq2.4">2.9)。因此,<年代vg height="14.625" id="M113" style="vertical-align:-3.13504pt;width:142.05px;" version="1.1" viewbox="0 0 142.05 14.625" width="142.05" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 0 > 1 ( ) = ′ ( ) / ( ) 。
← 假设<年代vg height="13.55" id="M115" style="vertical-align:-2.29482pt;width:23.174999px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.174999 13.55" width="23.174999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 是一个积极的解决方案(<一个href="#eq4"> )。我们将确认(<一个href="#EEq2.4">2.9)持有。自<年代vg height="13.55" id="M117" style="vertical-align:-2.29482pt;width:23.174999px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.174999 13.55" width="23.174999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 也是一个解决方案(<一个href="#eq1"> ),我们看到<年代vg height="15.4125" id="M119" style="vertical-align:-2.29482pt;width:54.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 54.724998 15.4125" width="54.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) < 0 ;也就是说,<年代vg height="14.6" id="M120" style="vertical-align:-3.13504pt;width:67.537498px;" version="1.1" viewbox="0 0 67.537498 14.6" width="67.537498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 1 ( ) < 0 。它遵循从(<一个href="#eq4"> ),<年代vg height="14.75" id="M122" style="vertical-align:-3.25793pt;width:185.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 185.9375 14.75" width="185.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 3 ( ) = − ( ) ( ) ( ( ) ) < 0 。因此,<年代vg height="14.6" id="M123" style="vertical-align:-3.13504pt;width:40.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 40.337502 14.6" width="40.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 ( ) 是减少的。如果我们承认<年代vg height="14.6" id="M124" style="vertical-align:-3.13504pt;width:67.537498px;" version="1.1" viewbox="0 0 67.537498 14.6" width="67.537498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 ( ) < 0 最终,然后<年代vg height="14.6" id="M125" style="vertical-align:-3.13504pt;width:38.825001px;" version="1.1" viewbox="0 0 38.825001 14.6" width="38.825001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> l 1 ( ) 减少,整合不平等吗<年代vg height="14.6" id="M126" style="vertical-align:-3.13504pt;width:106.025px;" version="1.1" viewbox="0 0 106.025 14.6" width="106.025" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 1 ( ) < 1 ( 1 ) ,我们得到<年代vg height="23.387501" id="M127" style="vertical-align:-6.67126pt;width:254.46249px;" version="1.1" viewbox="0 0 254.46249 23.387501" width="254.46249" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) < ( 1 ) + 1 ( 1 ) ∫ 1 ( ) → − ∞ 作为<年代vg height="9.125" id="M128" style="vertical-align:-0.11285pt;width:47.849998px;" version="1.1" viewbox="0 0 47.849998 9.125" width="47.849998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> → ∞ 。因此,<年代vg height="14.6" id="M129" style="vertical-align:-3.13504pt;width:67.537498px;" version="1.1" viewbox="0 0 67.537498 14.6" width="67.537498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 ( ) > 0 和(<一个href="#EEq2.4">2.9)持有。

以下结果,可以发现在<一个href="#B9">9,<一个href="#B14">14]介绍了属性之间的关系<年代vg height="13.45" id="M130" style="vertical-align:-2.21957pt;width:21.737499px;" version="1.1" viewbox="0 0 21.737499 13.45" width="21.737499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 延迟方程和方程。

<年代p一个nclass="statement" id="thm3">定理2.8。<我>让(<一个href="#EEq2.3">2.4)举行。假设<年代vg height="13.45" id="M131" style="vertical-align:-2.21957pt;width:23.3375px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.3375 13.45" width="23.3375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 是一个积极的解决方案(<一个href="#eq3"> )满意(<一个href="#EEq2.1">2.2)- (<一个href="#EEq2.1">2.3)。让<年代p一个nclass="equation" id="EEq2.6"> ( ) ∈ 1 0 , ∞ , ( ) > 0 。 ( 2 。 1 1 ) 如果<年代p一个nclass="equation" id="eq10"> 2 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) + − 1 ( ) − 1 ( ) − 1 ( ) ( ) = 0 ( 2 ) 有财产<年代vg height="13.45" id="M136" style="vertical-align:-2.21957pt;width:21.737499px;" version="1.1" viewbox="0 0 21.737499 13.45" width="21.737499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) ,然后如此(<一个href="#eq4"> )。

结合定理<一个href="#thm2">2.7和<一个href="#thm3">2.8我们得到一个标准,减少了财产<年代vg height="14.75" id="M138" style="vertical-align:-3.25793pt;width:25.9125px;" version="1.1" viewbox="0 0 25.9125 14.75" width="25.9125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( 0 ) (<一个href="#eq1"> )的属性<年代vg height="13.45" id="M140" style="vertical-align:-2.21957pt;width:21.737499px;" version="1.1" viewbox="0 0 21.737499 13.45" width="21.737499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) (<一个href="#eq10"> 2 )。

<年代p一个nclass="statement" id="coro1">推论2.9。<我>让(<一个href="#EEq2.3">2.4)和(<一个href="#EEq2.6">2.11)举行。假设<年代vg height="13.45" id="M142" style="vertical-align:-2.21957pt;width:23.3375px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.3375 13.45" width="23.3375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 是一个积极的解决方案(<一个href="#eq3"> )满意(<一个href="#EEq2.1">2.2)- (<一个href="#EEq2.1">2.3)。如果(<一个href="#eq10"> 2 )属性<年代vg height="13.45" id="M145" style="vertical-align:-2.21957pt;width:21.737499px;" version="1.1" viewbox="0 0 21.737499 13.45" width="21.737499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 然后(<一个href="#eq1"> )属性<年代vg height="14.75" id="M147" style="vertical-align:-3.25793pt;width:25.9125px;" version="1.1" viewbox="0 0 25.9125 14.75" width="25.9125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( 0 ) 。

使用任何已知的或未来的结果属性<年代vg height="13.45" id="M148" style="vertical-align:-2.21957pt;width:21.737499px;" version="1.1" viewbox="0 0 21.737499 13.45" width="21.737499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) (<一个href="#eq10"> 2 ),然后针对推论<一个href="#coro1">2.9,我们立即获得财产<年代vg height="14.75" id="M150" style="vertical-align:-3.25793pt;width:25.9125px;" version="1.1" viewbox="0 0 25.9125 14.75" width="25.9125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( 0 ) 适用于(<一个href="#eq1"> )。

<年代p一个nclass="statement" id="ex1">例2.10。我们考虑三阶延迟三项式的微分方程<年代p一个nclass="equation" id="EEq2.7"> 1 ( ) + ( 2 − ) 3 ( ) + ( ) ( ( ) ) = 0 , ( 2 。 1 2 ) 在哪里<年代vg height="11.0625" id="M153" style="vertical-align:-0.30096pt;width:63.349998px;" version="1.1" viewbox="0 0 63.349998 11.0625" width="63.349998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 0 < < 1 和<年代vg height="13.45" id="M154" style="vertical-align:-2.21957pt;width:24.6px;" version="1.1" viewbox="0 0 24.6 13.45" width="24.6" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 满足(<一个href="#EEq2.6">2.11)。相应的方程(<一个href="#eq3"> )的形式<年代p一个nclass="equation" id="eq11"> 1 ( ) + ( 2 − ) 3 ( ) = 0 , ( 2 。 1 3 ) 它有一双解决方案<年代vg height="13.9625" id="M157" style="vertical-align:-2.21957pt;width:54.412498px;" version="1.1" viewbox="0 0 54.412498 13.9625" width="54.412498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) = 和<年代vg height="16.5375" id="M158" style="vertical-align:-2.21957pt;width:67.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 67.375 16.5375" width="67.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ̂ ( ) = 2 − 。因此,<年代vg height="13.9625" id="M159" style="vertical-align:-2.21957pt;width:54.412498px;" version="1.1" viewbox="0 0 54.412498 13.9625" width="54.412498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) = 是我们理想的解决方案,它允许重写(<一个href="#EEq2.7">2.12在其规范形式)。然后,通过推论<一个href="#coro1">2.9,(<一个href="#EEq2.7">2.12)属性<年代vg height="14.75" id="M160" style="vertical-align:-3.25793pt;width:25.9125px;" version="1.1" viewbox="0 0 25.9125 14.75" width="25.9125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( 0 ) 如果方程<年代p一个nclass="equation" id="EEq2.8"> 2 − 1 − ( ) + − 1 ( ) − 1 ( ) − 1 ( ) ( ) = 0 ( 2 。 1 4 ) 有财产<年代vg height="13.45" id="M162" style="vertical-align:-2.21957pt;width:21.737499px;" version="1.1" viewbox="0 0 21.737499 13.45" width="21.737499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 。

现在,我们提高我们的结果保证较强的非振动解的渐近行为(<一个href="#eq1"> )。我们强加一个附加条件的系数(<一个href="#eq1"> )来实现,每一个非振动解的解决方案(<一个href="#eq1"> )趋向于零<年代vg height="9.125" id="M166" style="vertical-align:-0.11285pt;width:47.849998px;" version="1.1" viewbox="0 0 47.849998 9.125" width="47.849998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> → ∞ 。

<年代p一个nclass="statement" id="coro2">推论2.11。<我>让(<一个href="#EEq2.3">2.4)和(<一个href="#EEq2.6">2.11)举行。假设<年代vg height="13.45" id="M167" style="vertical-align:-2.21957pt;width:23.3375px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.3375 13.45" width="23.3375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 是一个积极的解决方案(<一个href="#eq3"> )满意(<一个href="#EEq2.1">2.2)- (<一个href="#EEq2.1">2.3)。如果(<一个href="#eq10"> 2 )属性<年代vg height="13.45" id="M170" style="vertical-align:-2.21957pt;width:21.737499px;" version="1.1" viewbox="0 0 21.737499 13.45" width="21.737499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 和<年代p一个nclass="equation" id="EEq2.9"> ∞ 0 3 ∞ 3 2 2 2 ∞ 2 1 1 d 1 d 2 d 3 = ∞ , ( 2 。 1 5 ) 然后每一个非振动解<年代vg height="13.55" id="M172" style="vertical-align:-2.29482pt;width:23.174999px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.174999 13.55" width="23.174999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) (<一个href="#eq1"> )满足(<一个href="#EEq1.2">1.2)。

证明。假设<年代vg height="13.55" id="M174" style="vertical-align:-2.29482pt;width:23.174999px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.174999 13.55" width="23.174999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 是一个积极的解决方案(<一个href="#eq1"> )。然后,它遵循从推论<一个href="#coro1">2.9那<年代vg height="13.575" id="M176" style="vertical-align:-2.29482pt;width:54.900002px;" version="1.1" viewbox="0 0 54.900002 13.575" width="54.900002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ′ ( ) < 0 。因此,<年代vg height="14.8625" id="M177" style="vertical-align:-3.21404pt;width:135.4375px;" version="1.1" viewbox="0 0 135.4375 14.8625" width="135.4375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> l 我 米 → ∞ ( ) = ℓ ≥ 0 。假设<年代vg height="11.2375" id="M178" style="vertical-align:-0.30096pt;width:36.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 36.375 11.2375" width="36.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ℓ > 0 。另一方面,<年代vg height="13.55" id="M179" style="vertical-align:-2.29482pt;width:23.174999px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.174999 13.55" width="23.174999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 也是一个解决方案(<一个href="#eq4"> ),针对定理<一个href="#thm2">2.7,必须的<我>度0;也就是说,(<一个href="#EEq2.4">2.9)是实现。然后,结合(<一个href="#eq4"> )<年代vg height="9.125" id="M182" style="vertical-align:-0.11285pt;width:5.0124998px;" version="1.1" viewbox="0 0 5.0124998 9.125" width="5.0124998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 来<年代vg height="6.8499999" id="M183" style="vertical-align:-0.0pt;width:14.6px;" version="1.1" viewbox="0 0 14.6 6.8499999" width="14.6" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∞ ,我们得到<年代p一个nclass="equation" id="eq12"> 2 ( ) ≥ ∞ ( ) ( ) ( ( ) ) d ≥ ℓ ∞ ( ) ( ) d 。 ( 2 。 1 6 ) 这个不等式乘以<年代vg height="16.5375" id="M185" style="vertical-align:-2.21957pt;width:55.450001px;" version="1.1" viewbox="0 0 55.450001 16.5375" width="55.450001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) / 2 ( ) 然后整合<年代vg height="9.125" id="M186" style="vertical-align:-0.11285pt;width:5.0124998px;" version="1.1" viewbox="0 0 5.0124998 9.125" width="5.0124998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 来<年代vg height="6.8499999" id="M187" style="vertical-align:-0.0pt;width:14.6px;" version="1.1" viewbox="0 0 14.6 6.8499999" width="14.6" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∞ ,我们有<年代p一个nclass="equation" id="eq13"> − 1 ( ) ≥ ℓ ∞ 2 2 2 ∞ 2 1 1 d 1 d 2 。 ( 2 。 1 7 ) 这个乘以<年代vg height="13.45" id="M189" style="vertical-align:-2.21957pt;width:23.3375px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.3375 13.45" width="23.3375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 然后整合<年代vg height="12.8875" id="M190" style="vertical-align:-3.13504pt;width:11.1125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.1125 12.8875" width="11.1125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 1 来<年代vg height="9.125" id="M191" style="vertical-align:-0.11285pt;width:5.0124998px;" version="1.1" viewbox="0 0 5.0124998 9.125" width="5.0124998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ,我们获得<年代p一个nclass="equation" id="eq14"> 1 ≥ ℓ 1 3 ∞ 3 2 2 2 ∞ 2 1 1 d 1 d 2 d 3 ⟶ ∞ 一个 年代 ⟶ ∞ 。 ( 2 。 1 8 ) 这是一个矛盾,我们推断出<年代vg height="11.075" id="M193" style="vertical-align:-0.17555pt;width:36.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 36.375 11.075" width="36.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ℓ = 0 。证明已经完成。

例2.12。我们再次考虑三阶方程(<一个href="#EEq2.7">2.12)。很容易看到,(<一个href="#EEq2.9">2.15)的形式<年代p一个nclass="equation" id="EEq2.10"> ∞ 0 3 ∞ 3 2 1 − 2 ∞ 2 1 1 d 1 d 2 d 3 = ∞ 。 ( 2 。 1 9 ) 然后,通过推论<一个href="#coro2">2.11,每个非振动解的解决方案(<一个href="#EEq2.7">2.12)趋向于零<年代vg height="9.125" id="M195" style="vertical-align:-0.11285pt;width:47.849998px;" version="1.1" viewbox="0 0 47.849998 9.125" width="47.849998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> → ∞ 提供(<一个href="#EEq2.10">2.19)和(<一个href="#EEq2.8">2.14)属性<年代vg height="13.45" id="M196" style="vertical-align:-2.21957pt;width:21.737499px;" version="1.1" viewbox="0 0 21.737499 13.45" width="21.737499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 。

在本文的第二部分中,我们推导出标准使我们能够推断出财产<年代vg height="14.75" id="M197" style="vertical-align:-3.25793pt;width:25.9125px;" version="1.1" viewbox="0 0 25.9125 14.75" width="25.9125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( 0 ) (<一个href="#eq1"> 从合适的二阶微分方程的振荡。田中下面的定理是一个修改的结果<一个href="#B21">21]。

<年代p一个nclass="statement" id="thm4">定理2.13。<我>让(<一个href="#EEq2.3">2.4)和(<一个href="#EEq2.6">2.11)举行。假设<年代vg height="13.45" id="M199" style="vertical-align:-2.21957pt;width:23.3375px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.3375 13.45" width="23.3375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 是一个积极的解决方案(<一个href="#eq3"> )满意(<一个href="#EEq2.1">2.2)- (<一个href="#EEq2.1">2.3)。让<年代p一个nclass="equation" id="EEq2.11"> ∞ ( ) ( ) < ∞ 。 ( 2 。 2 0 ) 如果二阶方程<年代p一个nclass="equation" id="eq15"> 2 ( ) ( ) ( ) + ( ( ) ) ( ) ∞ ( ) ( ) ( ( ) ) = 0 ( 3 ) 振荡,那么(<年代vg height="11.2" id="M204" style="vertical-align:-0.0pt;width:17.924999px;" version="1.1" viewbox="0 0 17.924999 11.2" width="17.924999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> )属性<年代vg height="13.45" id="M205" style="vertical-align:-2.21957pt;width:21.737499px;" version="1.1" viewbox="0 0 21.737499 13.45" width="21.737499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 。

证明。假设<年代vg height="13.55" id="M206" style="vertical-align:-2.29482pt;width:23.174999px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.174999 13.55" width="23.174999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 是一个积极的解决方案(<一个href="#eq4"> ),然后<年代vg height="13.55" id="M208" style="vertical-align:-2.29482pt;width:23.174999px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.174999 13.55" width="23.174999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 不是的<我>度0或<我>度2。假设<年代vg height="13.55" id="M209" style="vertical-align:-2.29482pt;width:23.174999px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.174999 13.55" width="23.174999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 是<我>度2;也就是说,(<一个href="#EEq2.5">2.10)持有。一个集成的<一个href="#eq4"> )的收益率<年代p一个nclass="equation" id="eq16"> 2 ( ) ≥ ∞ ( ) ( ) ( ( ) ) d 。 ( 2 。 2 1 ) 另一方面,<年代p一个nclass="equation" id="eq17"> ( ) ≥ 1 ( ) 1 ( ) d 。 ( 2 。 2 2 ) 结合两个不等式,得到<年代p一个nclass="equation" id="eq18"> 2 ( ) ≥ ∞ ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ≥ ( ) d d ∞ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 = ( ) d d ∞ ( ) 1 ( ) ( ) ∞ − 1 ( ) ( ) ( ) d d 。 ( 2 。 2 3 ) 整合之前的不平等<年代vg height="12.8875" id="M214" style="vertical-align:-3.13504pt;width:11.1125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.1125 12.8875" width="11.1125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 1 来<年代vg height="9.125" id="M215" style="vertical-align:-0.11285pt;width:5.0124998px;" version="1.1" viewbox="0 0 5.0124998 9.125" width="5.0124998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ,我们看到,<年代vg height="14.6" id="M216" style="vertical-align:-3.13504pt;width:87.137497px;" version="1.1" viewbox="0 0 87.137497 14.6" width="87.137497" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) ≡ 1 ( ) 满足<年代p一个nclass="equation" id="EEq2.12"> ( ) ≥ 1 + 1 ( ) 2 ( ) ∞ ( ) 1 ( ) ( ) ∞ − 1 ( ) ( ) ( ) d d d 。 ( 2 。 2 4 ) 表示的右边(<一个href="#EEq2.12">2.24)<年代vg height="13.45" id="M218" style="vertical-align:-2.21957pt;width:23.225px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.225 13.45" width="23.225" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) ,很容易看到<年代vg height="13.45" id="M219" style="vertical-align:-2.21957pt;width:50.424999px;" version="1.1" viewbox="0 0 50.424999 13.45" width="50.424999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) > 0 和<年代p一个nclass="equation" id="eq19"> 0 = 2 ( ) ( ) ( ) + ( ( ) ) ( ) ∞ ≥ ( ) ( ) ( ( ) ) = 0 2 ( ) ( ) ( ) + ( ( ) ) ( ) ∞ ( ) ( ) ( ( ) ) = 0 。 ( 2 。 2 5 ) 定理2 (<一个href="#B14">14),对应的方程(<一个href="#eq15"> 3 )也有一个积极的解决方案。这是一个矛盾。我们得出这样的结论:<年代vg height="13.55" id="M222" style="vertical-align:-2.29482pt;width:23.174999px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.174999 13.55" width="23.174999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 是<我>度0;也就是说,(<一个href="#eq4"> )属性(A)。

如果(<一个href="#EEq2.11">2.20)不持有,那么我们可以使用下面的结果。

<年代p一个nclass="statement" id="thm5">定理2.14。<我>让(<一个href="#EEq2.3">2.4)和(<一个href="#EEq2.6">2.11)举行。假设<年代vg height="13.45" id="M224" style="vertical-align:-2.21957pt;width:23.3375px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.3375 13.45" width="23.3375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 是一个积极的解决方案(<一个href="#eq3"> )满意(<一个href="#EEq2.1">2.2)- (<一个href="#EEq2.1">2.3)。如果<年代p一个nclass="equation" id="EEq2.13"> ∞ ( ) ( ) d = ∞ , ( 2 。 2 6 ) 然后(<一个href="#eq4"> )属性(A)。

证明。假设<年代vg height="13.55" id="M228" style="vertical-align:-2.29482pt;width:23.174999px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.174999 13.55" width="23.174999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 是一个积极的解决方案(<一个href="#eq4"> ),<年代vg height="13.55" id="M230" style="vertical-align:-2.29482pt;width:23.174999px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.174999 13.55" width="23.174999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 是<我>度2。一个集成的<一个href="#eq4"> )的收益率<年代p一个nclass="equation" id="EEq2.14"> 2 1 ≥ 1 ( ) ( ) ( ( ) ) d ≥ 1 1 ( ) ( ) d ⟶ ∞ 一个 年代 ⟶ ∞ , ( 2 。 2 7 ) 这是一个矛盾。因此,<年代vg height="13.55" id="M233" style="vertical-align:-2.29482pt;width:23.174999px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.174999 13.55" width="23.174999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 是<我>度0。证明完成了。

在定理<一个href="#thm4">2.13和推论<一个href="#coro1">2.9考虑在内,我们得到了以下标准属性<年代vg height="14.75" id="M234" style="vertical-align:-3.25793pt;width:25.9125px;" version="1.1" viewbox="0 0 25.9125 14.75" width="25.9125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( 0 ) (<一个href="#eq1"> )。

<年代p一个nclass="statement" id="coro3">推论2.15。<我>让(<一个href="#EEq2.3">2.4),(<一个href="#EEq2.6">2.11)和(<一个href="#EEq2.11">2.20)举行。假设<年代vg height="13.45" id="M236" style="vertical-align:-2.21957pt;width:23.3375px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.3375 13.45" width="23.3375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 是一个积极的解决方案(<一个href="#eq3"> )满意(<一个href="#EEq2.1">2.2)- (<一个href="#EEq2.1">2.3)。如果(<一个href="#eq15"> 3 振荡),那么(<一个href="#eq1"> )属性<年代vg height="14.75" id="M240" style="vertical-align:-3.25793pt;width:25.9125px;" version="1.1" viewbox="0 0 25.9125 14.75" width="25.9125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( 0 ) 。

任何标准申请振荡(<一个href="#eq15"> 3 ),推论<一个href="#coro3">2.15收益率的一个充分条件属性<年代vg height="14.75" id="M242" style="vertical-align:-3.25793pt;width:25.9125px;" version="1.1" viewbox="0 0 25.9125 14.75" width="25.9125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( 0 ) (<一个href="#eq1"> )。

<年代p一个nclass="statement" id="coro4">推论2.16。<我>让(<一个href="#EEq2.3">2.4),(<一个href="#EEq2.6">2.11)和(<一个href="#EEq2.11">2.20)举行。假设<年代vg height="13.45" id="M244" style="vertical-align:-2.21957pt;width:23.3375px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.3375 13.45" width="23.3375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 是一个积极的解决方案(<一个href="#eq3"> )满意(<一个href="#EEq2.1">2.2)- (<一个href="#EEq2.1">2.3)。如果<年代p一个nclass="equation" id="EEq2.16"> l 我 米 我 n f → ∞ ( ) 0 ( ) 2 ( ) ∞ ( ( ) ) ( ) ∞ > 1 ( ) ( ) d d 4 , ( 2 。 2 8 ) 然后(<一个href="#eq1"> )属性<年代vg height="14.75" id="M248" style="vertical-align:-3.25793pt;width:25.9125px;" version="1.1" viewbox="0 0 25.9125 14.75" width="25.9125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( 0 ) 。

证明。它遵循从定理11<一个href="#B9">9]条件(<一个href="#EEq2.16">2.28)担保的振荡(<一个href="#eq15"> 3 )。证据来自推论<一个href="#coro4">2.16。

征收额外的条件的系数(<一个href="#eq1"> ),我们可以获得每个非振动解的解决方案(<一个href="#eq1"> )趋向于零<年代vg height="9.125" id="M252" style="vertical-align:-0.11285pt;width:47.849998px;" version="1.1" viewbox="0 0 47.849998 9.125" width="47.849998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> → ∞ 。

<年代p一个nclass="statement" id="coro5">推论2.17。<我>让(<一个href="#EEq2.3">2.4)和(<一个href="#EEq2.6">2.11)举行。假设<年代vg height="13.45" id="M253" style="vertical-align:-2.21957pt;width:23.3375px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.3375 13.45" width="23.3375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 是一个积极的解决方案(<一个href="#eq3"> )满意(<一个href="#EEq2.1">2.2)- (<一个href="#EEq2.1">2.3)。如果(<一个href="#EEq2.16">2.28)和(<一个href="#EEq2.9">2.15),然后每一个非振动解<年代vg height="13.55" id="M255" style="vertical-align:-2.29482pt;width:23.174999px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.174999 13.55" width="23.174999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) (<一个href="#eq1"> )满足(<一个href="#EEq1.2">1.2)。

例2.18。我们认为(<一个href="#EEq2.7">2.12)。的必然结果<一个href="#coro5">2.17,每个非振动解的解决方案(<一个href="#EEq2.7">2.12)趋向于零<年代vg height="9.125" id="M257" style="vertical-align:-0.11285pt;width:47.849998px;" version="1.1" viewbox="0 0 47.849998 9.125" width="47.849998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> → ∞ 提供(<一个href="#EEq2.10">2.19)持有,<年代p一个nclass="equation" id="eq20"> l 我 米 我 n f → ∞ 2 − 2 ( ) ∞ ( ) ( ) ∞ > ( ) d d 2 − 2 4 。 ( 2 。 2 9 ) 的一种特殊情况(<一个href="#EEq2.7">2.12),即<年代p一个nclass="equation" id="EEq2.17"> 1 ( ) + ( 2 − ) 3 ( ) + 4 ( ) ) = 0 , ( 2 。 3 0 ) 与<年代vg height="11.0625" id="M260" style="vertical-align:-0.30096pt;width:63.349998px;" version="1.1" viewbox="0 0 63.349998 11.0625" width="63.349998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 0 < < 1 ,<年代vg height="11.0625" id="M261" style="vertical-align:-0.30096pt;width:62.987499px;" version="1.1" viewbox="0 0 62.987499 11.0625" width="62.987499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 0 < < 1 ,<年代vg height="11.0625" id="M262" style="vertical-align:-0.30096pt;width:35.174999px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.174999 11.0625" width="35.174999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> > 0 ,我们得到,每一个非振动解的解决方案(<一个href="#EEq2.17">2.30)趋向于零<年代vg height="9.125" id="M263" style="vertical-align:-0.11285pt;width:47.849998px;" version="1.1" viewbox="0 0 47.849998 9.125" width="47.849998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> → ∞ 前提是<年代p一个nclass="equation" id="EEq2.18"> 3 − ( 3 − ) ( 1 − ) 2 > 1 。 ( 2 。 3 1 ) 如果我们将<年代vg height="16.625" id="M265" style="vertical-align:-2.29482pt;width:222.02499px;" version="1.1" viewbox="0 0 222.02499 16.625" width="222.02499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = ( ( + 1 ) ( + 3 ) + ( 2 − ) ] ,在那里<年代vg height="13.55" id="M266" style="vertical-align:-2.29482pt;width:36.049999px;" version="1.1" viewbox="0 0 36.049999 13.55" width="36.049999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> > 0 ,那么这样的一个解决方案(<一个href="#EEq2.7">2.12)是<年代vg height="16.549999" id="M267" style="vertical-align:-2.29482pt;width:61.674999px;" version="1.1" viewbox="0 0 61.674999 16.549999" width="61.674999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) = − 。
另一方面,如果对一些<年代vg height="13.6125" id="M268" style="vertical-align:-2.34499pt;width:112.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 112.9375 13.6125" width="112.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ ( 1 + , 3 − ) 我们有<年代vg height="14.2125" id="M269" style="vertical-align:-2.34499pt;width:253.825px;" version="1.1" viewbox="0 0 253.825 14.2125" width="253.825" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = ( ( − 1 ) ( 3 − ) + ( − 2 ) ] − > 0 ,然后(<一个href="#EEq2.18">2.31)违反,(<一个href="#EEq2.7">2.12)有一个非振动解<年代vg height="14.0625" id="M270" style="vertical-align:-2.29482pt;width:53.637501px;" version="1.1" viewbox="0 0 53.637501 14.0625" width="53.637501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) = 的<我>度2。

3所示。总结

在本文中,我们引入了新的比较定理的调查三阶时滞三项式方程的性质。比较的原则成立于推论<一个href="#coro1">2.9和<一个href="#coro2">2.11使我们能够推断出属性的三项式三阶方程的二项三阶方程。此外,比较定理推论<一个href="#coro3">2.15- - - - - -<一个href="#coro5">2.17允许派生属性的三项式三阶方程从合适的二阶方程的振荡。获得的结果具有较高的通用性,很容易适用,说明合适的例子。

承认

这项研究受到了S.G.A. KEGA 019 - 025 - tuke 4/2010。

引用

  1. b . Baculikova e . m . Elabbasy s . h .猎隼,j . Džurina“振荡三阶非线性微分方程,标准”<我>Mathematica Slovaca,卷。58岁的没有。2、201 - 220年,2008页。

    视图: 出版商的网站<年代p一个nclass="sep">|<一个href="https://scholar.google.com/scholar_lookup?title=Oscillation%20criteria%20for%20third-order%20nonlinear%20differential%20equations&author=B.%20Bacul%C3%ADkov%C3%A1&author=E.%20M.%20Elabbasy&author=S.%20H.%20Saker&author=J.%20D%C5%BEurina&publication_year=2008" target="_blank" rel="noreferrer">谷歌学术搜索<年代p一个nclass="sep">|<一个href="https://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/advanced/?q=an:1174.34052" target="_blank" rel="noreferrer">Zentralblatt数学

  2. b . Baculikova”为二阶非线性微分方程振动标准,”<我>Archivum Mathematicum,42卷,不。2、141 - 149年,2006页。

    视图:     谷歌学术搜索<年代p一个nclass="sep">|<一个href="https://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/advanced/?q=an:1164.34499" target="_blank" rel="noreferrer">Zentralblatt数学

  3. b . Baculikova“振荡第三阶中立型微分方程的某些类,“<我>抽象和应用分析。在出版社。

    视图:     谷歌学术搜索

  4. b . Baculikova和d . Lackova二阶时滞微分方程振动标准”,<我>研究Žilina大学的。数学系列,20卷,不。1,11到18门,2006页。

    视图:     谷歌学术搜索

  5. m . Bartušek m .这套z Došla, m·马里尼“振荡三阶非线性微分方程的偏差参数,“<我>抽象和应用分析文章ID 278962卷,2010年,19页,2010。

    视图:     谷歌学术搜索<年代p一个nclass="sep">|<一个href="https://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/advanced/?q=an:1192.34073" target="_blank" rel="noreferrer">Zentralblatt数学

  6. r·贝尔曼<我>微分方程的稳定性理论美国麦格劳-希尔,纽约,纽约,1953年。

  7. t . a . Chanturija和i t . Kiguradze<我>非自治常微分方程的渐近性质Nauka,莫斯科,俄罗斯,1990年。

  8. j . Džurina”第三阶时滞微分方程的渐近性质,“<我>非线性分析:理论、方法及应用,26卷,不。1,33-39,1996页。

    视图:     出版商的网站<年代p一个nclass="sep">|<一个href="https://scholar.google.com/scholar_lookup?title=Asymptotic%20properties%20of%20the%20third%20order%20delay%20differential%20equations&author=J.%20D%C5%BEurina&publication_year=1996" target="_blank" rel="noreferrer">谷歌学术搜索<年代p一个nclass="sep">|<一个href="https://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/advanced/?q=an:0840.34076" target="_blank" rel="noreferrer">Zentralblatt数学

  9. j . Džurina“非线性常微分方程的比较定理,”<我>Mathematica Slovaca,42卷,不。3、299 - 315年,1992页。

    视图:     谷歌学术搜索

  10. j . Džurina和r . Kotorova”属性的三阶三项式时滞微分方程参数,“<我>非线性分析:理论、方法及应用,卷71,不。5 - 6,1995 - 2002年,2009页。

    视图:     出版商的网站<年代p一个nclass="sep">|<一个href="https://scholar.google.com/scholar_lookup?title=Properties%20of%20the%20third%20order%20trinomial%20differential%20equations%20with%20delay%20argument&author=J.%20D%C5%BEurina&author=R.%20Kotorov%C3%A1&publication_year=2009" target="_blank" rel="noreferrer">谷歌学术搜索<年代p一个nclass="sep">|<一个href="https://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/advanced/?q=an:1173.34348" target="_blank" rel="noreferrer">Zentralblatt数学

  11. l . Erbe“振荡解的存在性和渐近行为一类三阶线性微分方程,”<我>太平洋数学杂志,卷64,不。2、369 - 385年,1976页。

    视图:     谷歌学术搜索<年代p一个nclass="sep">|<一个href="https://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/advanced/?q=an:0339.34030" target="_blank" rel="noreferrer">Zentralblatt数学

  12. p•哈特曼<我>常微分方程约翰·威利& Sons,纽约,纽约,美国,1964年。

  13. g·d·琼斯”解的渐近性<米一个th id="M177" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> y<米我>′′′<米o> + p<米row> ( x<米o stretchy="false"> ) y<米o> ′ + 问<米row> ( x<米o stretchy="false"> ) y<米o> = 0 ”,<我>太平洋数学杂志47卷,第138 - 135页,1973年。

    视图:     谷歌学术搜索<年代p一个nclass="sep">|<一个href="https://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/advanced/?q=an:0264.34040" target="_blank" rel="noreferrer">Zentralblatt数学

  14. t . Kusano和m . Naito”与偏差变元泛函微分方程的比较定理,”<我>日本数学学会杂志》上,33卷,不。3、509 - 532年,1981页。

    视图:     出版商的网站<年代p一个nclass="sep">|<一个href="https://scholar.google.com/scholar_lookup?title=Comparison%20theorems%20for%20functional-differential%20equations%20with%20deviating%20arguments&author=T.%20Kusano&author=M.%20Naito&publication_year=1981" target="_blank" rel="noreferrer">谷歌学术搜索<年代p一个nclass="sep">|<一个href="https://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/advanced/?q=an:0494.34049" target="_blank" rel="noreferrer">Zentralblatt数学

  15. t . Kusano m . Naito, k .田中“振荡和渐近行为的解决方案的一类线性常微分方程,”<我>爱丁堡皇家学会学报》上,卷90,不。1 - 2,批准,1981页。

    视图:     谷歌学术搜索<年代p一个nclass="sep">|<一个href="https://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/advanced/?q=an:0486.34021" target="_blank" rel="noreferrer">Zentralblatt数学

  16. 雷泽,a·c·“微分方程的解决方案的行为<米一个th id="M178" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> y<米我>′′′<米o> + p<米row> ( x<米o stretchy="false"> ) y<米o> ′ + 问<米row> ( x<米o stretchy="false"> ) y<米o> = 0 ”,<我>太平洋数学杂志,17卷,第466 - 435页,1966年。

    视图:     谷歌学术搜索<年代p一个nclass="sep">|<一个href="https://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/advanced/?q=an:0143.31501" target="_blank" rel="noreferrer">Zentralblatt数学

  17. w·e·Mahfoud”为延迟微分方程的比较定理,<我>太平洋数学杂志,卷83,不。1,第197 - 187页,1979。

    视图:     谷歌学术搜索<年代p一个nclass="sep">|<一个href="https://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/advanced/?q=an:0441.34053" target="_blank" rel="noreferrer">Zentralblatt数学

  18. n Parhi和美国Padhi三阶时滞微分方程的渐近行为,”<我>非线性分析:理论、方法及应用,34卷,不。3、391 - 403年,1998页。

    视图:     出版商的网站<年代p一个nclass="sep">|<一个href="https://scholar.google.com/scholar_lookup?title=On%20asymptotic%20behavior%20of%20delay-differential%20equations%20of%20third%20order&author=N.%20Parhi&author=S.%20Padhi&publication_year=1998" target="_blank" rel="noreferrer">谷歌学术搜索<年代p一个nclass="sep">|<一个href="https://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/advanced/?q=an:0935.34063" target="_blank" rel="noreferrer">Zentralblatt数学

  19. n Parhi和美国Padhi第三阶时滞微分方程解的渐近行为,”<我>印度的纯粹和应用数学杂志》上,33卷,不。10日,1609 - 1620年,2002页。

    视图:     谷歌学术搜索<年代p一个nclass="sep">|<一个href="https://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/advanced/?q=an:1025.34068" target="_blank" rel="noreferrer">Zentralblatt数学

  20. a .Škerlik“积分标准为三阶线性微分方程的振荡,”<我>Mathematica Slovaca,45卷,不。4、403 - 412年,1995页。

    视图:     谷歌学术搜索<年代p一个nclass="sep">|<一个href="https://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/advanced/?q=an:0855.34038" target="_blank" rel="noreferrer">Zentralblatt数学

  21. k .田中“奇数阶常微分方程的渐近分析,“<我>广岛数学杂志,10卷,不。2、391 - 408年,1980页。

    视图:     谷歌学术搜索<年代p一个nclass="sep">|<一个href="https://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/advanced/?q=an:0453.34033" target="_blank" rel="noreferrer">Zentralblatt数学

  22. w·f·沟”,规范的形式和主要系统一般disconjugate方程,”<我>事务的美国数学学会卷,189年,第327 - 319页,1973年。

    视图:     谷歌学术搜索
版权©2011 j . Džurina和r . Komarikova。这是一个开放的分布式下文章<一个rel="license" href="http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/">知识共享归属许可,它允许无限制的使用、分配和复制在任何媒介,提供最初的工作是正确引用。