我们现在一些单调性、凸性和不平等的Agard失真函数<年代vg height="14.6" id="M1" style="vertical-align:-3.13504pt;width:33.075001px;" version="1.1" viewbox="0 0 33.075001 14.6" width="33.075001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
和改善一些著名的结果。
1。介绍
为<年代vg height="13.125" id="M2" style="vertical-align:-1.95624pt;width:58.4375px;" version="1.1" viewbox="0 0 58.4375 13.125" width="58.4375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
0
,
1
]
Lengedre完全椭圆积分的第一和第二种<一个href="#B1">1一个>)是由<年代pan class="equation" id="EEq1.1">
=
(
)
=
0
/
2
1
−
2
年代
我
n
2
−
1
/
2
,
(
)
=
,
(
0
)
=
2
,
(
1
)
=
∞
,
(
1
。
1
)
ℰ
=
ℰ
(
)
=
0
/
2
1
−
2
年代
我
n
2
1
/
2
ℰ
,
(
)
=
ℰ
,
ℰ
(
0
)
=
2
,
ℰ
(
1
)
=
1
,
(
1
。
2
)
分别。接下来,我们组<年代vg height="20.4125" id="M5" style="vertical-align:-2.10545pt;width:82.675003px;" version="1.1" viewbox="0 0 82.675003 20.4125" width="82.675003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
√
1
−
2
。
让<年代vg height="13.55" id="M6" style="vertical-align:-2.29482pt;width:26.424999px;" version="1.1" viewbox="0 0 26.424999 13.55" width="26.424999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
的模量计划Grotzsch戒指<年代vg height="17.450001" id="M7" style="vertical-align:-2.78387pt;width:62.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 62.875 17.450001" width="62.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
2
⧵
(
0
,
]
为<年代vg height="13.45" id="M8" style="vertical-align:-2.21957pt;width:58.4375px;" version="1.1" viewbox="0 0 58.4375 13.45" width="58.4375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
0
,
1
)
,在那里<年代vg height="13.9875" id="M9" style="vertical-align:-0.0pt;width:16.637501px;" version="1.1" viewbox="0 0 16.637501 13.9875" width="16.637501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
2
是单位圆盘。然后,它遵循从[<一个href="#B2">2一个>),
(
)
=
2
(
)
(
)
。
(
1
。
3
)
为<年代vg height="13.45" id="M11" style="vertical-align:-2.21957pt;width:70.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 70.625 13.45" width="70.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
0
,
∞
)
,Hersch-Pfluger失真函数<年代vg height="14.6" id="M12" style="vertical-align:-3.13504pt;width:37.150002px;" version="1.1" viewbox="0 0 37.150002 14.6" width="37.150002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
被定义为<年代pan class="equation" id="EEq1.4">
(
)
=
−
1
(
)
f
o
r
∈
(
0
,
1
)
,
(
0
)
=
(
1
)
−
1
=
0
,
(
1
。
4
)
虽然Agard失真函数<年代vg height="14.6" id="M14" style="vertical-align:-3.13504pt;width:33.075001px;" version="1.1" viewbox="0 0 33.075001 14.6" width="33.075001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
和线性失真函数<年代vg height="13.45" id="M15" style="vertical-align:-2.21957pt;width:30.9px;" version="1.1" viewbox="0 0 30.9 13.45" width="30.9" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
是由<年代pan class="equation" id="EEq1.5">
(
)
=
(
)
1
/
(
)
,
(
)
=
(
1
)
,
=
1
+
∈
(
0
,
∞
)
,
(
1
。
5
)
分别。
众所周知,功能<年代vg height="14.6" id="M17" style="vertical-align:-3.13504pt;width:33.075001px;" version="1.1" viewbox="0 0 33.075001 14.6" width="33.075001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
和<年代vg height="13.45" id="M18" style="vertical-align:-2.21957pt;width:30.9px;" version="1.1" viewbox="0 0 30.9 13.45" width="30.9" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
扮演非常重要的角色在共理论中,quasiregular理论,以及其他一些相关领域(<一个href="#B3">3一个>- - - - - -<一个href="#B8">8一个>]。例如,马丁[<一个href="#B8">8一个>)发现,肖特基的大幅上界定理可以表达的<年代vg height="14.6" id="M19" style="vertical-align:-3.13504pt;width:33.075001px;" version="1.1" viewbox="0 0 33.075001 14.6" width="33.075001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
,在(<一个href="#B9">9一个>- - - - - -<一个href="#B15">15一个>]作者建立了一个数量的显著属性Agard失真函数<年代vg height="14.6" id="M20" style="vertical-align:-3.13504pt;width:33.075001px;" version="1.1" viewbox="0 0 33.075001 14.6" width="33.075001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
。
在[<一个href="#B14">14一个>),作者证明了这一点<年代pan class="equation" id="EEq1.6">
(
−
1
)
<
(
)
<
(
−
1
)
,
(
1
。
6
)
(
−
1
/
)
<
(
)
<
(
−
1
/
)
(
1
。
7
)
对所有<年代vg height="13.45" id="M23" style="vertical-align:-2.21957pt;width:70.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 70.625 13.45" width="70.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
1
,
∞
)
,在那里<年代vg height="20.4125" id="M24" style="vertical-align:-2.55817pt;width:209.3875px;" version="1.1" viewbox="0 0 209.3875 20.4125" width="209.3875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
=
(
4
/
)
(
1
/
2
)
2
=
4
。
3
7
6
8
…
,<年代vg height="10.9125" id="M25" style="vertical-align:-0.17555pt;width:46.862499px;" version="1.1" viewbox="0 0 46.862499 10.9125" width="46.862499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
/
2
。最近,安德森et al。<一个href="#B15">15一个>),
(
)
<
(
+
/
)
(
−
1
)
,
(
1
。
8
)
(
l
o
g
2
+
(
−
l
o
g
2
)
/
]
(
−
1
)
<
(
)
<
(
+
(
−
l
o
g
2
)
/
]
(
−
1
)
(
1
。
9
)
对所有<年代vg height="13.45" id="M28" style="vertical-align:-2.21957pt;width:70.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 70.625 13.45" width="70.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
1
,
∞
)
,在那里<年代vg height="7.1750002" id="M29" style="vertical-align:-0.1254pt;width:7.9749999px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.9749999 7.1750002" width="7.9749999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
和<年代vg height="10.7375" id="M30" style="vertical-align:-0.13794pt;width:7.4749999px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.4749999 10.7375" width="7.4749999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
被定义为在不平等(<一个href="#EEq1.6">1.6一个>)和(<一个href="#EEq1.6">1.7一个>),分别。
本文的目的是提出新的单调性,Agard失真函数凸性和不平等<年代vg height="14.6" id="M31" style="vertical-align:-3.13504pt;width:33.075001px;" version="1.1" viewbox="0 0 33.075001 14.6" width="33.075001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
和改善不平等(<一个href="#EEq1.6">1.6一个>)- (<一个href="#EEq1.8">1.9一个>)。
我们的主要结果是定理<一个href="#thm1.1">1.1一个>和<一个href="#thm1.2">1.2一个>如下。
定理1.1。年代pan>让<年代vg height="13.45" id="M32" style="vertical-align:-2.21957pt;width:70.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 70.625 13.45" width="70.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
1
,
∞
)
,<年代vg height="20.4125" id="M33" style="vertical-align:-2.55817pt;width:209.3875px;" version="1.1" viewbox="0 0 209.3875 20.4125" width="209.3875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
=
(
4
/
)
(
1
/
2
)
2
=
4
。
3
7
6
8
…
,<年代vg height="10.9125" id="M34" style="vertical-align:-0.17555pt;width:46.862499px;" version="1.1" viewbox="0 0 46.862499 10.9125" width="46.862499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
/
2
,<年代vg height="10.8875" id="M35" style="vertical-align:-0.33858pt;width:37.674999px;" version="1.1" viewbox="0 0 37.674999 10.8875" width="37.674999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
ℝ
。然后,下面的陈述是真实的。我><年代pan class="list">(1)年代pan>
(
)
=
(
)
/
是严格增加从<年代vg height="13.45" id="M37" style="vertical-align:-2.21957pt;width:39.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.337502 13.45" width="39.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
,
∞
)
到<年代vg height="13.45" id="M38" style="vertical-align:-2.21957pt;width:39.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.337502 13.45" width="39.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
,
∞
)
为<年代vg height="11.25" id="M39" style="vertical-align:-1.29163pt;width:33.849998px;" version="1.1" viewbox="0 0 33.849998 11.25" width="33.849998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
≤
;如果<年代vg height="8.8500004" id="M40" style="vertical-align:-0.30096pt;width:33.849998px;" version="1.1" viewbox="0 0 33.849998 8.8500004" width="33.849998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
>
,然后存在<年代vg height="14.75" id="M41" style="vertical-align:-3.25793pt;width:76.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 76.724998 14.75" width="76.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
∈
(
1
,
∞
)
,这样<年代vg height="13.4875" id="M42" style="vertical-align:-2.34499pt;width:10.675px;" version="1.1" viewbox="0 0 10.675 13.4875" width="10.675" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
严格递减<年代vg height="14.75" id="M43" style="vertical-align:-3.25793pt;width:42.862499px;" version="1.1" viewbox="0 0 42.862499 14.75" width="42.862499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
,
0
)
并严格增加<年代vg height="14.75" id="M44" style="vertical-align:-3.25793pt;width:49.525002px;" version="1.1" viewbox="0 0 49.525002 14.75" width="49.525002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
0
,
∞
)
。特别是,不平等<年代vg height="13.9625" id="M45" style="vertical-align:-2.21957pt;width:69.150002px;" version="1.1" viewbox="0 0 69.150002 13.9625" width="69.150002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
≥
适用于所有<年代vg height="13.45" id="M46" style="vertical-align:-2.21957pt;width:70.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 70.625 13.45" width="70.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
1
,
∞
)
与最好的常数<年代vg height="7.1875" id="M47" style="vertical-align:-0.13794pt;width:33.849998px;" version="1.1" viewbox="0 0 33.849998 7.1875" width="33.849998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
。我>年代pan> (2)年代pan>
(
)
=
(
l
o
g
(
)
−
l
o
g
]
/
(
−
1
)
是凸的<年代vg height="13.45" id="M49" style="vertical-align:-2.21957pt;width:39.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.337502 13.45" width="39.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
,
∞
)
固定<年代vg height="13.45" id="M50" style="vertical-align:-2.21957pt;width:63.612499px;" version="1.1" viewbox="0 0 63.612499 13.45" width="63.612499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
0
,
∞
)
。我>年代pan> (3)年代pan>如果<年代vg height="12.3" id="M51" style="vertical-align:-1.29163pt;width:32.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.224998 12.3" width="32.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
≥
1
和<年代vg height="20.4125" id="M52" style="vertical-align:-3.66795pt;width:90.400002px;" version="1.1" viewbox="0 0 90.400002 20.4125" width="90.400002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
=
/
(
1
+
)
,然后<年代vg height="14.7125" id="M53" style="vertical-align:-3.13504pt;width:235.5px;" version="1.1" viewbox="0 0 235.5 14.7125" width="235.5" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
ℎ
(
)
=
(
l
o
g
(
)
−
l
o
g
]
/
(
−
1
/
)
是严格增加从<年代vg height="13.45" id="M54" style="vertical-align:-2.21957pt;width:39.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.337502 13.45" width="39.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
,
∞
)
到<年代vg height="15.7125" id="M55" style="vertical-align:-2.21957pt;width:191.46249px;" version="1.1" viewbox="0 0 191.46249 15.7125" width="191.46249" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
2
(
)
(
)
/
,
(
)
/
(
)
)
。我>年代pan>
定理1.2。年代pan>让<年代vg height="13.45" id="M56" style="vertical-align:-2.21957pt;width:63.612499px;" version="1.1" viewbox="0 0 63.612499 13.45" width="63.612499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
0
,
∞
)
,<年代vg height="20.4125" id="M57" style="vertical-align:-3.66795pt;width:90.400002px;" version="1.1" viewbox="0 0 90.400002 20.4125" width="90.400002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
=
/
(
1
+
)
,<年代vg height="20.4125" id="M58" style="vertical-align:-2.55817pt;width:179.425px;" version="1.1" viewbox="0 0 179.425 20.4125" width="179.425" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
=
(
4
/
)
(
1
/
2
)
2
,
=
/
2
,<年代vg height="16.637501" id="M59" style="vertical-align:-2.29482pt;width:111.975px;" version="1.1" viewbox="0 0 111.975 16.637501" width="111.975" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
=
2
/
(
2
(
)
)
,<年代vg height="18.612499" id="M60" style="vertical-align:-2.21957pt;width:256.41251px;" version="1.1" viewbox="0 0 256.41251 18.612499" width="256.41251" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
=
8
(
)
(
)
2
(
ℰ
(
)
−
2
(
)
]
/
2
,<年代vg height="14.825" id="M61" style="vertical-align:-3.2316pt;width:272.04999px;" version="1.1" viewbox="0 0 272.04999 14.825" width="272.04999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
=
(
(
l
o
g
(
)
−
l
o
g
)
/
(
−
1
)
−
]
。然后,下面的陈述是真实的。我><年代pan class="list">(1)年代pan>
(
)
是严格递减的<年代vg height="13.45" id="M63" style="vertical-align:-2.21957pt;width:39.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.337502 13.45" width="39.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
,
∞
)
到<年代vg height="13.625" id="M64" style="vertical-align:-2.21957pt;width:157.64999px;" version="1.1" viewbox="0 0 157.64999 13.625" width="157.64999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
−
∞
,
4
(
)
′
(
)
/
−
)
为<年代vg height="13.45" id="M65" style="vertical-align:-2.21957pt;width:53.987499px;" version="1.1" viewbox="0 0 53.987499 13.45" width="53.987499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
>
(
)
。如果<年代vg height="13.45" id="M66" style="vertical-align:-2.21957pt;width:53.987499px;" version="1.1" viewbox="0 0 53.987499 13.45" width="53.987499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
(
)
,然后<年代vg height="14.7125" id="M67" style="vertical-align:-3.2316pt;width:37.8125px;" version="1.1" viewbox="0 0 37.8125 14.7125" width="37.8125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
是严格递减的<年代vg height="13.45" id="M68" style="vertical-align:-2.21957pt;width:39.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.337502 13.45" width="39.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
,
∞
)
到<年代vg height="16.35" id="M69" style="vertical-align:-2.73372pt;width:290.58749px;" version="1.1" viewbox="0 0 290.58749 16.35" width="290.58749" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
(
)
−
4
l
o
g
2
−
l
o
g
,
4
(
)
(
)
/
−
(
)
)
。此外,<年代pan class="equation" id="EEq1.10">
(
−
1
)
(
(
)
+
(
(
(
)
−
4
l
o
g
2
−
l
o
g
)
/
)
)
<
(
)
<
(
−
1
)
(
(
)
+
(
(
4
(
)
′
(
)
/
−
(
)
)
/
)
)
(
1
。
1
0
)
对所有<年代vg height="13.45" id="M71" style="vertical-align:-2.21957pt;width:63.612499px;" version="1.1" viewbox="0 0 63.612499 13.45" width="63.612499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
0
,
∞
)
和<年代vg height="13.45" id="M72" style="vertical-align:-2.21957pt;width:70.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 70.625 13.45" width="70.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
1
,
∞
)
。特别是,如果<年代vg height="10.825" id="M73" style="vertical-align:-0.11285pt;width:32.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.224998 10.825" width="32.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
1
,然后(<一个href="#EEq1.10">1.10一个>)成为<年代pan class="equation" id="EEq1.11">
(
−
1
)
(
+
(
(
−
4
l
o
g
2
)
/
)
)
<
(
)
<
(
−
1
)
(
+
(
(
−
)
/
)
)
。
(
1
。
1
1
)
(2)年代pan>如果<年代vg height="13.45" id="M75" style="vertical-align:-2.21957pt;width:53.662498px;" version="1.1" viewbox="0 0 53.662498 13.45" width="53.662498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
≤
(
)
,然后<年代vg height="14.7125" id="M76" style="vertical-align:-3.2316pt;width:37.8125px;" version="1.1" viewbox="0 0 37.8125 14.7125" width="37.8125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
是严格增加从<年代vg height="13.45" id="M77" style="vertical-align:-2.21957pt;width:39.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.337502 13.45" width="39.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
,
∞
)
到<年代vg height="15.7125" id="M78" style="vertical-align:-2.21957pt;width:146.77499px;" version="1.1" viewbox="0 0 146.77499 15.7125" width="146.77499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
4
(
)
(
)
/
−
,
∞
)
。此外,<年代pan class="equation" id="EEq1.12">
(
)
>
(
−
1
)
(
(
)
+
(
(
4
(
)
′
(
)
/
−
(
)
)
/
)
)
(
1
。
1
2
)
对所有<年代vg height="13.45" id="M80" style="vertical-align:-2.21957pt;width:63.612499px;" version="1.1" viewbox="0 0 63.612499 13.45" width="63.612499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
0
,
∞
)
和<年代vg height="13.45" id="M81" style="vertical-align:-2.21957pt;width:70.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 70.625 13.45" width="70.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
1
,
∞
)
。特别是,如果<年代vg height="10.825" id="M82" style="vertical-align:-0.11285pt;width:32.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.224998 10.825" width="32.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
1
,然后(<一个href="#EEq1.12">1.12一个>)成为<年代pan class="equation" id="EEq1.13">
(
)
>
(
−
1
)
(
+
(
/
)
)
=
(
−
(
1
/
)
)
。
(
1
。
1
3
)
(3)年代pan>如果<年代vg height="13.45" id="M84" style="vertical-align:-2.21957pt;width:101.0375px;" version="1.1" viewbox="0 0 101.0375 13.45" width="101.0375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
<
<
(
)
,然后存在<年代vg height="14.6" id="M85" style="vertical-align:-3.13504pt;width:76.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 76.724998 14.6" width="76.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
∈
(
1
,
∞
)
这样<年代vg height="14.7125" id="M86" style="vertical-align:-3.2316pt;width:37.8125px;" version="1.1" viewbox="0 0 37.8125 14.7125" width="37.8125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
是严格递减上<年代vg height="14.6" id="M87" style="vertical-align:-3.13504pt;width:42.862499px;" version="1.1" viewbox="0 0 42.862499 14.6" width="42.862499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
,
1
)
和严格的增加<年代vg height="14.6" id="M88" style="vertical-align:-3.13504pt;width:49.525002px;" version="1.1" viewbox="0 0 49.525002 14.6" width="49.525002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
,
∞
)
。我>年代pan> (4)年代pan>
(
)
是凸的<年代vg height="13.45" id="M90" style="vertical-align:-2.21957pt;width:39.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.337502 13.45" width="39.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
,
∞
)
。我>年代pan>
2。前题
为了证明我们的主要结果,我们需要一些公式和前题,我们在这一节中。
下面的公式提出了在<一个href="#B14">14一个>附录E,页474 - 475)。让<年代vg height="13.45" id="M91" style="vertical-align:-2.21957pt;width:63.612499px;" version="1.1" viewbox="0 0 63.612499 13.45" width="63.612499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
0
,
∞
)
,<年代vg height="13.45" id="M92" style="vertical-align:-2.21957pt;width:75.837502px;" version="1.1" viewbox="0 0 75.837502 13.45" width="75.837502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
0
,
∞
)
,<年代vg height="20.4125" id="M93" style="vertical-align:-3.66795pt;width:142.33749px;" version="1.1" viewbox="0 0 142.33749 20.4125" width="142.33749" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
=
/
(
1
+
)
∈
(
0
,
1
)
,<年代vg height="14.6" id="M94" style="vertical-align:-3.13504pt;width:63.412498px;" version="1.1" viewbox="0 0 63.412498 14.6" width="63.412498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
(
)
。然后,<年代pan class="equation" id="eq1">
(
)
=
ℰ
(
)
−
2
(
)
2
,
ℰ
(
)
=
ℰ
(
)
−
(
)
,
(
)
ℰ
(
)
+
(
)
ℰ
(
)
−
(
)
(
)
=
2
,
(
)
=
−
2
4
2
(
)
2
,
=
2
(
)
(
)
2
(
)
,
(
)
=
2
2
(
)
(
)
,
(
)
2
+
1
/
2
=
1
,
(
)
=
2
,
(
)
=
4
(
)
(
)
2
(
)
=
(
)
(
)
2
(
)
。
(
2
。
1
)
引理2.1(见[<一个href="#B14">14一个>定理1.25])。年代pan>为<年代vg height="10.9375" id="M96" style="vertical-align:-0.30096pt;width:113.1375px;" version="1.1" viewbox="0 0 113.1375 10.9375" width="113.1375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
−
∞
<
<
<
∞
,让<年代vg height="13.4875" id="M97" style="vertical-align:-2.34499pt;width:111.825px;" version="1.1" viewbox="0 0 111.825 13.4875" width="111.825" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,
∶
(
,
]
→
ℝ
上是连续的<年代vg height="13" id="M98" style="vertical-align:-1.95624pt;width:32.237499px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.237499 13" width="32.237499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
,
]
和可微的<年代vg height="13.45" id="M99" style="vertical-align:-2.21957pt;width:32.237499px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.237499 13.45" width="32.237499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
,
)
,让<年代vg height="15.475" id="M100" style="vertical-align:-2.34499pt;width:55.512501px;" version="1.1" viewbox="0 0 55.512501 15.475" width="55.512501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
≠
0
在<年代vg height="13.45" id="M101" style="vertical-align:-2.21957pt;width:32.237499px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.237499 13.45" width="32.237499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
,
)
。如果<年代vg height="15.5625" id="M102" style="vertical-align:-2.34499pt;width:70.025002px;" version="1.1" viewbox="0 0 70.025002 15.5625" width="70.025002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
/
(
)
增加(减少)<年代vg height="13.45" id="M103" style="vertical-align:-2.21957pt;width:32.237499px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.237499 13.45" width="32.237499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
,
)
,那么是我><年代pan class="equation" id="eq2">
(
)
−
(
)
,
(
)
−
(
)
(
)
−
(
)
(
)
−
(
)
。
(
2
。
2
)
如果<年代vg height="15.5625" id="M105" style="vertical-align:-2.34499pt;width:70.025002px;" version="1.1" viewbox="0 0 70.025002 15.5625" width="70.025002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
/
(
)
严格单调,单调性的结论也是严格的。我>年代pan>
(可以找到下面的引理<一个href="#B14">14一个>定理3.21(1)和(7),引理3.32(1)和定理5.13 (2)]。
引理2.2。年代pan>(1)<年代vg height="16.775" id="M106" style="vertical-align:-2.21957pt;width:123.05px;" version="1.1" viewbox="0 0 123.05 16.775" width="123.05" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
ℰ
(
)
−
′
2
(
)
]
/
2
是严格增加从<年代vg height="13.45" id="M107" style="vertical-align:-2.21957pt;width:32.674999px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.674999 13.45" width="32.674999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
0
,
1
)
到<年代vg height="13.45" id="M108" style="vertical-align:-2.21957pt;width:46.525002px;" version="1.1" viewbox="0 0 46.525002 13.45" width="46.525002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
/
4
,
1
)
;我>(2)<年代vg height="14.2125" id="M109" style="vertical-align:-2.21957pt;width:49.287498px;" version="1.1" viewbox="0 0 49.287498 14.2125" width="49.287498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
′
(
)
是严格递减的<年代vg height="13.45" id="M110" style="vertical-align:-2.21957pt;width:32.674999px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.674999 13.45" width="32.674999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
0
,
1
)
到<年代vg height="13.45" id="M111" style="vertical-align:-2.21957pt;width:46.525002px;" version="1.1" viewbox="0 0 46.525002 13.45" width="46.525002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
0
,
/
2
)
当且仅当<年代vg height="12.3" id="M112" style="vertical-align:-1.29163pt;width:45.974998px;" version="1.1" viewbox="0 0 45.974998 12.3" width="45.974998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
≥
1
/
2
;我>(3)<年代vg height="13.625" id="M113" style="vertical-align:-2.21957pt;width:69.75px;" version="1.1" viewbox="0 0 69.75 13.625" width="69.75" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
′
(
)
严格递减<年代vg height="20.4125" id="M114" style="vertical-align:-2.55817pt;width:59.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 59.337502 20.4125" width="59.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
(
0
,
2
/
2
)
并严格增加<年代vg height="20.4125" id="M115" style="vertical-align:-2.55817pt;width:59.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 59.337502 20.4125" width="59.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
√
2
/
2
,
1
)
;我>(4)<年代vg height="14.2" id="M116" style="vertical-align:-2.73372pt;width:75.637497px;" version="1.1" viewbox="0 0 75.637497 14.2" width="75.637497" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
+
l
o
g
是严格递减的<年代vg height="13.45" id="M117" style="vertical-align:-2.21957pt;width:32.674999px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.674999 13.45" width="32.674999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
0
,
1
)
到<年代vg height="14.2" id="M118" style="vertical-align:-2.73372pt;width:57.862499px;" version="1.1" viewbox="0 0 57.862499 14.2" width="57.862499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
0
,
l
o
g
4
)
。我>年代pan>
引理2.3。年代pan>让<年代vg height="20.4125" id="M119" style="vertical-align:-2.55817pt;width:85.099998px;" version="1.1" viewbox="0 0 85.099998 20.4125" width="85.099998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
∈
(
1
/
2
,
1
)
,<年代vg height="13.45" id="M120" style="vertical-align:-2.21957pt;width:70.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 70.625 13.45" width="70.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
1
,
∞
)
,<年代vg height="14.6" id="M121" style="vertical-align:-3.13504pt;width:63.412498px;" version="1.1" viewbox="0 0 63.412498 14.6" width="63.412498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
(
)
。然后,<年代vg height="16.9" id="M122" style="vertical-align:-2.29482pt;width:241.89999px;" version="1.1" viewbox="0 0 241.89999 16.9" width="241.89999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
≡
{
/
(
2
(
)
]
}
2
+
(
(
)
/
′
(
)
]
2
是严格递减的<年代vg height="13.45" id="M123" style="vertical-align:-2.21957pt;width:39.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.337502 13.45" width="39.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
,
∞
)
到<年代vg height="16.75" id="M124" style="vertical-align:-2.21957pt;width:180.0125px;" version="1.1" viewbox="0 0 180.0125 16.75" width="180.0125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
′
(
)
2
/
(
)
2
,
2
/
(
2
(
)
2
]
)
。我>年代pan>
证明。我>年代pan>很明显<年代vg height="16.75" id="M125" style="vertical-align:-2.21957pt;width:134.1375px;" version="1.1" viewbox="0 0 134.1375 16.75" width="134.1375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
+
)
=
2
/
(
2
(
)
2
)
,<年代vg height="16.75" id="M126" style="vertical-align:-2.21957pt;width:152.55px;" version="1.1" viewbox="0 0 152.55 16.75" width="152.55" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
+
∞
)
=
(
)
2
/
(
)
2
。区分<年代vg height="13.45" id="M127" style="vertical-align:-2.21957pt;width:33.912498px;" version="1.1" viewbox="0 0 33.912498 13.45" width="33.912498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
,一个<年代pan class="equation" id="EEq2.1">
4
(
)
=
(
)
2
(
)
(
)
−
2
ℰ
(
)
−
2
−
(
)
(
)
−
2
ℰ
(
)
(
)
−
2
=
4
(
)
(
)
−
2
(
)
−
2
1
(
)
,
(
2
。
3
)
在哪里<年代vg height="19.762501" id="M129" style="vertical-align:-3.13504pt;width:439.04999px;" version="1.1" viewbox="0 0 439.04999 19.762501" width="439.04999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
(
)
=
(
ℰ
(
)
−
2
(
)
]
(
)
3
(
)
2
−
2
(
ℰ
(
)
−
2
(
)
]
(
)
3
/
4
。从引理<一个href="#lem2.2">2。2一个>(1)和(2),我们清楚地看到这一点<年代vg height="14.6" id="M130" style="vertical-align:-3.13504pt;width:40.012501px;" version="1.1" viewbox="0 0 40.012501 14.6" width="40.012501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
(
)
严格递减<年代vg height="13.45" id="M131" style="vertical-align:-2.21957pt;width:39.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.337502 13.45" width="39.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
,
∞
)
。此外,<年代pan class="equation" id="EEq2.2">
l
我
米
→
1
+
1
ℰ
(
)
=
(
)
−
2
(
)
(
)
3
(
)
2
−
2
4
ℰ
(
)
−
2
(
)
(
)
3
=
2
4
(
)
2
2
(
)
,
(
2
。
4
)
在哪里<年代vg height="17.924999" id="M133" style="vertical-align:-3.13504pt;width:357.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 357.875 17.924999" width="357.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
2
(
)
=
(
)
(
ℰ
′
(
)
−
2
′
(
)
]
−
′
(
)
(
ℰ
(
)
−
′
2
(
)
]
也是严格减少吗<年代vg height="13.45" id="M134" style="vertical-align:-2.21957pt;width:32.674999px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.674999 13.45" width="32.674999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
0
,
1
)
。因此,<年代vg height="21.125" id="M135" style="vertical-align:-3.13504pt;width:143.5125px;" version="1.1" viewbox="0 0 143.5125 21.125" width="143.5125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
2
(
)
≤
2
(
√
2
/
2
)
=
0
为<年代vg height="20.4125" id="M136" style="vertical-align:-2.55817pt;width:85.099998px;" version="1.1" viewbox="0 0 85.099998 20.4125" width="85.099998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
∈
(
1
/
2
,
1
)
,<年代vg height="16.475" id="M137" style="vertical-align:-3.13504pt;width:130.5px;" version="1.1" viewbox="0 0 130.5 16.475" width="130.5" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
(
)
<
1
(
1
+
)
≤
0
为<年代vg height="13.45" id="M138" style="vertical-align:-2.21957pt;width:70.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 70.625 13.45" width="70.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
1
,
∞
)
。因此,的单调性<年代vg height="13.45" id="M139" style="vertical-align:-2.21957pt;width:33.912498px;" version="1.1" viewbox="0 0 33.912498 13.45" width="33.912498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
遵循从(<一个href="#EEq2.1">2。3一个>)和(<一个href="#EEq2.2">2。4一个>)这一事实<年代vg height="14.6" id="M140" style="vertical-align:-3.13504pt;width:67.212502px;" version="1.1" viewbox="0 0 67.212502 14.6" width="67.212502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
(
)
<
0
为<年代vg height="13.45" id="M141" style="vertical-align:-2.21957pt;width:70.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 70.625 13.45" width="70.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
1
,
∞
)
。年代pan>
3所示。定理的证明<一个href="#thm1.1">1.1一个>和<一个href="#thm1.2">1.2一个>
定理的证明<一个href="#thm1.1">1.1一个>。我>年代pan>(1)部分,清楚<年代vg height="15.5" id="M142" style="vertical-align:-2.34499pt;width:62.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 62.337502 15.5" width="62.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
+
)
=
1
。让<年代vg height="16.637501" id="M143" style="vertical-align:-2.29482pt;width:103.3875px;" version="1.1" viewbox="0 0 103.3875 16.637501" width="103.3875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
−
1
(
/
(
2
)
]
为<年代vg height="13.45" id="M144" style="vertical-align:-2.21957pt;width:70.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 70.625 13.45" width="70.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
1
,
∞
)
,然后<年代vg height="16.75" id="M145" style="vertical-align:-2.21957pt;width:88.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 88.224998 16.75" width="88.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
=
(
/
)
2
,<年代vg height="20.4125" id="M146" style="vertical-align:-2.55817pt;width:85.099998px;" version="1.1" viewbox="0 0 85.099998 20.4125" width="85.099998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
∈
(
1
/
2
,
1
)
,<年代pan class="equation" id="EEq3.1">
=
2
2
(
)
2
,
(
)
=
4
(
)
(
)
2
,
(
3
。
1
)
l
我
米
→
+
∞
(
)
=
l
我
米
→
1
2
(
)
2
(
)
=
+
∞
。
(
3
。
2
)
利用(<一个href="#EEq3.1">3.1一个>),我们有<年代pan class="equation" id="EEq3.3">
+
1
(
)
(
)
=
1
4
(
)
≡
(
)
(
)
−
。
(
3
。
3
)
它遵循从引理<一个href="#lem2.2">2。2一个>(3),
1
(
)
是严格增加从<年代vg height="13.45" id="M151" style="vertical-align:-2.21957pt;width:39.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.337502 13.45" width="39.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
,
∞
)
到<年代vg height="13.45" id="M152" style="vertical-align:-2.21957pt;width:63.5px;" version="1.1" viewbox="0 0 63.5 13.45" width="63.5" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
−
,
∞
)
。然后,从(<一个href="#EEq3.1">3.2一个>)和(<一个href="#EEq3.3">3.3一个>),我们知道<年代vg height="13.4875" id="M153" style="vertical-align:-2.34499pt;width:10.675px;" version="1.1" viewbox="0 0 10.675 13.4875" width="10.675" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是严格增加从<年代vg height="13.45" id="M154" style="vertical-align:-2.21957pt;width:39.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.337502 13.45" width="39.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
,
∞
)
到<年代vg height="13.45" id="M155" style="vertical-align:-2.21957pt;width:39.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.337502 13.45" width="39.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
,
∞
)
为<年代vg height="11.25" id="M156" style="vertical-align:-1.29163pt;width:33.849998px;" version="1.1" viewbox="0 0 33.849998 11.25" width="33.849998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
≤
。如果<年代vg height="8.8500004" id="M157" style="vertical-align:-0.30096pt;width:33.849998px;" version="1.1" viewbox="0 0 33.849998 8.8500004" width="33.849998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
>
,然后存在<年代vg height="14.75" id="M158" style="vertical-align:-3.25793pt;width:76.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 76.724998 14.75" width="76.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
∈
(
1
,
∞
)
这样<年代vg height="13.4875" id="M159" style="vertical-align:-2.34499pt;width:10.675px;" version="1.1" viewbox="0 0 10.675 13.4875" width="10.675" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
严格递减<年代vg height="14.75" id="M160" style="vertical-align:-3.25793pt;width:42.862499px;" version="1.1" viewbox="0 0 42.862499 14.75" width="42.862499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
,
0
)
并严格增加<年代vg height="14.75" id="M161" style="vertical-align:-3.25793pt;width:49.525002px;" version="1.1" viewbox="0 0 49.525002 14.75" width="49.525002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
0
,
∞
)
。此外,不平等<年代vg height="13.9625" id="M162" style="vertical-align:-2.21957pt;width:69.150002px;" version="1.1" viewbox="0 0 69.150002 13.9625" width="69.150002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
≥
适用于所有<年代vg height="13.45" id="M163" style="vertical-align:-2.21957pt;width:70.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 70.625 13.45" width="70.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
1
,
∞
)
与最好的常数<年代vg height="7.1875" id="M164" style="vertical-align:-0.13794pt;width:33.849998px;" version="1.1" viewbox="0 0 33.849998 7.1875" width="33.849998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
。(2)部分,表示<年代vg height="20.4125" id="M165" style="vertical-align:-3.66795pt;width:90.400002px;" version="1.1" viewbox="0 0 90.400002 20.4125" width="90.400002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
=
/
(
1
+
)
。区分<年代vg height="13.6125" id="M166" style="vertical-align:-2.34499pt;width:30.137501px;" version="1.1" viewbox="0 0 30.137501 13.6125" width="30.137501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
,我们得到<年代pan class="equation" id="EEq3.4">
(
)
=
2
(
)
2
(
−
1
)
/
(
)
−
l
o
g
(
)
−
l
o
g
(
−
1
)
2
。
(
3
。
4
)
让<年代vg height="17.887501" id="M168" style="vertical-align:-3.13504pt;width:319.27499px;" version="1.1" viewbox="0 0 319.27499 17.887501" width="319.27499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
(
)
=
2
(
)
2
(
−
1
)
/
(
)
−
(
l
o
g
(
)
−
l
o
g
)
和<年代vg height="17.887501" id="M169" style="vertical-align:-3.13504pt;width:109.4875px;" version="1.1" viewbox="0 0 109.4875 17.887501" width="109.4875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
2
(
)
=
(
−
1
)
2
,然后<年代vg height="14.6" id="M170" style="vertical-align:-3.13504pt;width:110.725px;" version="1.1" viewbox="0 0 110.725 14.6" width="110.725" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
(
1
)
=
2
(
1
)
=
0
,<年代vg height="14.625" id="M171" style="vertical-align:-3.13504pt;width:130.58749px;" version="1.1" viewbox="0 0 130.58749 14.625" width="130.58749" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
′
(
)
=
1
(
)
/
2
(
)
和<年代pan class="equation" id="EEq3.5">
1
(
)
2
(
)
=
3
2
(
)
≡
−
(
)
2
ℰ
(
)
−
2
(
)
(
)
3
。
(
3
。
5
)
很明显,<年代vg height="14.75" id="M173" style="vertical-align:-3.25793pt;width:36.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 36.224998 14.75" width="36.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
3
(
)
严格增加<年代vg height="13.45" id="M174" style="vertical-align:-2.21957pt;width:39.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.337502 13.45" width="39.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
,
∞
)
。然后,(<一个href="#EEq3.5">3.5一个>)和引理<一个href="#lem2.1">2。1一个>导致的结论<年代vg height="13.6375" id="M175" style="vertical-align:-2.34499pt;width:34.650002px;" version="1.1" viewbox="0 0 34.650002 13.6375" width="34.650002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
′
(
)
严格增加<年代vg height="13.45" id="M176" style="vertical-align:-2.21957pt;width:39.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.337502 13.45" width="39.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
,
∞
)
。因此,<年代vg height="13.6125" id="M177" style="vertical-align:-2.34499pt;width:30.137501px;" version="1.1" viewbox="0 0 30.137501 13.6125" width="30.137501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
是凸的<年代vg height="13.45" id="M178" style="vertical-align:-2.21957pt;width:39.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.337502 13.45" width="39.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
,
∞
)
。(3)部分,如果<年代vg height="12.3" id="M179" style="vertical-align:-1.29163pt;width:32.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.224998 12.3" width="32.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
≥
1
,然后<年代vg height="20.4125" id="M180" style="vertical-align:-2.55817pt;width:60.362499px;" version="1.1" viewbox="0 0 60.362499 20.4125" width="60.362499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
≥
2
/
2
。让<年代vg height="14.7125" id="M181" style="vertical-align:-3.13504pt;width:162.8px;" version="1.1" viewbox="0 0 162.8 14.7125" width="162.8" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
ℎ
1
(
)
=
l
o
g
(
)
−
l
o
g
和<年代vg height="14.7125" id="M182" style="vertical-align:-3.13504pt;width:111.825px;" version="1.1" viewbox="0 0 111.825 14.7125" width="111.825" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
ℎ
2
(
)
=
−
1
/
,然后<年代vg height="14.7125" id="M183" style="vertical-align:-3.13504pt;width:113.3875px;" version="1.1" viewbox="0 0 113.3875 14.7125" width="113.3875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
ℎ
1
(
1
)
=
ℎ
2
(
1
)
=
0
,<年代vg height="14.7125" id="M184" style="vertical-align:-3.13504pt;width:130.05px;" version="1.1" viewbox="0 0 130.05 14.7125" width="130.05" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
ℎ
(
)
=
ℎ
1
(
)
/
ℎ
2
(
)
,<年代pan class="equation" id="EEq3.6">
ℎ
1
(
)
ℎ
2
=
(
)
2
(
)
2
/
(
)
1
+
−
2
=
2
(
)
(
)
,
(
3
。
6
)
在哪里<年代vg height="13.45" id="M186" style="vertical-align:-2.21957pt;width:33.912498px;" version="1.1" viewbox="0 0 33.912498 13.45" width="33.912498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
引理的定义是<一个href="#lem2.2">2。2一个>。因此,<年代vg height="13.5625" id="M187" style="vertical-align:-2.21957pt;width:31.4625px;" version="1.1" viewbox="0 0 31.4625 13.5625" width="31.4625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
ℎ
(
)
严格增加<年代vg height="13.45" id="M188" style="vertical-align:-2.21957pt;width:39.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.337502 13.45" width="39.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
,
∞
)
为<年代vg height="12.3" id="M189" style="vertical-align:-1.29163pt;width:32.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.224998 12.3" width="32.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
≥
1
之前的前题<一个href="#lem2.1">2。1一个>和<一个href="#lem2.2">2。2一个>在一起(<一个href="#EEq3.6">3.6一个>)。此外,利用洛必达法则<年代vg height="15.7125" id="M190" style="vertical-align:-2.21957pt;width:145.9875px;" version="1.1" viewbox="0 0 145.9875 15.7125" width="145.9875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
ℎ
(
1
+
)
=
2
(
)
(
)
/
,<年代vg height="15.7125" id="M191" style="vertical-align:-2.21957pt;width:136.71249px;" version="1.1" viewbox="0 0 136.71249 15.7125" width="136.71249" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
ℎ
(
∞
)
=
(
)
/
(
)
。年代pan>
定理的证明<一个href="#thm1.2">1.2一个>。我>年代pan>区分<年代vg height="14.7125" id="M192" style="vertical-align:-3.2316pt;width:37.8125px;" version="1.1" viewbox="0 0 37.8125 14.7125" width="37.8125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
给了<年代pan class="equation" id="EEq3.7">
(
)
=
l
o
g
(
)
−
l
o
g
−
1
−
+
2
(
)
2
(
−
1
)
/
(
)
−
l
o
g
(
)
−
l
o
g
(
−
1
)
2
=
2
(
)
2
(
−
1
)
/
(
)
−
l
o
g
(
)
−
l
o
g
(
−
1
)
2
−
。
(
3
。
7
)
让<年代pan class="equation" id="EEq3.8">
(
)
=
2
(
)
2
−
(
−
1
)
/
(
)
l
o
g
(
)
−
l
o
g
(
−
1
)
2
,
(
3
。
8
)
1
(
)
=
2
(
)
2
(
−
1
)
/
(
)
−
(
l
o
g
(
)
−
l
o
g
)
,<年代vg height="17.887501" id="M196" style="vertical-align:-3.13504pt;width:115.45px;" version="1.1" viewbox="0 0 115.45 17.887501" width="115.45" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
2
(
)
=
(
−
1
)
2
,然后<年代vg height="14.6" id="M197" style="vertical-align:-3.13504pt;width:143.925px;" version="1.1" viewbox="0 0 143.925 14.6" width="143.925" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
=
1
(
)
/
2
(
)
,<年代vg height="14.6" id="M198" style="vertical-align:-3.13504pt;width:122.6375px;" version="1.1" viewbox="0 0 122.6375 14.6" width="122.6375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
(
1
)
=
2
(
1
)
=
0
,<年代pan class="equation" id="EEq3.9">
1
(
)
2
(
)
=
3
4
(
)
≡
ℰ
(
)
(
)
−
2
(
)
(
)
3
。
(
3
。
9
)
显然,这<年代vg height="14.75" id="M200" style="vertical-align:-3.25793pt;width:42.174999px;" version="1.1" viewbox="0 0 42.174999 14.75" width="42.174999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
3
(
)
严格增加<年代vg height="13.45" id="M201" style="vertical-align:-2.21957pt;width:39.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.337502 13.45" width="39.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
,
∞
)
遵循从引理<一个href="#lem2.2">2。2一个>(1)和(2)。然后,从(<一个href="#EEq3.8">3.8一个>)和(<一个href="#EEq3.9">3.9一个>)一起引理<一个href="#lem2.1">2。1一个>,我们知道<年代vg height="13.45" id="M202" style="vertical-align:-2.21957pt;width:36.087502px;" version="1.1" viewbox="0 0 36.087502 13.45" width="36.087502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
严格增加<年代vg height="13.45" id="M203" style="vertical-align:-2.21957pt;width:39.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.337502 13.45" width="39.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
,
∞
)
。此外,洛必达法则导致<年代pan class="equation" id="EEq3.10">
l
我
米
→
1
(
)
=
(
)
,
l
我
米
→
∞
(
)
=
(
)
。
(
3
。
1
0
)
(1)部分,如果<年代vg height="13.45" id="M205" style="vertical-align:-2.21957pt;width:53.987499px;" version="1.1" viewbox="0 0 53.987499 13.45" width="53.987499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
>
(
)
,然后从(<一个href="#EEq3.7">3.7一个>)和(<一个href="#EEq3.8">3.8一个>),我们知道<年代vg height="14.75" id="M206" style="vertical-align:-3.2316pt;width:69.525002px;" version="1.1" viewbox="0 0 69.525002 14.75" width="69.525002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
′
(
)
<
0
为<年代vg height="13.45" id="M207" style="vertical-align:-2.21957pt;width:70.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 70.625 13.45" width="70.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
1
,
∞
)
和<年代vg height="14.7125" id="M208" style="vertical-align:-3.2316pt;width:37.8125px;" version="1.1" viewbox="0 0 37.8125 14.7125" width="37.8125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
严格递减<年代vg height="13.45" id="M209" style="vertical-align:-2.21957pt;width:39.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.337502 13.45" width="39.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
,
∞
)
。此外,<年代pan class="equation" id="EEq3.11">
l
我
米
→
1
(
)
=
4
(
)
(
)
/
−
,
l
我
米
→
∞
(
)
=
−
∞
。
(
3
。
1
1
)
如果<年代vg height="13.45" id="M211" style="vertical-align:-2.21957pt;width:53.987499px;" version="1.1" viewbox="0 0 53.987499 13.45" width="53.987499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
(
)
,然后<年代vg height="14.7125" id="M212" style="vertical-align:-3.2316pt;width:37.8125px;" version="1.1" viewbox="0 0 37.8125 14.7125" width="37.8125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
也是严格减少吗<年代vg height="13.45" id="M213" style="vertical-align:-2.21957pt;width:39.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.337502 13.45" width="39.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
,
∞
)
和<年代vg height="16.9625" id="M214" style="vertical-align:-3.2316pt;width:208.3875px;" version="1.1" viewbox="0 0 208.3875 16.9625" width="208.3875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
+
)
=
(
4
(
)
(
)
/
]
−
(
)
,从引理<一个href="#lem2.2">2。2一个>(4)
l
我
米
→
∞
(
)
=
l
我
米
→
∞
−
1
−
2
l
o
g
−
2
+
(
)
−
l
o
g
=
(
)
−
4
l
o
g
2
−
l
o
g
。
(
3
。
1
2
)
因此,不平等(<一个href="#EEq1.10">1.10一个>)和(<一个href="#EEq1.11">1.11一个>从()之前<一个href="#EEq3.12">3.12一个>)的单调性<年代vg height="14.7125" id="M216" style="vertical-align:-3.2316pt;width:37.8125px;" version="1.1" viewbox="0 0 37.8125 14.7125" width="37.8125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
当<年代vg height="13.45" id="M217" style="vertical-align:-2.21957pt;width:53.987499px;" version="1.1" viewbox="0 0 53.987499 13.45" width="53.987499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
(
)
。(2)部分,如果<年代vg height="13.45" id="M218" style="vertical-align:-2.21957pt;width:53.662498px;" version="1.1" viewbox="0 0 53.662498 13.45" width="53.662498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
≤
(
)
,那<年代vg height="14.7125" id="M219" style="vertical-align:-3.2316pt;width:37.8125px;" version="1.1" viewbox="0 0 37.8125 14.7125" width="37.8125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
严格增加<年代vg height="13.45" id="M220" style="vertical-align:-2.21957pt;width:39.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.337502 13.45" width="39.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
,
∞
)
遵循从(<一个href="#EEq3.7">3.7一个>)和(<一个href="#EEq3.8">3.8一个>)。请注意,<年代pan class="equation" id="EEq3.13">
l
我
米
→
1
(
)
=
4
(
)
(
)
/
−
,
l
我
米
→
∞
(
)
=
+
∞
。
(
3
。
1
3
)
因此,不平等(<一个href="#EEq1.12">1.12一个>)和(<一个href="#EEq1.13">1.13一个>)根据(<一个href="#EEq3.13">3.13一个>)的单调性<年代vg height="14.7125" id="M222" style="vertical-align:-3.2316pt;width:37.8125px;" version="1.1" viewbox="0 0 37.8125 14.7125" width="37.8125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
当<年代vg height="13.45" id="M223" style="vertical-align:-2.21957pt;width:53.662498px;" version="1.1" viewbox="0 0 53.662498 13.45" width="53.662498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
(
)
。(3)部分,如果<年代vg height="13.45" id="M224" style="vertical-align:-2.21957pt;width:101.0375px;" version="1.1" viewbox="0 0 101.0375 13.45" width="101.0375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
<
<
(
)
,然后从(<一个href="#EEq3.7">3.7一个>)和(<一个href="#EEq3.8">3.8一个>)的单调性<年代vg height="13.45" id="M225" style="vertical-align:-2.21957pt;width:36.087502px;" version="1.1" viewbox="0 0 36.087502 13.45" width="36.087502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
我们清楚地看到,存在<年代vg height="14.6" id="M226" style="vertical-align:-3.13504pt;width:76.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 76.724998 14.6" width="76.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
∈
(
1
,
∞
)
,这样<年代vg height="16.5875" id="M227" style="vertical-align:-3.2316pt;width:65.912498px;" version="1.1" viewbox="0 0 65.912498 16.5875" width="65.912498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
<
0
为<年代vg height="14.6" id="M228" style="vertical-align:-3.13504pt;width:74.162498px;" version="1.1" viewbox="0 0 74.162498 14.6" width="74.162498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
1
,
1
)
和<年代vg height="16.5875" id="M229" style="vertical-align:-3.2316pt;width:65.912498px;" version="1.1" viewbox="0 0 65.912498 16.5875" width="65.912498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
>
0
为<年代vg height="14.6" id="M230" style="vertical-align:-3.13504pt;width:80.8125px;" version="1.1" viewbox="0 0 80.8125 14.6" width="80.8125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
1
,
∞
)
。因此,<年代vg height="14.7125" id="M231" style="vertical-align:-3.2316pt;width:37.8125px;" version="1.1" viewbox="0 0 37.8125 14.7125" width="37.8125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
严格递减<年代vg height="14.6" id="M232" style="vertical-align:-3.13504pt;width:42.862499px;" version="1.1" viewbox="0 0 42.862499 14.6" width="42.862499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
,
1
)
并严格增加<年代vg height="14.6" id="M233" style="vertical-align:-3.13504pt;width:49.525002px;" version="1.1" viewbox="0 0 49.525002 14.6" width="49.525002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
,
∞
)
。(4)遵循从部分(<一个href="#EEq3.7">3.7一个>)和(<一个href="#EEq3.8">3.8一个>)的单调性<年代vg height="13.45" id="M234" style="vertical-align:-2.21957pt;width:36.087502px;" version="1.1" viewbox="0 0 36.087502 13.45" width="36.087502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
。年代pan>
采取<年代vg height="10.825" id="M235" style="vertical-align:-0.11285pt;width:32.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.224998 10.825" width="32.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
1
在定理<一个href="#thm1.2">1.2一个>,我们得到下面的推论。
推论3.1。年代pan>让<年代vg height="7.1750002" id="M236" style="vertical-align:-0.1254pt;width:7.9749999px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.9749999 7.1750002" width="7.9749999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
和<年代vg height="10.7375" id="M237" style="vertical-align:-0.13794pt;width:7.4749999px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.4749999 10.7375" width="7.4749999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
被定义为在定理<一个href="#thm1.2">1.2一个>,
∈
ℝ
,<年代vg height="14.825" id="M239" style="vertical-align:-3.2316pt;width:225.7625px;" version="1.1" viewbox="0 0 225.7625 14.825" width="225.7625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
=
{
(
l
o
g
(
)
]
/
(
−
1
)
−
}
。然后,我><年代pan class="list">(1)年代pan>如果<年代vg height="8.8500004" id="M240" style="vertical-align:-0.30096pt;width:35.5px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.5 8.8500004" width="35.5" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
>
,然后<年代vg height="14.7125" id="M241" style="vertical-align:-3.2316pt;width:36.825001px;" version="1.1" viewbox="0 0 36.825001 14.7125" width="36.825001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
是严格递减的<年代vg height="13.45" id="M242" style="vertical-align:-2.21957pt;width:39.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.337502 13.45" width="39.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
,
∞
)
到<年代vg height="13.45" id="M243" style="vertical-align:-2.21957pt;width:74.212502px;" version="1.1" viewbox="0 0 74.212502 13.45" width="74.212502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
−
∞
,
−
)
;如果<年代vg height="7.2249999" id="M244" style="vertical-align:-0.16302pt;width:35.5px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.5 7.2249999" width="35.5" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
,然后<年代vg height="14.7125" id="M245" style="vertical-align:-3.2316pt;width:36.825001px;" version="1.1" viewbox="0 0 36.825001 14.7125" width="36.825001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
是严格递减的<年代vg height="13.45" id="M246" style="vertical-align:-2.21957pt;width:39.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.337502 13.45" width="39.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
,
∞
)
到<年代vg height="14.2" id="M247" style="vertical-align:-2.73372pt;width:122.6125px;" version="1.1" viewbox="0 0 122.6125 14.2" width="122.6125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
−
4
l
o
g
2
,
−
)
;我>年代pan> (2)年代pan>如果<年代vg height="12.175" id="M248" style="vertical-align:-1.29163pt;width:33.349998px;" version="1.1" viewbox="0 0 33.349998 12.175" width="33.349998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
≤
,然后<年代vg height="14.7125" id="M249" style="vertical-align:-3.2316pt;width:36.825001px;" version="1.1" viewbox="0 0 36.825001 14.7125" width="36.825001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
是严格增加从<年代vg height="13.45" id="M250" style="vertical-align:-2.21957pt;width:39.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.337502 13.45" width="39.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
,
∞
)
到<年代vg height="13.45" id="M251" style="vertical-align:-2.21957pt;width:63.5px;" version="1.1" viewbox="0 0 63.5 13.45" width="63.5" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
−
,
∞
)
;我>年代pan> (3)年代pan>如果<年代vg height="10.9375" id="M252" style="vertical-align:-0.30096pt;width:62.237499px;" version="1.1" viewbox="0 0 62.237499 10.9375" width="62.237499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
<
<
,然后存在<年代vg height="14.6" id="M253" style="vertical-align:-3.13504pt;width:76.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 76.724998 14.6" width="76.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
2
∈
(
1
,
∞
)
,这样<年代vg height="14.7125" id="M254" style="vertical-align:-3.2316pt;width:36.825001px;" version="1.1" viewbox="0 0 36.825001 14.7125" width="36.825001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
严格递减<年代vg height="14.6" id="M255" style="vertical-align:-3.13504pt;width:42.862499px;" version="1.1" viewbox="0 0 42.862499 14.6" width="42.862499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
,
2
)
并严格增加<年代vg height="14.6" id="M256" style="vertical-align:-3.13504pt;width:49.525002px;" version="1.1" viewbox="0 0 49.525002 14.6" width="49.525002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
2
,
∞
)
;我>年代pan> (4)年代pan>
(
)
是凸的<年代vg height="13.45" id="M258" style="vertical-align:-2.21957pt;width:39.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.337502 13.45" width="39.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
,
∞
)
。我>年代pan>
不平等(<一个href="#EEq1.11">1.11一个>)和(<一个href="#EEq1.13">1.13一个>)导致以下推论,改善不平等(<一个href="#EEq1.6">1.6一个>)- (<一个href="#EEq1.8">1.9一个>)。
推论3.2。年代pan>让<年代vg height="7.1750002" id="M259" style="vertical-align:-0.1254pt;width:7.9749999px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.9749999 7.1750002" width="7.9749999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
和<年代vg height="10.7375" id="M260" style="vertical-align:-0.13794pt;width:7.4749999px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.4749999 10.7375" width="7.4749999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
被定义为在定理<一个href="#thm1.2">1.2一个>,然后下面的不平等我><年代pan class="equation" id="eq3">
米
一个
x
(
−
1
)
(
+
(
(
−
4
l
o
g
2
)
/
)
)
,
(
−
(
1
/
)
)
<
(
)
<
(
−
1
)
(
+
(
(
−
)
/
)
)
。
(
3
。
1
4
)
适用于所有<年代vg height="13.45" id="M262" style="vertical-align:-2.21957pt;width:70.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 70.625 13.45" width="70.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
1
,
∞
)
。我>年代pan>
确认
这项研究受到了中国自然科学基金会(授予号。11071059,11071059,11171307)和教育部创新团队基础浙江省(批准号T200924)。