文摘

振动标准通过Kusano和Onose由Belohorec(1973)和(1969)扩展到二阶次线性脉冲微分方程的Emden-Fowler类型:<年代vg height="16.8375" id="M1" style="vertical-align:-2.29482pt;width:211.47501px;" version="1.1" viewbox="0 0 211.47501 16.8375" width="211.47501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ′ ′ ( ) + ( ) | ( ( ) ) | − 1 ( ( ) ) = 0 ,<年代vg height="14.5875" id="M2" style="vertical-align:-3.2316pt;width:35.674999px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.674999 14.5875" width="35.674999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ≠ ;<年代vg height="20.7125" id="M3" style="vertical-align:-5.39853pt;width:253.96249px;" version="1.1" viewbox="0 0 253.96249 20.7125" width="253.96249" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> Δ ′ ( ) | = + | ( ( ) ) | − 1 ( ( ) ) = 0 ;<年代vg height="17.4125" id="M4" style="vertical-align:-5.39853pt;width:87.762497px;" version="1.1" viewbox="0 0 87.762497 17.4125" width="87.762497" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> Δ ( ) | = = 0 ,<年代vg height="13.45" id="M5" style="vertical-align:-2.21957pt;width:78.962502px;" version="1.1" viewbox="0 0 78.962502 13.45" width="78.962502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( 0 < < 1 ) 通过考虑情况下<年代vg height="13.45" id="M6" style="vertical-align:-2.21957pt;width:47.712502px;" version="1.1" viewbox="0 0 47.712502 13.45" width="47.712502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) ≤ 和<年代vg height="13.45" id="M7" style="vertical-align:-2.21957pt;width:47.712502px;" version="1.1" viewbox="0 0 47.712502 13.45" width="47.712502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) = ,分别。例子是插入说明脉冲扰动解的振荡行为影响很大。

<年代p一个n class="end-abs">

1。介绍

我们处理二阶次线性脉冲微分方程的形式<年代p一个n class="equation" id="EEq1"> | | | | ( ) + ( ) ( ( ) ) − 1 ( ( ) ) = 0 , ≠ , Δ | | ( ) = + | | | | − 1 | | = 0 , Δ ( ) = = 0 , ( 1 。 1 ) 在哪里<年代vg height="11.0625" id="M9" style="vertical-align:-0.30096pt;width:63.349998px;" version="1.1" viewbox="0 0 63.349998 11.0625" width="63.349998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 0 < < 1 ,<年代vg height="13.7" id="M10" style="vertical-align:-3.25793pt;width:35.387501px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.387501 13.7" width="35.387501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ≥ 0 ,<年代vg height="14.625" id="M11" style="vertical-align:-3.25793pt;width:42.549999px;" version="1.1" viewbox="0 0 42.549999 14.625" width="42.549999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ≥ 0 对于一些<年代vg height="14.825" id="M12" style="vertical-align:-3.49493pt;width:50.287498px;" version="1.1" viewbox="0 0 50.287498 14.825" width="50.287498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 0 ∈ ℝ + 和<年代vg height="14.625" id="M13" style="vertical-align:-3.25793pt;width:44.987499px;" version="1.1" viewbox="0 0 44.987499 14.625" width="44.987499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 0 ∈ ℕ ,<年代vg height="14.775" id="M14" style="vertical-align:-3.2316pt;width:29.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.875 14.775" width="29.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> { } 是一个严格增加无限序列的正实数,<年代p一个n class="equation" id="eq1"> | | Δ ( ) = ∶ = + − ( − ) , ∓ ∶ = l 我 米 → ∓ ( ) 。 ( 1 。 2 )

让<年代vg height="13.45" id="M16" style="vertical-align:-2.21957pt;width:70.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 70.9375 13.45" width="70.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> P l C ( , ) 表示所有实值函数的集合<年代vg height="7.1624999" id="M17" style="vertical-align:-0.11285pt;width:7.5374999px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.5374999 7.1624999" width="7.5374999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 上定义<年代vg height="10.5125" id="M18" style="vertical-align:-0.15048pt;width:10.4375px;" version="1.1" viewbox="0 0 10.4375 10.5125" width="10.4375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 这样<年代vg height="7.1624999" id="M19" style="vertical-align:-0.11285pt;width:7.5374999px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.5374999 7.1624999" width="7.5374999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 是连续的所有<年代vg height="10.75" id="M20" style="vertical-align:-0.33858pt;width:34.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 34.724998 10.75" width="34.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ 除了可能在<年代vg height="14.5875" id="M21" style="vertical-align:-3.2316pt;width:39.150002px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.150002 14.5875" width="39.150002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = 在哪里<年代vg height="18.125" id="M22" style="vertical-align:-4.75626pt;width:34.25px;" version="1.1" viewbox="0 0 34.25 18.125" width="34.25" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ± ) 存在,<年代vg height="15.9125" id="M23" style="vertical-align:-4.18579pt;width:94.1875px;" version="1.1" viewbox="0 0 94.1875 15.9125" width="94.1875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) ∶ = ( − ) 。

我们假设的续集<年代p一个n class="list">(一) ∈ P l C ( ( 0 , ∞ ) , ℝ ) ,(b) { } 是一个实数序列,(c) ∈ ( ( 0 , ∞ ) , ℝ + ) ,<年代vg height="13.45" id="M27" style="vertical-align:-2.21957pt;width:47.712502px;" version="1.1" viewbox="0 0 47.712502 13.45" width="47.712502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) ≤ ,<年代vg height="14.8" id="M28" style="vertical-align:-3.21404pt;width:111.3px;" version="1.1" viewbox="0 0 111.3 14.8" width="111.3" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> l 我 米 → ∞ ( ) = ∞ 。

的解决方案(<一个href="#EEq1">1.1在一个区间<年代vg height="14.75" id="M29" style="vertical-align:-3.25793pt;width:70.324997px;" version="1.1" viewbox="0 0 70.324997 14.75" width="70.324997" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ⊂ ( 0 , ∞ ) ,我们的意思是一个函数<年代vg height="13.45" id="M30" style="vertical-align:-2.21957pt;width:24.025px;" version="1.1" viewbox="0 0 24.025 13.45" width="24.025" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 这是定义在<年代vg height="10.5125" id="M31" style="vertical-align:-0.15048pt;width:10.4375px;" version="1.1" viewbox="0 0 10.4375 10.5125" width="10.4375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 这样<年代vg height="15.325" id="M32" style="vertical-align:-2.21957pt;width:126.075px;" version="1.1" viewbox="0 0 126.075 15.325" width="126.075" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> , , ∈ P l C ( ) 和满足(<一个href="#EEq1">1.1)。由于需求<年代vg height="17.4125" id="M33" style="vertical-align:-5.39853pt;width:87.762497px;" version="1.1" viewbox="0 0 87.762497 17.4125" width="87.762497" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> Δ ( ) | = = 0 每一个解决方案(<一个href="#EEq1">1.1)必然是连续的。

像往常一样我们假设(<一个href="#EEq1">1.1)解决方案,是所有大型非平凡<年代vg height="9.125" id="M34" style="vertical-align:-0.11285pt;width:5.0124998px;" version="1.1" viewbox="0 0 5.0124998 9.125" width="5.0124998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 。这种解决方案(<一个href="#EEq1">1.1)振荡,如果没有最后的零,否则建立。

如果没有冲动,(<一个href="#EEq1">1.1)降低Emden-Fowler方程与延迟<年代p一个n class="equation" id="EEq2"> | | | | ( ) + ( ) ( ( ) ) − 1 ( ( ) ) = 0 , 0 < < 1 , ( 1 。 3 ) 和及时<年代p一个n class="equation" id="EEq3"> + ( ) | | − 1 = 0 , 0 < < 1 。 ( 1 。 4 )

振荡的问题解决方案(<一个href="#EEq2">1.3)和(<一个href="#EEq3">1.4)已经被许多作者认为。Kusano和Onose<一个href="#B12">1]参见[<一个href="#B7">2,<一个href="#B21">3]证明以下振动的充分必要条件(<一个href="#EEq2">1.3)。

<年代p一个n class="statement" id="thm1">定理1.1。如果<年代vg height="13.55" id="M37" style="vertical-align:-2.29482pt;width:50.275002px;" version="1.1" viewbox="0 0 50.275002 13.55" width="50.275002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) ≥ 0 ,然后为每个解决方案的必要和充分条件(<一个href="#EEq2">1.3)振荡<年代p一个n class="equation" id="EEq4"> ∞ ( ] ( ) ( ) = ∞ 。 ( 1 。 5 )

的条件<年代vg height="13.55" id="M39" style="vertical-align:-2.29482pt;width:50.275002px;" version="1.1" viewbox="0 0 50.275002 13.55" width="50.275002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) ≥ 0 只需要充足情况下,和没有类似的标准吗<年代vg height="13.55" id="M40" style="vertical-align:-2.29482pt;width:23.0625px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.0625 13.55" width="23.0625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 改变符号,除了这个案子<年代vg height="13.45" id="M41" style="vertical-align:-2.21957pt;width:47.712502px;" version="1.1" viewbox="0 0 47.712502 13.45" width="47.712502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) = 。没有实施条件<年代vg height="13.55" id="M42" style="vertical-align:-2.29482pt;width:23.0625px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.0625 13.55" width="23.0625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) ,Belohorec [<一个href="#B5">4)获得以下振荡的充分条件(<一个href="#EEq3">1.4)。

<年代p一个n class="statement" id="thm2">定理1.2。如果<年代p一个n class="equation" id="EEq5"> ∞ ( ) = ∞ ( 1 。 6 ) 对于一些<年代vg height="13.55" id="M44" style="vertical-align:-2.29482pt;width:61.787498px;" version="1.1" viewbox="0 0 61.787498 13.55" width="61.787498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ ( 0 , ] ,然后每个解决方案(<一个href="#EEq3">1.4)是振荡。

相比,大量的论文的振动微分方程,只有鲜为人知的振荡脉冲微分方程;参见[<一个href="#B3">5- - - - - -<一个href="#B24">7)与延迟和方程(<一个href="#B6">8- - - - - -<一个href="#B17">13及时)方程。对于某些应用程序这样的方程,我们可以引用(<一个href="#B4">14- - - - - -<一个href="#B23">18]。书[<一个href="#B13">19,<一个href="#B19">20.)是很好的钙质来源对脉冲微分方程的一般理论。

本文的目的是扩展定理<一个href="#thm1">1.1和<一个href="#thm2">1.2脉冲微分方程的形式(<一个href="#EEq1">1.1)。结果表明,脉冲扰动可能极大地改变的振荡行为的解决方案。非振动解的解决方案(<一个href="#EEq2">1.3)或(<一个href="#EEq3">1.4)可能成为振荡脉冲扰动下。

以下两个前题是至关重要的在我们的主要定理的证明。第一个引理是包含在<一个href="#B1">21),第二个是提取(<一个href="#B2">22]。

<年代p一个n class="statement" id="lem1">引理1.3。如果每个<年代vg height="14.575" id="M45" style="vertical-align:-3.2316pt;width:15.35px;" version="1.1" viewbox="0 0 15.35 14.575" width="15.35" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 上是连续的<年代vg height="13" id="M46" style="vertical-align:-1.95624pt;width:32.237499px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.237499 13" width="32.237499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( , ] ,然后<年代p一个n class="equation" id="eq2"> ≤ < ( ) = ≤ < ( ) 。 ( 1 。 7 )

引理1.4。 F 我 x = ( , ] ,让<年代vg height="15.05" id="M49" style="vertical-align:-3.49493pt;width:97.525002px;" version="1.1" viewbox="0 0 97.525002 15.05" width="97.525002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> , ∈ ( , ℝ + ) ,<年代vg height="15.15" id="M50" style="vertical-align:-3.49493pt;width:95.525002px;" version="1.1" viewbox="0 0 95.525002 15.15" width="95.525002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ℎ ∈ ( ℝ + , ℝ + ) ,<年代vg height="14.825" id="M51" style="vertical-align:-3.49493pt;width:45.787498px;" version="1.1" viewbox="0 0 45.787498 14.825" width="45.787498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ ℝ + ,让<年代vg height="14.775" id="M52" style="vertical-align:-3.2316pt;width:30.137501px;" version="1.1" viewbox="0 0 30.137501 14.775" width="30.137501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> { } 一个序列的正实数。如果<年代vg height="15.05" id="M53" style="vertical-align:-3.49493pt;width:92.449997px;" version="1.1" viewbox="0 0 92.449997 15.05" width="92.449997" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) ⊂ ⊂ ℝ + 和<年代p一个n class="equation" id="eq3"> ( ) ≤ + ( ) ℎ ( ( ) ) + < < ℎ , ∈ , ( 1 。 8 ) 然后<年代p一个n class="equation" id="eq4"> ( ) ≤ − 1 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ( ) + ( ) + < < ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ ( , ∈ , ) , ( 1 。 9 ) 在哪里<年代p一个n class="equation" id="eq5"> ( ) = 0 ℎ ( ) , , 0 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ∈ , = 年代 u p ∈ ∶ ( ) + ( ) + < < ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ 。 ∈ ( ) , ≤ ≤ ( 1 。 1 0 )

2。主要的结果

我们首先建立一个振荡的充分必要条件的解决方案(<一个href="#EEq1">1.1)当<年代vg height="13.45" id="M57" style="vertical-align:-2.21957pt;width:47.712502px;" version="1.1" viewbox="0 0 47.712502 13.45" width="47.712502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) ≤ 。

<年代p一个n class="statement" id="thm3">定理2.1。如果<年代p一个n class="equation" id="EEq6"> ∞ ( ] ( ) | | | | ( ) + ∞ | | | | < ∞ , ( 2 。 1 ) 然后(<一个href="#EEq1">1.1)有一个解决方案<年代vg height="13.45" id="M59" style="vertical-align:-2.21957pt;width:24.025px;" version="1.1" viewbox="0 0 24.025 13.45" width="24.025" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 令人满意的<年代p一个n class="equation" id="EEq7"> l 我 米 → ∞ ( ) = ≠ 0 。 ( 2 。 2 )

证明。选择<年代vg height="14.8125" id="M61" style="vertical-align:-3.25793pt;width:105.5375px;" version="1.1" viewbox="0 0 105.5375 14.8125" width="105.5375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 1 ≥ 米 一个 x { 1 , 0 } 。鉴于引理<一个href="#lem1">1.3通过集成(<一个href="#EEq1">1.1)两次<年代vg height="13.05" id="M62" style="vertical-align:-3.25793pt;width:11.1125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.1125 13.05" width="11.1125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 0 来<年代vg height="9.125" id="M63" style="vertical-align:-0.11285pt;width:5.0124998px;" version="1.1" viewbox="0 0 5.0124998 9.125" width="5.0124998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ,我们获得<年代p一个n class="equation" id="eq6"> ( ) = 1 − 1 − 1 − 1 ≤ < | | | | − 1 − − 1 | | | | ( − ) ( ) ( ( ) ) − 1 ( ( ( ) ) ) , ≥ 1 。 ( 2 。 3 ) 集<年代p一个n class="equation" id="EEq8"> ( ) = + 1 ≤ < | | | | | | | | + 1 | | | | | | | | ( ) ( ( ) ) , ≥ 1 , ( 2 。 4 ) 在哪里<年代vg height="16.4625" id="M66" style="vertical-align:-3.13504pt;width:120.475px;" version="1.1" viewbox="0 0 120.475 16.4625" width="120.475" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = | ( 1 ) | + | ( 1 ) | 。然后<年代p一个n class="equation" id="EEq9"> | | | | ( ) ≤ ( ) , ≥ 1 。 ( 2 。 5 ) 让<年代vg height="13.55" id="M68" style="vertical-align:-3.13504pt;width:41.487499px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.487499 13.55" width="41.487499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 ≥ 1 是这样的,<年代vg height="14.6" id="M69" style="vertical-align:-3.13504pt;width:53.799999px;" version="1.1" viewbox="0 0 53.799999 14.6" width="53.799999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) ≥ 1 对所有<年代vg height="13.55" id="M70" style="vertical-align:-3.13504pt;width:35.387501px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.387501 13.55" width="35.387501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ≥ 2 。替换<年代vg height="9.125" id="M71" style="vertical-align:-0.11285pt;width:5.0124998px;" version="1.1" viewbox="0 0 5.0124998 9.125" width="5.0124998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 通过<年代vg height="13.45" id="M72" style="vertical-align:-2.21957pt;width:23.424999px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.424999 13.45" width="23.424999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 在(<一个href="#EEq9">2。5)和使用的增加特征<年代vg height="13.45" id="M73" style="vertical-align:-2.21957pt;width:22.8375px;" version="1.1" viewbox="0 0 22.8375 13.45" width="22.8375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) ,我们看到,<年代p一个n class="equation" id="EEq10"> | | | | ( ( ) ) ≤ ( ) ( ) , ≥ 2 。 ( 2 。 6 ) 从(<一个href="#EEq8">2。4),我们也看到了<年代p一个n class="equation" id="EEq11"> | | | | | | | | ( ) = ( ) ( ( ) ) , ≠ , | | ( 2 。 7 ) Δ ( ) = = | | | | | | | | ( 2 。 8 ) 为<年代vg height="13.55" id="M77" style="vertical-align:-3.13504pt;width:35.387501px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.387501 13.55" width="35.387501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ≥ 2 和<年代vg height="14.5875" id="M78" style="vertical-align:-3.2316pt;width:45.237499px;" version="1.1" viewbox="0 0 45.237499 14.5875" width="45.237499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ≥ 2 。现在,鉴于(<一个href="#EEq10">2。6)和(<一个href="#EEq11">2。8),一个集成的(<一个href="#EEq11">2。7)<年代vg height="12.8875" id="M79" style="vertical-align:-3.13504pt;width:11.1125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.1125 12.8875" width="11.1125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 来<年代vg height="9.125" id="M80" style="vertical-align:-0.11285pt;width:5.0124998px;" version="1.1" viewbox="0 0 5.0124998 9.125" width="5.0124998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 导致<年代p一个n class="equation" id="eq7"> ( ) ≤ + 2 | | | | ( ] ( ) ( ) ( ] ( ) + 2 ≤ < | | | | 。 ( 2 。 9 ) 应用引理<一个href="#lem2">1.4与<年代p一个n class="equation" id="eq8"> ℎ ( ) = | | | | ( ] , ( ) = ( ) ( ) , = | | | | , ( 2 。 1 0 ) 我们很容易看到,<年代p一个n class="equation" id="EEq13"> ( ) ≤ − 1 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ( ) + 2 | | | | ( ] ( ) ( ) + 2 ≤ < | | | | ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ 。 ( 2 。 1 1 ) 自<年代p一个n class="equation" id="eq9"> ( ) = 1 − − 1 − 0 1 − 1 − , − 1 ( ) = ( 1 − ) + 0 1 − 1 / ( 1 − ) , ( 2 。 1 2 ) 不平等(<一个href="#EEq13">2.11)成为<年代p一个n class="equation" id="eq10"> ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ( ) ≤ 1 − + ( 1 − ) 1 | | | | ( ] ( ) ( ) + ( 1 − ) 1 ≤ < | | | | ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ 1 / ( 1 − ) , ( 2 。 1 3 ) 的使用(<一个href="#EEq6">2。1),我们有<年代p一个n class="equation" id="EEq14"> ( ) ≤ 1 , ≥ 2 , ( 2 。 1 4 ) 在哪里<年代p一个n class="equation" id="eq11"> 1 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 − + ( 1 − ) ∞ 1 | | | | ( ] ( ) ( ) + ( 1 − ) 1 ≤ < ∞ | | | | ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ 1 / ( 1 − ) 。 ( 2 。 1 5 ) 鉴于(<一个href="#EEq9">2。5),(<一个href="#EEq10">2。6)和(<一个href="#EEq14">2.14我们看到,<年代p一个n class="equation" id="EEq15"> | | | | ( ) ≤ 1 | | | | , ( ( ) ) ≤ 1 ( ) , ≥ 2 。 ( 2 。 1 6 )
完成证据足以证明<年代vg height="15.325" id="M89" style="vertical-align:-2.21957pt;width:28.362499px;" version="1.1" viewbox="0 0 28.362499 15.325" width="28.362499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 方法非零极限<年代vg height="9.125" id="M90" style="vertical-align:-0.11285pt;width:5.0124998px;" version="1.1" viewbox="0 0 5.0124998 9.125" width="5.0124998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 倾向于<年代vg height="6.8499999" id="M91" style="vertical-align:-0.0pt;width:14.6px;" version="1.1" viewbox="0 0 14.6 6.8499999" width="14.6" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∞ 。看到这个积分(<一个href="#EEq1">1.1)<年代vg height="12.8875" id="M92" style="vertical-align:-3.13504pt;width:11.1125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.1125 12.8875" width="11.1125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 来<年代vg height="9.125" id="M93" style="vertical-align:-0.11285pt;width:5.0124998px;" version="1.1" viewbox="0 0 5.0124998 9.125" width="5.0124998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 得到<年代p一个n class="equation" id="eq12"> ( ) = 1 − 2 | | | | ( ) ( ( ) ) − 1 ( ( ) ) − 2 ≤ < | | | | − 1 。 ( 2 。 1 7 ) 采用(<一个href="#EEq15">2.16)我们有<年代p一个n class="equation" id="eq13"> ∞ 2 | | | | ( ) ( ( ) ) ≤ 1 ∞ 2 | | | | ( ] ( ) ( ) < ∞ , 2 ≤ < ∞ | | | | ≤ 1 2 ≤ < ∞ | | | | < ∞ 。 ( 2 。 1 8 ) 因此,<年代vg height="16.5625" id="M96" style="vertical-align:-3.21404pt;width:112.825px;" version="1.1" viewbox="0 0 112.825 16.5625" width="112.825" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> l 我 米 → ∞ ( ) = 的存在。显然,我们可以做<年代vg height="13.125" id="M97" style="vertical-align:-1.95624pt;width:34.924999px;" version="1.1" viewbox="0 0 34.924999 13.125" width="34.924999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ≠ 0 通过要求<年代p一个n class="equation" id="eq14"> 2 > 1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ∞ 2 | | | | ( ] ( ) ( ) + 2 ≤ < ∞ | | | | ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ , ( 2 。 1 9 ) 总是有可能的安排吗<年代vg height="12.8875" id="M99" style="vertical-align:-3.13504pt;width:11.1125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.1125 12.8875" width="11.1125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 。

定理2.2。假设<年代vg height="9.875" id="M100" style="vertical-align:-2.29482pt;width:7.7624998px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.7624998 9.875" width="7.7624998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 和<年代vg height="14.775" id="M101" style="vertical-align:-3.2316pt;width:28.8375px;" version="1.1" viewbox="0 0 28.8375 14.775" width="28.8375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> { } 是负的。然后每个解决方案(<一个href="#EEq1">1.1)是振荡当且仅当<年代p一个n class="equation" id="EEq16"> ∞ ( ] ( ) ( ) + ∞ = ∞ 。 ( 2 。 2 0 )

证明。让(<一个href="#EEq16">2.20)失败。然后,通过定理<一个href="#thm3">2。1我们可以看到,有一个解决方案<年代vg height="13.45" id="M103" style="vertical-align:-2.21957pt;width:24.025px;" version="1.1" viewbox="0 0 24.025 13.45" width="24.025" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 满足(<一个href="#EEq7">2。2)。显然,这样的解决方案是建立。这证明的必要性。
的充分性,假设(<一个href="#EEq16">2.20)是有效的但非振动解<年代vg height="13.45" id="M104" style="vertical-align:-2.21957pt;width:24.025px;" version="1.1" viewbox="0 0 24.025 13.45" width="24.025" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) (<一个href="#EEq1">1.1)。我们可以假设<年代vg height="13.45" id="M105" style="vertical-align:-2.21957pt;width:24.025px;" version="1.1" viewbox="0 0 24.025 13.45" width="24.025" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 最终是积极的;这个案子<年代vg height="13.45" id="M106" style="vertical-align:-2.21957pt;width:24.025px;" version="1.1" viewbox="0 0 24.025 13.45" width="24.025" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 最终被负面是相似的。很明显,存在<年代vg height="13.7" id="M107" style="vertical-align:-3.25793pt;width:41.487499px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.487499 13.7" width="41.487499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 1 ≥ 0 这样<年代vg height="13.45" id="M108" style="vertical-align:-2.21957pt;width:69.637497px;" version="1.1" viewbox="0 0 69.637497 13.45" width="69.637497" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ( ) ) > 0 对所有<年代vg height="13.55" id="M109" style="vertical-align:-3.13504pt;width:35.387501px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.387501 13.55" width="35.387501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ≥ 1 。从(<一个href="#EEq1">1.1),我们有<年代p一个n class="equation" id="eq15"> ( ) ≤ 0 f o r ≥ 1 , ≠ 。 ( 2 。 2 1 ) 因此,<年代vg height="15.325" id="M111" style="vertical-align:-2.21957pt;width:28.362499px;" version="1.1" viewbox="0 0 28.362499 15.325" width="28.362499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 减少在每个时间间隔不包含呢<年代vg height="14.5875" id="M112" style="vertical-align:-3.2316pt;width:39.150002px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.150002 14.5875" width="39.150002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = 。从脉冲条件(<一个href="#EEq1">1.1),我们也有<年代vg height="16.5875" id="M113" style="vertical-align:-3.2316pt;width:76.699997px;" version="1.1" viewbox="0 0 76.699997 16.5875" width="76.699997" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> Δ ( ) ≤ 0 。因此,我们推断出<年代vg height="15.325" id="M114" style="vertical-align:-2.21957pt;width:28.362499px;" version="1.1" viewbox="0 0 28.362499 15.325" width="28.362499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 在不减少的<年代vg height="14.6" id="M115" style="vertical-align:-3.13504pt;width:42.5px;" version="1.1" viewbox="0 0 42.5 14.6" width="42.5" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( 1 , ∞ ) 。
我们可能认为<年代vg height="15.325" id="M116" style="vertical-align:-2.21957pt;width:28.362499px;" version="1.1" viewbox="0 0 28.362499 15.325" width="28.362499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 最终是积极的。因为如果<年代vg height="15.325" id="M117" style="vertical-align:-2.21957pt;width:55.5625px;" version="1.1" viewbox="0 0 55.5625 15.325" width="55.5625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) < 0 最终,然后<年代vg height="13.45" id="M118" style="vertical-align:-2.21957pt;width:24.025px;" version="1.1" viewbox="0 0 24.025 13.45" width="24.025" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 对于大型的价值观变得消极<年代vg height="9.125" id="M119" style="vertical-align:-0.11285pt;width:5.0124998px;" version="1.1" viewbox="0 0 5.0124998 9.125" width="5.0124998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 。这是一个矛盾。
现在很容易显示<年代p一个n class="equation" id="eq16"> ( ) ≥ − 1 ( ) , ≥ 1 。 ( 2 。 2 2 ) 因此,<年代p一个n class="equation" id="EEq17"> ( ) ≥ 2 ( ) , ≥ 2 = 2 1 。 ( 2 。 2 3 ) 让<年代vg height="13.7" id="M122" style="vertical-align:-3.25793pt;width:41.487499px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.487499 13.7" width="41.487499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 3 ≥ 2 是这样的,<年代vg height="14.6" id="M123" style="vertical-align:-3.13504pt;width:53.799999px;" version="1.1" viewbox="0 0 53.799999 14.6" width="53.799999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) ≥ 2 为<年代vg height="13.7" id="M124" style="vertical-align:-3.25793pt;width:35.387501px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.387501 13.7" width="35.387501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ≥ 3 。使用(<一个href="#EEq17">2.23),的nonincreasing特征<年代vg height="15.325" id="M125" style="vertical-align:-2.21957pt;width:28.362499px;" version="1.1" viewbox="0 0 28.362499 15.325" width="28.362499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) ,我们有<年代p一个n class="equation" id="EEq18"> ( ( ) ) ≥ ( ) 2 ( ) , ≥ 3 , ( 2 。 2 4 ) 因此,由(<一个href="#EEq1">1.1),<年代p一个n class="equation" id="EEq19"> ( ) + 2 − ( ] ( ) ( ) ( ) ≤ 0 , ≠ 。 ( 2 。 2 5 ) 分(<一个href="#EEq19">2.25)<年代vg height="15.325" id="M128" style="vertical-align:-2.21957pt;width:45.5625px;" version="1.1" viewbox="0 0 45.5625 15.325" width="45.5625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ( ) ] 和集成<年代vg height="13.05" id="M129" style="vertical-align:-3.25793pt;width:11.1125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.1125 13.05" width="11.1125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 3 来<年代vg height="9.125" id="M130" style="vertical-align:-0.11285pt;width:5.0124998px;" version="1.1" viewbox="0 0 5.0124998 9.125" width="5.0124998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ,我们获得<年代p一个n class="equation" id="eq17"> 3 ≤ < 1 − − − 1 − + ( ) 1 − − 3 1 − + ( 1 − ) 2 − 3 ( ] ( ) ( ) ≤ 0 ( 2 。 2 6 ) 这显然意味着<年代p一个n class="equation" id="EEq20"> 3 ≤ < + ( 1 − ) 2 − 3 ( ] ( ) ( ) ≤ 3 1 − , ( 2 。 2 7 ) 在哪里<年代p一个n class="equation" id="EEq21"> = 1 − 1 − 1 − 1 − 。 ( 2 。 2 8 ) 自<年代vg height="16.75" id="M134" style="vertical-align:-2.21957pt;width:160.1125px;" version="1.1" viewbox="0 0 160.1125 16.75" width="160.1125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 1 − ( 1 − ) 1 − ≥ ( 1 − ) 为<年代vg height="13.45" id="M135" style="vertical-align:-2.21957pt;width:66.125px;" version="1.1" viewbox="0 0 66.125 13.45" width="66.125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ ( 0 , ∞ ) 和<年代vg height="11.0625" id="M136" style="vertical-align:-0.30096pt;width:63.349998px;" version="1.1" viewbox="0 0 63.349998 11.0625" width="63.349998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 0 < < 1 ,通过<年代p一个n class="equation" id="eq18"> = , ( 2 。 2 9 ) 我们看到从(<一个href="#EEq21">2.28),<年代p一个n class="equation" id="eq19"> ≥ ( 1 − ) 。 ( 2 。 3 0 ) 但是,(<一个href="#EEq18">2.24)给<年代p一个n class="equation" id="eq20"> ≥ 2 ≥ 2 , ( 2 。 3 1 ) 因此<年代p一个n class="equation" id="EEq22"> ≥ ( 1 − ) 2 − 。 ( 2 。 3 2 )
最后,(<一个href="#EEq20">2.27)和(<一个href="#EEq22">2.32)导致<年代p一个n class="equation" id="eq21"> ∞ 3 ( ] ( ) ( ) + 3 < < ∞ < ∞ , ( 2 。 3 3 ) 这与(<一个href="#EEq16">2.20)。证明已经完成。

例2.3。考虑到脉冲时滞微分方程<年代p一个n class="equation" id="EEq23"> ( ) + ( − 1 ) − 2 | | | | ( − 1 ) − 1 / 2 ( − 1 ) = 0 , ≠ , Δ | | ( ) = + ( − 1 ) − 1 | | | | ( − 1 ) − 1 / 2 | | ( − 1 ) = 0 , Δ ( ) = = 0 , ( 2 。 3 4 ) 在哪里<年代vg height="12.3" id="M143" style="vertical-align:-1.29163pt;width:32.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.224998 12.3" width="32.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ≥ 2 和<年代vg height="12.3" id="M144" style="vertical-align:-1.29163pt;width:32.1875px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.1875 12.3" width="32.1875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ≥ 2 。
我们可以看到,<年代vg height="13.45" id="M145" style="vertical-align:-2.21957pt;width:73.175003px;" version="1.1" viewbox="0 0 73.175003 13.45" width="73.175003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) = − 1 ,<年代vg height="10.9125" id="M146" style="vertical-align:-0.17555pt;width:48.299999px;" version="1.1" viewbox="0 0 48.299999 10.9125" width="48.299999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = 1 / 2 ,<年代vg height="16.8375" id="M147" style="vertical-align:-2.29482pt;width:96.8125px;" version="1.1" viewbox="0 0 96.8125 16.8375" width="96.8125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) = ( − 1 ) − 2 ,<年代vg height="18.012501" id="M148" style="vertical-align:-3.2316pt;width:91.150002px;" version="1.1" viewbox="0 0 91.150002 18.012501" width="91.150002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = ( − 1 ) − 1 ,<年代vg height="14.5875" id="M149" style="vertical-align:-3.2316pt;width:42.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 42.724998 14.5875" width="42.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = 。自<年代p一个n class="equation" id="eq22"> ∞ ( − 1 ) − 3 / 2 + ∞ ( − 1 ) − 1 / 2 = ∞ , ( 2 。 3 5 ) 应用定理<一个href="#thm4">2。2我们得出这样的结论:每个解决方案(<一个href="#EEq23">2.34)是振荡。
我们注意到如果方程不受任何脉冲条件下,自<年代p一个n class="equation" id="eq23"> ∞ ( − 1 ) − 5 / 2 < ∞ , ( 2 。 3 6 ) 这个方程<年代p一个n class="equation" id="eq24"> ( ) + ( − 1 ) − 2 | | | | ( − 1 ) − 1 / 2 ( − 1 ) = 0 ( 2 。 3 7 ) 有一个解决方案,建立定理呢<一个href="#thm1">1.1。

现在让我们考虑(<一个href="#EEq1">1.1)当<年代vg height="13.45" id="M153" style="vertical-align:-2.21957pt;width:47.712502px;" version="1.1" viewbox="0 0 47.712502 13.45" width="47.712502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) = 。也就是说,<年代p一个n class="equation" id="EEq24"> + ( ) | | − 1 = 0 , ≠ , Δ | | = + | | − 1 | | = 0 , Δ = = 0 , ( 2 。 3 8 ) 在哪里<年代vg height="11.0625" id="M155" style="vertical-align:-0.30096pt;width:63.349998px;" version="1.1" viewbox="0 0 63.349998 11.0625" width="63.349998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 0 < < 1 和<年代vg height="11.05" id="M156" style="vertical-align:-3.2316pt;width:26.6875px;" version="1.1" viewbox="0 0 26.6875 11.05" width="26.6875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 给出了(a)和(b)。

下面的定理定理的延伸<一个href="#thm2">1.2。请注意,没有条件对迹象<年代vg height="13.55" id="M157" style="vertical-align:-2.29482pt;width:23.0625px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.0625 13.55" width="23.0625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 和<年代vg height="14.775" id="M158" style="vertical-align:-3.2316pt;width:28.8375px;" version="1.1" viewbox="0 0 28.8375 14.775" width="28.8375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> { } 。

<年代p一个n class="statement" id="thm5">定理2.4。如果<年代p一个n class="equation" id="EEq25"> ∞ ( ) + ∞ = ∞ ( 2 。 3 9 ) 对于一些<年代vg height="13.55" id="M160" style="vertical-align:-2.29482pt;width:61.787498px;" version="1.1" viewbox="0 0 61.787498 13.55" width="61.787498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ ( 0 , ] ,然后每个解决方案(<一个href="#EEq24">2.38)是振荡。

证明。假设相反,(<一个href="#EEq24">2.38)有一个非振动解<年代vg height="13.45" id="M161" style="vertical-align:-2.21957pt;width:24.025px;" version="1.1" viewbox="0 0 24.025 13.45" width="24.025" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 这样<年代vg height="13.45" id="M162" style="vertical-align:-2.21957pt;width:51.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 51.224998 13.45" width="51.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) > 0 对所有<年代vg height="13.7" id="M163" style="vertical-align:-3.25793pt;width:35.387501px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.387501 13.7" width="35.387501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ≥ 0 对于一些<年代vg height="14.75" id="M164" style="vertical-align:-3.25793pt;width:38.3125px;" version="1.1" viewbox="0 0 38.3125 14.75" width="38.3125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 0 ≥ 0 。证明当相似<年代vg height="13.45" id="M165" style="vertical-align:-2.21957pt;width:24.025px;" version="1.1" viewbox="0 0 24.025 13.45" width="24.025" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 最终是负的。我们设置<年代p一个n class="equation" id="eq25"> ( ) = − 1 ( ) 1 − , ≥ 0 。 ( 2 。 4 0 ) 不难看到<年代p一个n class="equation" id="EEq26"> ( ) = ( − 1 ) − 2 ( ] ( ) 1 − + ( 1 − ) − 1 ( ] ( ) − ( ) , ≠ , ( 2 。 4 1 ) 因此<年代p一个n class="equation" id="EEq27"> | | Δ ′ = = ( 1 − ) − 1 。 ( 2 。 4 2 ) 从(<一个href="#EEq26">2.41),我们有<年代p一个n class="equation" id="eq26"> − 1 − 2 ( ) = ( 1 − ) ( ) − ( ) − ( 1 − ) − 2 − − 1 ( ) ( ) − ( ) 2 , ( 2 。 4 3 ) 所以<年代p一个n class="equation" id="EEq28"> − 1 − 2 ( ) ≤ ( 1 − ) ( ) , ≠ 。 ( 2 。 4 4 ) 鉴于(<一个href="#EEq27">2.42),通过一个简单的集成(<一个href="#EEq28">2.44),我们有<年代p一个n class="equation" id="eq27"> 0 − 1 − 2 ( ) = − 1 − 2 | | ( ) 0 − 0 ≤ < Δ − + 1 ( | | ) = − 0 ( − 1 − ) − ( ) = − + 1 ( ) − 0 − + 1 0 − 0 ≤ < ( 1 − ) − ( − − 1 ) − | | ( ) 0 + ( − ) ( − − 1 ) 0 − 1 − ( ) , ( 2 。 4 5 ) 结合(<一个href="#EEq28">2.44)导致<年代p一个n class="equation" id="eq28"> − + 1 ′ ( ) ≤ 0 − + 1 ′ 0 − ( − + 1 ) 0 − 0 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ + ( 1 − ) 0 ≤ < + 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ 。 ( ) ( 2 。 4 6 ) 最后,通过使用(<一个href="#EEq25">2.39)在过去的不平等,我们看到有一个<年代vg height="13.05" id="M173" style="vertical-align:-3.25793pt;width:41.487499px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.487499 13.05" width="41.487499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 1 > 0 这样<年代p一个n class="equation" id="eq29"> ′ ( ) ≤ − − − 1 , ≥ 1 , ( 2 。 4 7 ) 然而,这意味着什么<年代vg height="13.45" id="M175" style="vertical-align:-2.21957pt;width:81.074997px;" version="1.1" viewbox="0 0 81.074997 13.45" width="81.074997" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) → − ∞ 作为<年代vg height="9.125" id="M176" style="vertical-align:-0.11285pt;width:47.849998px;" version="1.1" viewbox="0 0 47.849998 9.125" width="47.849998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> → ∞ 一个矛盾,<年代vg height="13.45" id="M177" style="vertical-align:-2.21957pt;width:51.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 51.224998 13.45" width="51.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) > 0 。证明已经完成。

例2.5。考虑脉冲微分方程<年代p一个n class="equation" id="EEq29"> + − 7 / 3 | | − 1 / 2 = 0 , ≠ , Δ | | = + − 1 / 6 | | − 1 / 2 | | = 0 , Δ = = 0 , ( 2 。 4 8 ) 在哪里<年代vg height="12.3" id="M179" style="vertical-align:-1.29163pt;width:32.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.224998 12.3" width="32.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ≥ 1 和<年代vg height="12.3" id="M180" style="vertical-align:-1.29163pt;width:32.1875px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.1875 12.3" width="32.1875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ≥ 1 。
我们有<年代vg height="16.637501" id="M181" style="vertical-align:-2.29482pt;width:61.950001px;" version="1.1" viewbox="0 0 61.950001 16.637501" width="61.950001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) = 7 / 3 ,<年代vg height="10.9125" id="M182" style="vertical-align:-0.17555pt;width:48.299999px;" version="1.1" viewbox="0 0 48.299999 10.9125" width="48.299999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = 1 / 2 ,<年代vg height="17.975" id="M183" style="vertical-align:-3.2316pt;width:63.787498px;" version="1.1" viewbox="0 0 63.787498 17.975" width="63.787498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = − 1 / 6 ,<年代vg height="14.5875" id="M184" style="vertical-align:-3.2316pt;width:42.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 42.724998 14.5875" width="42.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = 。采取<年代vg height="13.55" id="M185" style="vertical-align:-2.29482pt;width:48.212502px;" version="1.1" viewbox="0 0 48.212502 13.55" width="48.212502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = 1 / 3 我们看到从(<一个href="#EEq24">2.38),<年代p一个n class="equation" id="eq30"> ∞ − 2 + ∞ − 1 / 3 = ∞ 。 ( 2 。 4 9 ) 从定理的条件<一个href="#thm5">2。4感到满意,每一个解决方案(<一个href="#EEq29">2.48)是振荡。
注意,如果没有冲动,<年代p一个n class="equation" id="eq31"> ∞ − 2 < ∞ , ( 2 。 5 0 ) 这个方程<年代p一个n class="equation" id="eq32"> + − 7 / 3 | | − 1 / 2 = 0 ( 2 。 5 1 ) 由定理振荡<一个href="#thm2">1.2。

承认

这项工作是支持的部分METU-B AP(项目没有:01-01-2011-003)。