文摘

我们表明,以下 独异点的属性 代数在课堂上 简单unital继承了吗 代数在课堂上 :(1)pseudocancellation属性,(2)弱可分,(3)分离,(4)分离,(5)preminimal。

1。介绍

艾略特猜想断言所有核,可分 代数同构的一个不变量进行分类,称为艾略特不变。艾略特的第一个版本猜想可能是说,已经开始与K-theoretical AF-algebras分类(1]。从那时起,许多类 代数分类的艾略特发现了不变的。其中,一个重要的类的类是简单unital AH-algebras。非常重要的公理化的版本分类AH-algebras没有尺寸增长是由h·林。而不是假设归纳极限结构,他开始与某个抽象逼近性质和显示 抽象代数与此近似属性和附加属性AH-algebras没有尺寸增长。更准确地说,林引入了一类tracially近似区间代数。

林后的概念在tracial近似区间代数,艾略特和妞妞在2被更普遍视为tracial近似 代数。让 是一类unital 代数。然后,类的 代数可tracially近似 代数在 ,用 ,定义如下。一个简单的unital 代数 据说属于类 ,如果任何 ,任何有限的子集 ,任何非零元素 存在一个非零投影 和一个 子代数 的 与 和 ,这样(1) 对所有 ,(2) 对所有 ,(3) Murray-von诺伊曼相当于投影在吗 。

的行为的问题 从一个类代数属性下的通道 到类 有趣的是,有时很重要。事实上,tracial国家的财产,财产的稳定的排名,和严格的财产秩序预测是由痕迹被用于分类定理的证明(2),(3艾略特和妞妞。

在本文中,我们证明如下 独异点的属性 代数在课堂上 简单unital继承了吗 代数在课堂上 :(1)pseudocancellation财产,(2)弱可分的,(3)强烈的分离,(4)分离,(5)preminimal。

2。预赛和定义

让 和 有两个积极的元素 代数 。我们写 3.5.2 (cf。定义在[4),如果存在一个局部等距 这样,每一个 , , , ,在那里 的投影范围吗 在 和 。我们写 如果 。让 是一个正整数。我们写 ,如果有 相互正交的积极因素 这样 , 。

让 是两个正数。定义

让 是一类unital 代数。然后,类的 代数可tracially近似 代数在 用 。

定义2.1(见[2])。一个简单的unital - - - - - -代数 据说属于类 如果对任何 ,任何有限子集 ,和任何非零元素 ,存在一个非零的投影 和一个 - - - - - -子代数 的 与 和 ,这样(1) 对所有 ,(2) 对所有 ,(3) 。

定义2.2(见[5])。让 是一类unital 代数。一个unital - - - - - -代数 据说财产吗 如果任何正数 ,任何 ,任何有限子集 ,任何非零的积极因素 ,和任何整数 ,存在一个非零的投影 ,和一个 子代数 的 与 和 ,这样(1) 对所有 ,(2) 对所有 , ,(3) 。

引理2.3(见[2])。如果类 与矩阵代数张量下封闭或下封闭unital遗传吗 代数中,然后 下封闭传递矩阵代数或unital遗传吗 代数。

定理2.4(见[5])。让 是一类unital 代数, 是下封闭unital遗传吗 代数和封闭的直接资金有限。让 是一个简单的unital 代数。然后,以下是等价的:(1) ,(2) 有财产 。

调用预测 等价的,表示 ,当有部分等距 这样 , 。用等价类 ,都是集 除了在 被定义为 成为一个交换的独异点,我们的电话 的 独异点的 。

阿贝耳独异点有一种天然的预订,代数排序,定义为:如果 ,我们写 如果有一个 在 这样 。在的情况下 ,Murray-von诺伊曼subequivalence代数给出排序,也就是说, 当且仅当存在一个投影 这样 。我们也写,习惯, 意味着 是subequivalent 。

如果 ,我们会写 如果有一个非零元素 在 ,这样 。

让我们回想一下,一个元素 在一个独异点 订单的单位提供吗 ,对于任何 在 ,有 这样 。

让 是一个独异点和秩序 。我们写 当且仅当存在一个整数 这样 。我们写 当且仅当 。

我们说一个独异点 是锥形如果 只有当 。注意,对于任何一个 代数 ,独异点 是锥形。

我们说订单独异点 pseudocancellation财产当它满足声明,对吗 与 ,存在 这样 。

让 是一个独异点。一个元素 在 如果存在将称为弱可分 和 在 这样 。我们说 是弱可分如果每个元素是弱可分。我们说 弱可分阶单位如果每个单位都是弱可分。

我们说订单独异点 据说是强烈分离时满足声明,对吗 这样 ,我们有 。

定义2.5(见[6])。我们说订单独异点 preminimal当它满足以下语句:(1) 对于任何 与 和 ,(2) 对于任何 与 和 。

定义2.6(见[6])。我们说订单独异点 是分离当它满足以下语句:(1) 对于任何 与 和 ,(2) 对于任何 与 和 。

3所示。主要的结果

定理3.1。让 是一类unital 对于任何代数等 的 独异点 pseudocancellation属性。然后, 独异点 任何简单unital pseudocancellation财产吗 代数 。

证明。我们需要证明存在 这样 对于任何 与 。由引理2。3,我们可以假设 , , 对于一些预测 。为 ,任何 ,因为 ,存在一个投影 和一个 子代数 与 这样(1) 对所有 ,(2) 对所有 。
通过 和 ,存在预测 和 这样 因此,我们有
自 和 pseudocancellation属性,我们可以假设存在一个投影吗 这样 和 在 。
为 ,任何 ,因为 ,存在一个投影 和一个 子代数 与 这样
对所有 , 对所有 , 。
通过 和 ,存在预测 和 这样 因此,我们有
自 和 pseudocancellation属性,我们可以假设存在一个投影吗 这样 和 在 。
通过 ,我们有 ,存在部分等距 这样 , 。
因此,我们有
自 ,因此 ,也就是说, 。

定理3.2。让 是一类unital 代数,对于任何 , 独异点 是弱可分。然后, 独异点 任何简单的unital弱可分吗 代数 。

证明。我们需要证明存在 和 在 这样 对于任何 。由引理2。3,我们可以假设 对于一些投影 。为 ,任何 ,因为 ,存在一个投影 和一个 子代数 与 这样(1) ,(2) 。
通过 和 ,存在预测 和 这样 因此,我们有
自 和 弱可分的,我们假设存在的预测吗 这样 在 。
为 ,任何 ,因为 ,存在一个投影 和一个 子代数 与 , 这样
对所有 , 对所有 , 。
通过 和 ,存在预测 和 这样 因此,我们有
自 和 弱可分的,我们假设存在的预测吗 这样 在 。
通过 ,我们有 ,存在部分等距 这样 , 。
因此,我们有

定理3.3。让 是一类unital 代数,对于任何 , 独异点 强烈分离。然后, 独异点 任何简单的unital强烈分离吗 代数 。

证明。我们需要证明 对于任何 与 。由引理2。3,我们可以假设 , 对于一些预测 。为 ,任何 ,任何正数 ,因为 通过定理2。4,存在一个投影 和一个 子代数 与 , 这样(1) 对所有 ,(2) 对所有 ,(3) 。
通过 和 ,存在预测 和 这样 因此,我们有
自 和 强烈的分离,我们有什么 在 。
通过 ,我们有 ,存在部分等距 这样 , 。因此,我们有

定理3.4。让 是一类unital 代数,对于任何 , 独异点 是分离的。然后, 独异点 任何简单的unital分离吗 代数 。

证明。我们证明这个定理的两个步骤。
首先,我们需要证明 对于任何 与 和 。由引理2。3,我们可以假设 , , 对于一些预测 。为 ,任何 ,因为 ,存在一个投影 和一个 子代数 与 这样(1) 对所有 ,(2) 对所有 。
通过 和 ,存在预测 和 这样 因此,我们有 自 和 是分离的,我们有什么 在 。
为 ,任何 ,因为 ,存在一个投影 和一个 子代数 与 这样 对所有 , 对所有 , 。
通过 和 ,存在预测 和 这样 因此,我们有
自 和 是分离的,我们有什么 在 。
通过 ,我们有 ,存在部分等距 这样 , 。
因此,我们有
其次,用同样的方法和技术,我们可以证明 对于任何 与 和 。

定理3.5。让 是一类unital 代数,对于任何 , 独异点 是一个preminimal独异点。然后, 独异点 是preminimal独异点任何简单unital 代数 。

证明。我们证明这个定理的两个步骤。
首先,我们需要证明 对于任何 与 和 。由引理2。3,我们可以假设 , , , 对于一些预测 。为 ,任何 ,因为 ,存在一个投影 和一个 子代数 与 这样(1) 对所有 ,(2) 对所有 。
通过 和 ,存在预测 和 这样 因此,我们有 自 和 preminimal,我们有什么 在 。
自 ,存在部分等距 这样 。因此,我们有 其次,用同样的方法和技术,我们可以证明 对于任何 与 和 。

承认

这项工作是由中国国家自然科学基金(没有。11101268)和上海海事大学的科学或技术项目(没有。20110052)。