一些振荡条件建立了二阶非线性中立型微分方程的混合类型<年代vg height="17.4" id="M1" style="vertical-align:-3.13504pt;width:453.27499px;" version="1.1" viewbox="0 0 453.27499 17.4" width="453.27499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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,<年代vg height="13.7" id="M2" style="vertical-align:-3.25793pt;width:35.387501px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.387501 13.7" width="35.387501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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0
,在那里<年代vg height="13.6125" id="M3" style="vertical-align:-2.34499pt;width:35.262501px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.262501 13.6125" width="35.262501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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=
1
是一个奇怪的正整数的除法。我们的结果推广了文献中给出的结果。
<年代pan class="end-abs">
1。介绍 本文涉及的振荡行为二阶非线性中立型微分方程的混合类型<年代pan class="equation" id="EEq1.1">
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1
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1
)
在这篇文章中,我们将假定下列条件。<年代pan class="list">(一个<年代ub>1)
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,<年代vg height="10.8375" id="M6" style="vertical-align:-3.2316pt;width:12.15px;" version="1.1" viewbox="0 0 12.15 10.8375" width="12.15" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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,<年代vg height="10.8375" id="M7" style="vertical-align:-3.2316pt;width:13.325px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.325 10.8375" width="13.325" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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,<年代vg height="12.8875" id="M8" style="vertical-align:-1.76814pt;width:46.512501px;" version="1.1" viewbox="0 0 46.512501 12.8875" width="46.512501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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1
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2
,都是正的常数; (一个<年代ub>2)
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0
,
8
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,<年代vg height="12.8875" id="M10" style="vertical-align:-1.76814pt;width:46.512501px;" version="1.1" viewbox="0 0 46.512501 12.8875" width="46.512501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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=
1
,
2
。
的解决方案(1.1 ),我们的意思是一个函数<年代vg height="14.7" id="M11" style="vertical-align:-3.21404pt;width:113.825px;" version="1.1" viewbox="0 0 113.825 14.7" width="113.825" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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,
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)
对于一些<年代vg height="14.3875" id="M12" style="vertical-align:-3.25793pt;width:45.737499px;" version="1.1" viewbox="0 0 45.737499 14.3875" width="45.737499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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0
的财产吗<年代vg height="17.775" id="M13" style="vertical-align:-3.21404pt;width:327.11249px;" version="1.1" viewbox="0 0 327.11249 17.775" width="327.11249" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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和满足(1.1 )<年代vg height="14.7" id="M14" style="vertical-align:-3.21404pt;width:46.75px;" version="1.1" viewbox="0 0 46.75 14.7" width="46.75" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
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,
8
)
。是习惯,一个解决方案(1.1 )振荡如果任意大0<年代vg height="14.75" id="M15" style="vertical-align:-3.25793pt;width:42.5px;" version="1.1" viewbox="0 0 42.5 14.75" width="42.5" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
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0
,
8
)
,否则,它被称为非振动。方程(1.1 )据说如果其所有的解决方案都是振荡振荡。
中立型泛函微分方程有很多应用在电力网络。例如,他们经常用于分布式网络的研究包含无损传输线增加高速电脑的无损耗传输线用于互连开关电路;参见[1 ]。
最近,许多结果取得了nonneutral连续和离散方程的振荡和中立型泛函微分方程,我们参考读者报纸2 - - - - - -35 ),引用文献。
费罗斯(2 建立一些Philos-type振荡标准二阶线性微分方程<年代pan class="equation" id="eq1">
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在[3 - - - - - -5 ),作者给了一切解振动的一些充分条件的二阶半线性微分方程<年代pan class="equation" id="eq2">
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3
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利用黎卡提微分替换技术。
Zhang et al。15 )检查并且中立的振动微分方程<年代pan class="equation" id="eq3">
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一些振荡以下标准二阶拟线性中立型微分方程<年代pan class="equation" id="eq4">
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5
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获得了(12 - - - - - -17 ]。
然而,很少有结果关于中立型微分方程的振动性质与混合参数,看报纸20. - - - - - -24 ]。在[25 ),作者建立了振荡的标准混合中性方程如下:<年代pan class="equation" id="EEq1.2">
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6
)
在这里<年代vg height="10.925" id="M21" style="vertical-align:-3.13504pt;width:13.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.375 10.925" width="13.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
1
和<年代vg height="10.925" id="M22" style="vertical-align:-3.13504pt;width:13.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.375 10.925" width="13.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
2
非负实值函数。格雷斯(26 获得一些奇数阶中立型微分方程的振动性定理<年代pan class="equation" id="eq5">
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7
)
在哪里<年代vg height="12.3" id="M24" style="vertical-align:-1.29163pt;width:35.099998px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.099998 12.3" width="35.099998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
=
1
是奇数。格雷斯(27 和严28 )获得的几个充分条件的高阶中立型泛函微分方程解的振动性的形式<年代pan class="equation" id="eq6">
(
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8
)
在哪里<年代vg height="9.875" id="M26" style="vertical-align:-2.29482pt;width:7.9124999px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.9124999 9.875" width="7.9124999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
和<年代vg height="12.925" id="M27" style="vertical-align:-1.90608pt;width:12.325px;" version="1.1" viewbox="0 0 12.325 12.925" width="12.325" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
非负实数。
显然,(1.6 (的)是一个特例1.1 )。本文的目的是研究的振荡行为(1.1 )。
在续集中,当我们编写一个函数不等式没有指定域的有效性,我们认为它适用于所有足够大<年代vg height="9.125" id="M28" style="vertical-align:-0.11285pt;width:5.0124998px;" version="1.1" viewbox="0 0 5.0124998 9.125" width="5.0124998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
。
2。主要结果在下面,我们给我们的结果。
<年代pan class="statement" id="thm2.1">定理2.1。假设<年代vg height="12.5" id="M29" style="vertical-align:-3.2316pt;width:44.737499px;" version="1.1" viewbox="0 0 44.737499 12.5" width="44.737499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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>
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,<年代vg height="12.8875" id="M30" style="vertical-align:-1.76814pt;width:51.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 51.724998 12.8875" width="51.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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。如果<年代pan class="equation" id="EEq2.1">
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为<年代vg height="12.8875" id="M34" style="vertical-align:-1.76814pt;width:46.512501px;" version="1.1" viewbox="0 0 46.512501 12.8875" width="46.512501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
=
1
,
2
,然后每个解决方案(1.1 )振荡。
证明。让<年代vg height="7.1624999" id="M35" style="vertical-align:-0.11285pt;width:8.7250004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.7250004 7.1624999" width="8.7250004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
是一个非振动解的解决方案(1.1 )。不失一般性,我们假设存在<年代vg height="13.7" id="M36" style="vertical-align:-3.25793pt;width:41.487499px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.487499 13.7" width="41.487499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
1
=
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0
这样<年代vg height="13.45" id="M37" style="vertical-align:-2.21957pt;width:51.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 51.224998 13.45" width="51.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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(
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)
>
0
,<年代vg height="14.6" id="M38" style="vertical-align:-3.13504pt;width:88.175003px;" version="1.1" viewbox="0 0 88.175003 14.6" width="88.175003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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1
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>
0
,<年代vg height="14.6" id="M39" style="vertical-align:-3.13504pt;width:93.387497px;" version="1.1" viewbox="0 0 93.387497 14.6" width="93.387497" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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(
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2
)
>
0
,<年代vg height="14.6" id="M40" style="vertical-align:-3.13504pt;width:89.349998px;" version="1.1" viewbox="0 0 89.349998 14.6" width="89.349998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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(
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1
)
>
0
,<年代vg height="14.6" id="M41" style="vertical-align:-3.13504pt;width:84.137497px;" version="1.1" viewbox="0 0 84.137497 14.6" width="84.137497" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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(
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2
)
>
0
对所有<年代vg height="13.55" id="M42" style="vertical-align:-3.13504pt;width:35.387501px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.387501 13.55" width="35.387501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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。设置<年代pan class="equation" id="eq7">
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,<年代vg height="13.55" id="M45" style="vertical-align:-2.29482pt;width:55.587502px;" version="1.1" viewbox="0 0 55.587502 13.55" width="55.587502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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,<年代pan class="equation" id="eq8">
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2
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。
(
2
。
6
)
请注意,<年代vg height="14.125" id="M49" style="vertical-align:-2.34499pt;width:58.612499px;" version="1.1" viewbox="0 0 58.612499 14.125" width="58.612499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
(
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)
=
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,<年代vg height="13.6125" id="M50" style="vertical-align:-2.34499pt;width:35.262501px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.262501 13.6125" width="35.262501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
=
1
,<年代vg height="13.45" id="M51" style="vertical-align:-2.21957pt;width:66.125px;" version="1.1" viewbox="0 0 66.125 13.45" width="66.125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
吗?
(
0
,
8
)
是一个凸函数。因此,通过凸函数的定义,我们获得<年代pan class="equation" id="EEq2.5">
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+
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1
2
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(
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(
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。
7
)
使用不平等(2.7 ),我们得到<年代pan class="equation" id="eq9">
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(
2
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8
)
同样的,我们获得<年代pan class="equation" id="eq10">
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2
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2
。
(
2
。
9
)
因此,从(2.6 ),我们有<年代pan class="equation" id="EEq2.6">
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吗?
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1
(
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)
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2
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。
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(
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。
1
0
)
案例1。假设<年代vg height="15.325" id="M56" style="vertical-align:-2.21957pt;width:54.775002px;" version="1.1" viewbox="0 0 54.775002 15.325" width="54.775002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
吗?
(
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)
>
0
。然后,<年代vg height="15.4125" id="M57" style="vertical-align:-2.29482pt;width:54.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 54.724998 15.4125" width="54.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
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(
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)
>
0
。鉴于(2.10 ),我们看到<年代pan class="equation" id="eq11">
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2
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1
1
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,我们发现<年代pan class="equation" id="eq12">
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(
2
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1
2
)
结合两个不等式,我们获得不平等<年代pan class="equation" id="eq13">
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。
(
2
。
1
3
)
因此,<年代vg height="9.8625002" id="M62" style="vertical-align:-2.29482pt;width:7.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.875 9.8625002" width="7.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
是一个积极的增加微分不等式解决方案<年代pan class="equation" id="EEq2.7">
? ?
吗?
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(
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2
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。
(
2
。
1
4
)
然而,通过(11 ),条件(2.1 )与不平等的增加正解的存在(2.14 )。例2。假设<年代vg height="15.325" id="M64" style="vertical-align:-2.21957pt;width:54.775002px;" version="1.1" viewbox="0 0 54.775002 15.325" width="54.775002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
吗?
(
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)
<
0
。然后,<年代vg height="15.4125" id="M65" style="vertical-align:-2.29482pt;width:54.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 54.724998 15.4125" width="54.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
吗?
(
? ?
)
<
0
。鉴于(2.10 ),我们看到<年代pan class="equation" id="eq14">
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吗?
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1
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2
。
1
5
)
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,我们发现<年代pan class="equation" id="eq15">
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1
吗?
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1
吗?
。
(
2
。
1
7
)
因此,<年代vg height="9.8625002" id="M70" style="vertical-align:-2.29482pt;width:7.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.875 9.8625002" width="7.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
是一个积极的降低微分不等式解决方案<年代pan class="equation" id="EEq2.8">
? ?
吗?
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(
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1
(
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)
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2
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2
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1
- - - - - -
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1
吗?
。
(
2
。
1
8
)
然而,通过(11 ),条件(2.2 )与一个积极的存在减少不平等的解决方案(2.18 )。
2.2的话。当<年代vg height="13.6125" id="M72" style="vertical-align:-2.34499pt;width:35.262501px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.262501 13.6125" width="35.262501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
=
1
,定理2.1 涉及到的结果(25 定理1]。
定理2.3。让<年代vg height="14.7125" id="M73" style="vertical-align:-3.2316pt;width:124.9125px;" version="1.1" viewbox="0 0 124.9125 14.7125" width="124.9125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
? ?
=
(
? ?
? ?
- - - - - -
? ?
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)
/
2
>
0
,<年代vg height="12.8875" id="M74" style="vertical-align:-1.76814pt;width:56.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 56.9375 12.8875" width="56.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
=
1
,
2
。假设,<年代vg height="12.8875" id="M75" style="vertical-align:-1.76814pt;width:46.512501px;" version="1.1" viewbox="0 0 46.512501 12.8875" width="46.512501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
=
1
,
2
,存在功能<年代pan class="equation" id="EEq2.9">
? ?
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1
吗?
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0
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,
8
,
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(
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0
,
(
- - - - - -
1
)
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0
,
(
2
。
1
9
)
这样<年代pan class="equation" id="EEq2.10">
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2
(
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)
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- - - - - -
1
吗?
2
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2
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1
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+
(
- - - - - -
1
)
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吗?
,
(
2
。
2
0
)
在哪里<年代vg height="14.575" id="M78" style="vertical-align:-3.2316pt;width:16.35px;" version="1.1" viewbox="0 0 16.35 14.575" width="16.35" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
? ?
在(2.3 )<年代vg height="12.8875" id="M79" style="vertical-align:-1.76814pt;width:46.512501px;" version="1.1" viewbox="0 0 46.512501 12.8875" width="46.512501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
=
1
,
2
。如果一阶微分不等式<年代pan class="equation" id="EEq2.11">
? ?
吗?
(
? ?
)
+
(
- - - - - -
1
)
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+
1
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吗?
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+
(
- - - - - -
1
)
? ?
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吗?
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? ?
+
(
- - - - - -
1
)
? ?
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? ?
吗?
=
0
(
2
。
2
1
)
最终没有负面的解决方案<年代vg height="10.8625" id="M81" style="vertical-align:-0.13794pt;width:32.1875px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.1875 10.8625" width="32.1875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
=
1
最终,没有积极的解决方案<年代vg height="10.8625" id="M82" style="vertical-align:-0.13794pt;width:32.1875px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.1875 10.8625" width="32.1875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
=
2
,然后(1.1 )是振荡。
证明。让<年代vg height="7.1624999" id="M83" style="vertical-align:-0.11285pt;width:8.7250004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.7250004 7.1624999" width="8.7250004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
是一个非振动解的解决方案(1.1 )。不失一般性,我们假设存在<年代vg height="13.7" id="M84" style="vertical-align:-3.25793pt;width:41.487499px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.487499 13.7" width="41.487499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
1
=
? ?
0
这样<年代vg height="13.45" id="M85" style="vertical-align:-2.21957pt;width:51.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 51.224998 13.45" width="51.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
(
? ?
)
>
0
,<年代vg height="14.6" id="M86" style="vertical-align:-3.13504pt;width:82.974998px;" version="1.1" viewbox="0 0 82.974998 14.6" width="82.974998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
(
? ?
- - - - - -
? ?
1
)
>
0
,<年代vg height="14.6" id="M87" style="vertical-align:-3.13504pt;width:88.175003px;" version="1.1" viewbox="0 0 88.175003 14.6" width="88.175003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
(
? ?
+
? ?
2
)
>
0
,<年代vg height="14.6" id="M88" style="vertical-align:-3.13504pt;width:89.349998px;" version="1.1" viewbox="0 0 89.349998 14.6" width="89.349998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
(
? ?
- - - - - -
? ?
1
)
>
0
,<年代vg height="14.6" id="M89" style="vertical-align:-3.13504pt;width:84.137497px;" version="1.1" viewbox="0 0 84.137497 14.6" width="84.137497" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
(
? ?
+
? ?
2
)
>
0
对所有<年代vg height="13.55" id="M90" style="vertical-align:-3.13504pt;width:35.387501px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.387501 13.55" width="35.387501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
=
? ?
1
。定义<年代vg height="7.375" id="M91" style="vertical-align:-0.17555pt;width:7.9250002px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.9250002 7.375" width="7.9250002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
和<年代vg height="9.8625002" id="M92" style="vertical-align:-2.29482pt;width:7.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.875 9.8625002" width="7.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
在定理2.1 。在定理的证明2.1 我们得到了(2.10 )。案例1。假设<年代vg height="15.325" id="M93" style="vertical-align:-2.21957pt;width:54.775002px;" version="1.1" viewbox="0 0 54.775002 15.325" width="54.775002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
吗?
(
? ?
)
>
0
。很明显,<年代vg height="15.4125" id="M94" style="vertical-align:-2.29482pt;width:54.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 54.724998 15.4125" width="54.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
吗?
(
? ?
)
>
0
。然后,就像在案件1 的定理2.1 ,我们发现<年代vg height="9.8625002" id="M95" style="vertical-align:-2.29482pt;width:7.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.875 9.8625002" width="7.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
是一个积极的增加不平等的解决方案(2.14 )。让<年代vg height="16.4625" id="M96" style="vertical-align:-3.13504pt;width:178.0625px;" version="1.1" viewbox="0 0 178.0625 16.4625" width="178.0625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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。然后<年代vg height="14.6" id="M97" style="vertical-align:-3.13504pt;width:56.0625px;" version="1.1" viewbox="0 0 56.0625 14.6" width="56.0625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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。使用(2.19 )和(2.20 ),我们得到<年代pan class="equation" id="eq17">
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。然后,<年代vg height="7.4250002" id="M100" style="vertical-align:-0.11285pt;width:8.0375004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.0375004 7.4250002" width="8.0375004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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是一个积极的解决方案(2.21 )<年代vg height="10.8625" id="M101" style="vertical-align:-0.13794pt;width:32.1875px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.1875 10.8625" width="32.1875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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=
2
,这是一个矛盾。例2。假设<年代vg height="15.325" id="M102" style="vertical-align:-2.21957pt;width:54.775002px;" version="1.1" viewbox="0 0 54.775002 15.325" width="54.775002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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。很明显,<年代vg height="15.4125" id="M103" style="vertical-align:-2.29482pt;width:54.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 54.724998 15.4125" width="54.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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吗?
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0
。然后,就像在案件2 的定理2.1 ,我们发现<年代vg height="9.8625002" id="M104" style="vertical-align:-2.29482pt;width:7.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.875 9.8625002" width="7.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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是一个积极的减少不平等的解决方案(2.18 )。让<年代vg height="16.4625" id="M105" style="vertical-align:-3.13504pt;width:178.0625px;" version="1.1" viewbox="0 0 178.0625 16.4625" width="178.0625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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。然后<年代vg height="14.6" id="M106" style="vertical-align:-3.13504pt;width:56.0625px;" version="1.1" viewbox="0 0 56.0625 14.6" width="56.0625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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。使用(2.19 )和(2.20 ),我们得到<年代pan class="equation" id="eq18">
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。然后,<年代vg height="7.4250002" id="M109" style="vertical-align:-0.11285pt;width:8.0375004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.0375004 7.4250002" width="8.0375004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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是一个消极的解决方案(2.21 )<年代vg height="10.8625" id="M110" style="vertical-align:-0.13794pt;width:32.1875px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.1875 10.8625" width="32.1875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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=
1
。这一矛盾就完成了这个定理的证明。
2.4的话。当<年代vg height="13.6125" id="M111" style="vertical-align:-2.34499pt;width:35.262501px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.262501 13.6125" width="35.262501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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=
1
,定理2.3 涉及到的结果(25 定理2]。
从定理2.3 结果给出了(12 (),我们有以下振动标准1.1 )。
<年代pan class="statement" id="coro2.1">推论2.5。让<年代vg height="14.7125" id="M112" style="vertical-align:-3.2316pt;width:124.9125px;" version="1.1" viewbox="0 0 124.9125 14.7125" width="124.9125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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,<年代vg height="12.8875" id="M113" style="vertical-align:-1.76814pt;width:51.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 51.724998 12.8875" width="51.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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=
1
,
2
。假设(2.19 )和(2.20 )坚持<年代vg height="12.8875" id="M114" style="vertical-align:-1.76814pt;width:46.512501px;" version="1.1" viewbox="0 0 46.512501 12.8875" width="46.512501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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。如果<年代pan class="equation" id="EEq2.12">
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1.1 )是振荡。
证明。众所周知(见[12 ]),条件(2.24 不平等)是足够的(2.21 )(<年代vg height="10.8625" id="M117" style="vertical-align:-0.13794pt;width:32.1875px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.1875 10.8625" width="32.1875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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=
1
)最终没有消极的解决方案。另一方面,条件(2.25 不平等)是足够的(2.21 )(<年代vg height="10.8625" id="M118" style="vertical-align:-0.13794pt;width:32.1875px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.1875 10.8625" width="32.1875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
? ?
=
2
)没有最终正解。
为应用程序的结果,我们给出下面的例子。
<年代pan class="statement" id="ex2.1">例2.6。考虑二阶微分方程<年代pan class="equation" id="EEq2.14">
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是常数,<年代vg height="12.5" id="M121" style="vertical-align:-3.2316pt;width:44.737499px;" version="1.1" viewbox="0 0 44.737499 12.5" width="44.737499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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为<年代vg height="12.8875" id="M122" style="vertical-align:-1.76814pt;width:46.512501px;" version="1.1" viewbox="0 0 46.512501 12.8875" width="46.512501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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,<年代vg height="12.8875" id="M124" style="vertical-align:-1.76814pt;width:51.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 51.724998 12.8875" width="51.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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=
1
,
2
。假设<年代vg height="11.0625" id="M125" style="vertical-align:-0.30096pt;width:34.887501px;" version="1.1" viewbox="0 0 34.887501 11.0625" width="34.887501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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>
0
。让<年代vg height="14.7125" id="M126" style="vertical-align:-3.2316pt;width:165.10001px;" version="1.1" viewbox="0 0 165.10001 14.7125" width="165.10001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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,<年代vg height="12.8875" id="M127" style="vertical-align:-1.76814pt;width:51.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 51.724998 12.8875" width="51.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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1
,
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。显然,(2.19 )持有。如果<年代pan class="equation" id="eq19">
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)
为<年代vg height="12.8875" id="M129" style="vertical-align:-1.76814pt;width:46.512501px;" version="1.1" viewbox="0 0 46.512501 12.8875" width="46.512501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
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1
,
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,然后(2.20 )持有。此外,我们看到<年代pan class="equation" id="eq20">
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1
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因此通过推论2.5 ,我们发现(2.26 )是振荡。
确认 作者真诚地感谢裁判的建设性的建议,改善纸的内容。这项研究支持由中国自然科学基金会(11071143、11071143和11071143),中国博士后科学基金资助项目(200902564),和山东省自然科学基金(ZR2010AL002, ZR2009AL003 Y2008A28);由济南大学的研究也支持基金为医生(XBS0843)。
