文摘

让<年代vg height="10.325" id="M1" style="vertical-align:-0.0pt;width:13.4125px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.4125 10.325" width="13.4125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 赋范空间<年代vg height="10.325" id="M2" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.6125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.6125 10.325" width="11.6125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 按顺序完成分离拓扑向量空间的领域<年代vg height="11.7" id="M3" style="vertical-align:-0.8151pt;width:12.075px;" version="1.1" viewbox="0 0 12.075 11.7" width="12.075" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ℚ 理性的数字。让<年代vg height="14.8125" id="M4" style="vertical-align:-3.13504pt;width:262.22501px;" version="1.1" viewbox="0 0 262.22501 14.8125" width="262.22501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 1 = { ( , ) ∈ × ∶ 为 为 + 为 为 ≥ } , 和<年代vg height="14.8125" id="M5" style="vertical-align:-3.13504pt;width:258.32501px;" version="1.1" viewbox="0 0 258.32501 14.8125" width="258.32501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 = { ( , ) ∈ × ∶ 为 为 + 为 为 < } 在哪里<年代vg height="11.0625" id="M6" style="vertical-align:-0.30096pt;width:35.637501px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.637501 11.0625" width="35.637501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> > 0 。我们证明Pexiderized Jensen函数方程定义的函数是稳定的<年代vg height="14.6" id="M7" style="vertical-align:-3.13504pt;width:51.325001px;" version="1.1" viewbox="0 0 51.325001 14.6" width="51.325001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 1 ( 2 ) , 和值<年代vg height="10.325" id="M8" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.6125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.6125 10.325" width="11.6125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 。我们认为Pexiderized柯西函数方程。

<年代p一个n class="end-abs">

1。介绍

函数方程<年代vg height="13.55" id="M9" style="vertical-align:-2.29482pt;width:18.0875px;" version="1.1" viewbox="0 0 18.0875 13.55" width="18.0875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 如果任何函数是稳定的吗<年代vg height="9.9375" id="M10" style="vertical-align:-2.34499pt;width:8.4375px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.4375 9.9375" width="8.4375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 满足的方程<年代vg height="13.55" id="M11" style="vertical-align:-2.29482pt;width:18.0875px;" version="1.1" viewbox="0 0 18.0875 13.55" width="18.0875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 约接近真正的解决方案吗<年代vg height="13.55" id="M12" style="vertical-align:-2.29482pt;width:18.0875px;" version="1.1" viewbox="0 0 18.0875 13.55" width="18.0875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 。功能的稳定性方程首次引入了乌兰(<一个href="#B11">11940年)。更准确地说,乌兰提出以下问题:给定一组<年代vg height="14.475" id="M13" style="vertical-align:-3.13504pt;width:17.6875px;" version="1.1" viewbox="0 0 17.6875 14.475" width="17.6875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 1 度量组织<年代vg height="14.6" id="M14" style="vertical-align:-3.13504pt;width:42.924999px;" version="1.1" viewbox="0 0 42.924999 14.6" width="42.924999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( 2 , ) ,一个正数<年代vg height="7.1875" id="M15" style="vertical-align:-0.13794pt;width:7.4749999px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.4749999 7.1875" width="7.4749999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ,确实存在<年代vg height="11.0625" id="M16" style="vertical-align:-0.30096pt;width:35.1875px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.1875 11.0625" width="35.1875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> > 0 这样,如果一个函数<年代vg height="14.475" id="M17" style="vertical-align:-3.13504pt;width:88.962502px;" version="1.1" viewbox="0 0 88.962502 14.475" width="88.962502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∶ 1 → 2 满足不等式<年代vg height="13.6125" id="M18" style="vertical-align:-2.34499pt;width:142.55px;" version="1.1" viewbox="0 0 142.55 13.6125" width="142.55" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ( ) , ( ) ( ) ) < 对所有<年代vg height="14.475" id="M19" style="vertical-align:-3.13504pt;width:59.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 59.9375 14.475" width="59.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> , ∈ 1 ,那么存在一个同态<年代vg height="14.475" id="M20" style="vertical-align:-3.13504pt;width:88.887497px;" version="1.1" viewbox="0 0 88.887497 14.475" width="88.887497" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∶ 1 → 2 这样<年代vg height="13.6125" id="M21" style="vertical-align:-2.34499pt;width:107.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 107.375 13.6125" width="107.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ( ) , ( ) ) < 对所有<年代vg height="14.6" id="M22" style="vertical-align:-3.13504pt;width:52.612499px;" version="1.1" viewbox="0 0 52.612499 14.6" width="52.612499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ 1 吗? 因为它是上面所提到的,这个问题有一个解决方案时,我们说的同态<年代vg height="14.475" id="M23" style="vertical-align:-3.13504pt;width:17.6875px;" version="1.1" viewbox="0 0 17.6875 14.475" width="17.6875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 1 来<年代vg height="14.475" id="M24" style="vertical-align:-3.13504pt;width:17.6875px;" version="1.1" viewbox="0 0 17.6875 14.475" width="17.6875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 是稳定的。人士,1941年Hyers [<一个href="#B3">2)给乌兰的问题的部分解决方案的情况下近似假设添加剂映射<年代vg height="14.475" id="M25" style="vertical-align:-3.13504pt;width:17.6875px;" version="1.1" viewbox="0 0 17.6875 14.475" width="17.6875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 1 和<年代vg height="14.475" id="M26" style="vertical-align:-3.13504pt;width:17.6875px;" version="1.1" viewbox="0 0 17.6875 14.475" width="17.6875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 巴拿赫空间中。青木(<一个href="#B1">3]和Rassias [<一个href="#B8">4人士)提供了一种泛化的Hyers的添加剂和线性映射定理,分别通过允许柯西的区别是无界的。在过去的几十年里几个函数方程的稳定性问题调查了几个数学家。一大串引用有关功能的稳定性方程可以发现在<一个href="#B2">5- - - - - -<一个href="#B9">8]。

2。Hyers-Ulam詹森的函数方程的稳定

荣格调查Hyers-Ulam稳定詹森的方程限制域(<一个href="#B5">9]。在本节中,我们证明当地Hyers-Ulam Pexiderized Jensen函数方程的稳定性在拓扑向量空间中。在这一节中<年代vg height="10.325" id="M27" style="vertical-align:-0.0pt;width:13.4125px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.4125 10.325" width="13.4125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 是赋范空间和<年代vg height="10.325" id="M28" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.6125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.6125 10.325" width="11.6125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 顺序是一个完整的豪斯多夫拓扑向量空间的领域<年代vg height="11.7" id="M29" style="vertical-align:-0.8151pt;width:12.075px;" version="1.1" viewbox="0 0 12.075 11.7" width="12.075" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ℚ 理性的数字。

<年代p一个n class="statement" id="thm2.1">定理2.1。让<年代vg height="10.575" id="M30" style="vertical-align:-0.20064pt;width:12.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 12.625 10.575" width="12.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 是一个非空的有界凸子集<年代vg height="10.325" id="M31" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.6125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.6125 10.325" width="11.6125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 包含原点。假设<年代vg height="13.725" id="M32" style="vertical-align:-2.34499pt;width:108.3375px;" version="1.1" viewbox="0 0 108.3375 13.725" width="108.3375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> , , ℎ ∶ → 满足<年代p一个n class="displayed-label" id="EEq2.1"> 2 + 2 − ( ) − ℎ ( ) ∈ ( 2 。 1 ) 对所有<年代vg height="13.1875" id="M34" style="vertical-align:-2.29482pt;width:55.662498px;" version="1.1" viewbox="0 0 55.662498 13.1875" width="55.662498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> , ∈ 与<年代vg height="13.8625" id="M35" style="vertical-align:-2.37006pt;width:95.462502px;" version="1.1" viewbox="0 0 95.462502 13.8625" width="95.462502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 为 为 + 为 为 ⩾ ,在那里<年代vg height="11.0625" id="M36" style="vertical-align:-0.30096pt;width:35.637501px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.637501 11.0625" width="35.637501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> > 0 。那么存在一个独特的添加剂的映射<年代vg height="10.75" id="M37" style="vertical-align:-0.16302pt;width:81.137497px;" version="1.1" viewbox="0 0 81.137497 10.75" width="81.137497" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∶ → 这样<年代p一个n class="displayed-label" id="EEq2.2"> ( ) − ( ) + ( 0 ) ∈ − , ( 2 。 2 ) ( ) − ( ) + ( 0 ) ∈ 2 ( − ) + − , ( 2 。 3 ) ( ) − ℎ ( ) + ℎ ( 0 ) ∈ 2 ( − ) + − ( 2 。 4 ) 对所有<年代vg height="10.8875" id="M41" style="vertical-align:-0.33858pt;width:39.787498px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.787498 10.8875" width="39.787498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ ℝ ,在那里<年代vg height="10.9375" id="M42" style="vertical-align:-0.20064pt;width:88.599998px;" version="1.1" viewbox="0 0 88.599998 10.9375" width="88.599998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = 3 − 2 和<年代vg height="18.612499" id="M43" style="vertical-align:-2.21957pt;width:64.637497px;" version="1.1" viewbox="0 0 64.637497 18.612499" width="64.637497" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 ( − ) 表示顺序关闭<年代vg height="13.45" id="M44" style="vertical-align:-2.21957pt;width:64.637497px;" version="1.1" viewbox="0 0 64.637497 13.45" width="64.637497" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 ( − ) 。

证明。假设<年代vg height="13.8625" id="M45" style="vertical-align:-2.37006pt;width:95.462502px;" version="1.1" viewbox="0 0 95.462502 13.8625" width="95.462502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 为 为 + 为 为 < 。如果<年代vg height="13.8625" id="M46" style="vertical-align:-2.37006pt;width:94.025002px;" version="1.1" viewbox="0 0 94.025002 13.8625" width="94.025002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 为 为 + 为 为 = 0 ,让<年代vg height="10.75" id="M47" style="vertical-align:-0.33858pt;width:40.599998px;" version="1.1" viewbox="0 0 40.599998 10.75" width="40.599998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ 与<年代vg height="13.8625" id="M48" style="vertical-align:-2.37006pt;width:52.912498px;" version="1.1" viewbox="0 0 52.912498 13.8625" width="52.912498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 为 为 = ,否则<年代p一个n class="displayed-label" id="eq1"> ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ) ∶ = ( + 为 为 ) 为 为 , 我 f 为 为 ⩾ 为 为 ; ( + 为 为 为 为 , 我 f 为 为 ⩾ 为 为 。 ( 2 。 5 ) 很容易验证<年代p一个n class="displayed-label" id="EEq2.5"> 为 − 为 + 为 + 为 ⩾ ; 为 2 为 + 为 − 为 ⩾ ; 为 为 + 为 2 为 ⩾ ; 为 + 为 + 为 为 ⩾ ; 为 为 + 为 为 ⩾ 。 ( 2 。 6 ) 它遵循从(<一个href="#EEq2.1">2。1)和(<一个href="#EEq2.5">2。6),<年代p一个n class="displayed-label" id="EEq2.6"> 2 + 2 − ( ) − ℎ ( ) = 2 + 2 − − ( + ) − ℎ ( − ) 2 + 2 + − ( 2 ) − ℎ ( − ) 2 + 2 2 − − ( 2 ) − ℎ ( ) 2 + 2 2 + − ( + ) − ℎ ( ) 2 + 2 − ( ) − ℎ ( ) ∈ 3 − 2 ( 2 。 7 ) 对所有<年代vg height="13.1875" id="M52" style="vertical-align:-2.29482pt;width:55.662498px;" version="1.1" viewbox="0 0 55.662498 13.1875" width="55.662498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> , ∈ 与<年代vg height="13.8625" id="M53" style="vertical-align:-2.37006pt;width:100.675px;" version="1.1" viewbox="0 0 100.675 13.8625" width="100.675" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 为 为 + 为 为 < 。因此,由(<一个href="#EEq2.1">2。1)和(<一个href="#EEq2.6">2。7),我们有<年代p一个n class="displayed-label" id="EEq2.7"> 2 + 2 − ( ) − ℎ ( ) ∈ 3 − 2 ( 2 。 8 ) 对所有<年代vg height="13.1875" id="M55" style="vertical-align:-2.29482pt;width:55.662498px;" version="1.1" viewbox="0 0 55.662498 13.1875" width="55.662498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> , ∈ 。让<年代vg height="13.55" id="M56" style="vertical-align:-2.29482pt;width:86.5px;" version="1.1" viewbox="0 0 86.5 13.55" width="86.5" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = 0 ( = 0 ) 在(<一个href="#EEq2.7">2。8),我们得到<年代p一个n class="displayed-label" id="EEq2.8"> 2 2 − ( 0 ) − ℎ ( ) ∈ 3 − 2 , 2 2 − ( ) − ℎ ( 0 ) ∈ 3 − 2 ( 2 。 9 ) 对所有<年代vg height="13.1875" id="M58" style="vertical-align:-2.29482pt;width:55.662498px;" version="1.1" viewbox="0 0 55.662498 13.1875" width="55.662498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> , ∈ 。它遵循从(<一个href="#EEq2.7">2。8)和(<一个href="#EEq2.8">2。9),<年代p一个n class="displayed-label" id="EEq2.9"> 2 + 2 − 2 2 − 2 2 + 2 ( 0 ) = 2 + 2 − ( ) − ℎ ( ) − 2 2 − − ( ) − ℎ ( 0 ) 2 2 + ( ] − ( 0 ) − ℎ ( ) 2 ( 0 ) − ( 0 ) − ℎ ( 0 ) ∈ 2 ( − ) ( 2 。 1 0 ) 对所有<年代vg height="13.1875" id="M60" style="vertical-align:-2.29482pt;width:55.662498px;" version="1.1" viewbox="0 0 55.662498 13.1875" width="55.662498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> , ∈ ,在那里<年代vg height="10.9375" id="M61" style="vertical-align:-0.20064pt;width:88.599998px;" version="1.1" viewbox="0 0 88.599998 10.9375" width="88.599998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = 3 − 2 。所以我们从(<一个href="#EEq2.9">2.10),<年代p一个n class="displayed-label" id="EEq2.10"> ( + ) − ( ) − ( ) + ( 0 ) ∈ − ( 2 。 1 1 ) 对所有<年代vg height="13.1875" id="M63" style="vertical-align:-2.29482pt;width:55.662498px;" version="1.1" viewbox="0 0 55.662498 13.1875" width="55.662498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> , ∈ 。设置<年代vg height="9.875" id="M64" style="vertical-align:-2.29482pt;width:35.862499px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.862499 9.875" width="35.862499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = 在(<一个href="#EEq2.9">2.10),我们推断<年代p一个n class="displayed-label" id="EEq2.11"> ( ) − 2 2 + ( 0 ) ∈ − ( 2 。 1 2 ) 对所有<年代vg height="10.75" id="M66" style="vertical-align:-0.33858pt;width:41.387501px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.387501 10.75" width="41.387501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ 。这是很容易证明的<年代p一个n class="displayed-label" id="EEq2.12"> 2 + 1 2 + 1 − ( 2 ) 2 + ( 0 ) 2 + 1 ∈ 1 2 + 1 ( − ) ⊆ − , ( 2 。 1 3 ) ( 2 ) 2 − ( ) + = 1 1 2 ( 0 ) ∈ = 1 1 2 ( − ) ⊆ − ( 2 。 1 4 ) 对所有<年代vg height="10.75" id="M69" style="vertical-align:-0.33858pt;width:41.387501px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.387501 10.75" width="41.387501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ 和所有的整数<年代vg height="12.825" id="M70" style="vertical-align:-1.71797pt;width:35.099998px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.099998 12.825" width="35.099998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ⩾ 1 。自<年代vg height="10.575" id="M71" style="vertical-align:-0.20064pt;width:12.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 12.625 10.575" width="12.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 是一个非空的有界凸子集的<年代vg height="10.325" id="M72" style="vertical-align:-0.0pt;width:13.4125px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.4125 10.325" width="13.4125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 包含原点,<年代vg height="10.575" id="M73" style="vertical-align:-0.20064pt;width:49.924999px;" version="1.1" viewbox="0 0 49.924999 10.575" width="49.924999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> − 是一个非空的有界凸子集的<年代vg height="10.325" id="M74" style="vertical-align:-0.0pt;width:13.4125px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.4125 10.325" width="13.4125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 包含原点。它遵循从(<一个href="#EEq2.12">2.13),<年代p一个n class="displayed-label" id="EEq2.14"> ( 2 ) 2 − ( 2 ) 2 + − 1 = 1 2 + 1 ( 0 ) = − 1 = 2 + 1 2 + 1 − 2 2 + 1 2 + 1 ∈ ( 0 ) − 1 = 1 2 + 1 1 ( − ) ⊆ 2 ( − ) ( 2 。 1 5 ) 对所有<年代vg height="10.75" id="M76" style="vertical-align:-0.33858pt;width:41.387501px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.387501 10.75" width="41.387501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ 和所有的整数<年代vg height="12.825" id="M77" style="vertical-align:-1.71797pt;width:65.574997px;" version="1.1" viewbox="0 0 65.574997 12.825" width="65.574997" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> > ⩾ 0 。让<年代vg height="10.5375" id="M78" style="vertical-align:-0.16302pt;width:12.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 12.8625 10.5375" width="12.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 是一个任意的社区的起源<年代vg height="10.325" id="M79" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.6125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.6125 10.325" width="11.6125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 。自<年代vg height="10.575" id="M80" style="vertical-align:-0.20064pt;width:49.924999px;" version="1.1" viewbox="0 0 49.924999 10.575" width="49.924999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> − 是有界的,存在一个有理数<年代vg height="11.0625" id="M81" style="vertical-align:-0.30096pt;width:32.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.224998 11.0625" width="32.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> > 0 这样<年代vg height="13.45" id="M82" style="vertical-align:-2.21957pt;width:93.837502px;" version="1.1" viewbox="0 0 93.837502 13.45" width="93.837502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( − ) ⊆ 。选择<年代vg height="14.5375" id="M83" style="vertical-align:-3.25793pt;width:44.287498px;" version="1.1" viewbox="0 0 44.287498 14.5375" width="44.287498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 0 ∈ ℕ 这样<年代vg height="11.7875" id="M84" style="vertical-align:-0.30096pt;width:50.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 50.625 11.7875" width="50.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 0 > 1 。让<年代vg height="10.75" id="M85" style="vertical-align:-0.33858pt;width:41.387501px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.387501 10.75" width="41.387501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ 和<年代vg height="12.675" id="M86" style="vertical-align:-1.76814pt;width:55.799999px;" version="1.1" viewbox="0 0 55.799999 12.675" width="55.799999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> , ∈ ℕ 与<年代vg height="13.95" id="M87" style="vertical-align:-3.25793pt;width:71.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 71.625 13.95" width="71.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ⩾ ⩾ 0 。然后(<一个href="#EEq2.14">2.15)意味着<年代p一个n class="displayed-label" id="EEq2.15"> ( 2 ) 2 − ( 2 ) 2 + ( 2 − − 2 − ) ( 0 ) ∈ 。 ( 2 。 1 6 ) 因此,序列<年代vg height="14.3375" id="M89" style="vertical-align:-2.34499pt;width:78.050003px;" version="1.1" viewbox="0 0 78.050003 14.3375" width="78.050003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> { 2 − ( 2 ) } 形成一个柯西序列<年代vg height="10.325" id="M90" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.6125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.6125 10.325" width="11.6125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 。序列的完整性<年代vg height="10.325" id="M91" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.6125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.6125 10.325" width="11.6125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 的极限<年代vg height="15.4125" id="M92" style="vertical-align:-3.20526pt;width:168.675px;" version="1.1" viewbox="0 0 168.675 15.4125" width="168.675" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) = l 我 米 → ∞ 2 − ( 2 ) 对于每一个存在<年代vg height="10.75" id="M93" style="vertical-align:-0.33858pt;width:41.387501px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.387501 10.75" width="41.387501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ 。(<一个href="#EEq2.2">2。2从()之前<一个href="#EEq2.12">2.14)。
表明<年代vg height="10.75" id="M94" style="vertical-align:-0.16302pt;width:81.137497px;" version="1.1" viewbox="0 0 81.137497 10.75" width="81.137497" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∶ → 添加剂,取代<年代vg height="7.1624999" id="M95" style="vertical-align:-0.11285pt;width:8.7250004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.7250004 7.1624999" width="8.7250004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 和<年代vg height="9.8625002" id="M96" style="vertical-align:-2.29482pt;width:7.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.875 9.8625002" width="7.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 通过<年代vg height="11.55" id="M97" style="vertical-align:-0.11285pt;width:22.6px;" version="1.1" viewbox="0 0 22.6 11.55" width="22.6" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 和<年代vg height="14.275" id="M98" style="vertical-align:-2.29482pt;width:21.75px;" version="1.1" viewbox="0 0 21.75 14.275" width="21.75" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 分别在(<一个href="#EEq2.10">2.11),然后除以<年代vg height="11.4125" id="M99" style="vertical-align:-0.0pt;width:14px;" version="1.1" viewbox="0 0 14 11.4125" width="14" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 获得<年代p一个n class="displayed-label" id="eq2"> ( 2 ( + ) ) 2 − ( 2 ) 2 − ( 2 y ) 2 + ( 0 ) 2 ∈ 1 2 ( − ) ( 2 。 1 7 ) 对所有<年代vg height="13.1875" id="M101" style="vertical-align:-2.29482pt;width:55.662498px;" version="1.1" viewbox="0 0 55.662498 13.1875" width="55.662498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> , ∈ 和所有的整数<年代vg height="12.825" id="M102" style="vertical-align:-1.71797pt;width:35.099998px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.099998 12.825" width="35.099998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ⩾ 0 。自<年代vg height="15.7375" id="M103" style="vertical-align:-0.20064pt;width:49.924999px;" version="1.1" viewbox="0 0 49.924999 15.7375" width="49.924999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> − 是有界的,采取的极限<年代vg height="7.25" id="M104" style="vertical-align:-0.10033pt;width:50.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 50.724998 7.25" width="50.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> → ∞ ,我们得到<年代vg height="10.55" id="M105" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.325px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.325 10.55" width="11.325" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 是添加剂。它遵循从(<一个href="#EEq2.2">2。2)和(<一个href="#EEq2.8">2。9),<年代p一个n class="displayed-label" id="eq3"> ∈ ( 2 ) − ( 2 ) + ( 0 ) = 2 ( ) − 2 ( ) + 2 ( 0 ) + 2 ( ) − ( 2 ) − ℎ ( 0 ) − 2 ( 0 ) + ( 0 ) + ℎ ( 0 ) 2 ( − ) + − ( 2 。 1 8 ) 对所有<年代vg height="10.75" id="M107" style="vertical-align:-0.33858pt;width:41.387501px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.387501 10.75" width="41.387501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ 。所以我们获得(<一个href="#EEq2.3">2。3)。同样,我们得到了(<一个href="#EEq2.4">2。4)。
证明的独特性<年代vg height="10.55" id="M108" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.325px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.325 10.55" width="11.325" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 假设相反,还有另一种添加剂的映射<年代vg height="10.5375" id="M109" style="vertical-align:-0.16302pt;width:78.525002px;" version="1.1" viewbox="0 0 78.525002 10.5375" width="78.525002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∶ → 令人满意的(<一个href="#EEq2.2">2。2),有一个<年代vg height="10.75" id="M110" style="vertical-align:-0.33858pt;width:40.637501px;" version="1.1" viewbox="0 0 40.637501 10.75" width="40.637501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ 这样<年代vg height="13.55" id="M111" style="vertical-align:-2.29482pt;width:124.9625px;" version="1.1" viewbox="0 0 124.9625 13.55" width="124.9625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = ( ) − ( ) ≠ 0 。所以有一个社区<年代vg height="10.5375" id="M112" style="vertical-align:-0.16302pt;width:12.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 12.8625 10.5375" width="12.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 的起源<年代vg height="10.325" id="M113" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.6125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.6125 10.325" width="11.6125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 这样<年代vg height="13.325" id="M114" style="vertical-align:-2.29482pt;width:40px;" version="1.1" viewbox="0 0 40 13.325" width="40" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∉ ,因为<年代vg height="10.325" id="M115" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.6125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.6125 10.325" width="11.6125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 豪斯多夫。自<年代vg height="10.55" id="M116" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.325px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.325 10.55" width="11.325" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 和<年代vg height="10.325" id="M117" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.225px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.225 10.325" width="11.225" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 满足(<一个href="#EEq2.2">2。2),我们得到<年代vg height="18.612499" id="M118" style="vertical-align:-2.21957pt;width:159.4875px;" version="1.1" viewbox="0 0 159.4875 18.612499" width="159.4875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) − ( ) ∈ 2 ( − ) 对所有<年代vg height="10.75" id="M119" style="vertical-align:-0.33858pt;width:41.387501px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.387501 10.75" width="41.387501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ 。自<年代vg height="15.7375" id="M120" style="vertical-align:-0.20064pt;width:49.924999px;" version="1.1" viewbox="0 0 49.924999 15.7375" width="49.924999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> − 是有界的,存在一个正整数<年代vg height="7.1374998" id="M121" style="vertical-align:-0.10033pt;width:11.225px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.225 7.1374998" width="11.225" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 这样<年代vg height="18.612499" id="M122" style="vertical-align:-2.21957pt;width:107.85px;" version="1.1" viewbox="0 0 107.85 18.612499" width="107.85" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 ( − ) ⊆ 。因此,<年代vg height="13.55" id="M123" style="vertical-align:-2.29482pt;width:177.7375px;" version="1.1" viewbox="0 0 177.7375 13.55" width="177.7375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = ( ) − ( ) ∈ 这是一个矛盾<年代vg height="13.325" id="M124" style="vertical-align:-2.29482pt;width:40px;" version="1.1" viewbox="0 0 40 13.325" width="40" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∉ 。这就完成了证明。

我们应用定理的结果<一个href="#thm2.1">2。1研究添加剂映射的渐近行为。

<年代p一个n class="statement" id="thm2.2">定理2.2。假设<年代vg height="10.325" id="M125" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.6125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.6125 10.325" width="11.6125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 有一个有界凸的0。让<年代vg height="13.725" id="M126" style="vertical-align:-2.34499pt;width:108.3375px;" version="1.1" viewbox="0 0 108.3375 13.725" width="108.3375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> , , ℎ ∶ → 是函数满足<年代p一个n class="displayed-label" id="EEq2.16"> 2 + 2 − ( ) − ℎ ( ) ⟶ 0 一个 年代 为 为 + 为 为 ⟶ ∞ 。 ( 2 。 1 9 ) 然后<年代vg height="13.725" id="M128" style="vertical-align:-2.34499pt;width:181.96249px;" version="1.1" viewbox="0 0 181.96249 13.725" width="181.96249" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> − ( 0 ) , − ( 0 ) , ℎ − ℎ ( 0 ) 添加剂,<年代vg height="13.725" id="M129" style="vertical-align:-2.34499pt;width:197.28751px;" version="1.1" viewbox="0 0 197.28751 13.725" width="197.28751" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> − ( 0 ) = − ( 0 ) = ℎ − ℎ ( 0 ) 。

证明。让<年代vg height="10.575" id="M130" style="vertical-align:-0.20064pt;width:12.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 12.625 10.575" width="12.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 是一个有界凸社区的0<年代vg height="10.325" id="M131" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.6125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.6125 10.325" width="11.6125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 。它遵循从(<一个href="#EEq2.16">2.19),存在越来越序列<年代vg height="14.75" id="M132" style="vertical-align:-3.20526pt;width:35.5625px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.5625 14.75" width="35.5625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> { } 这样<年代p一个n class="displayed-label" id="EEq2.17"> 2 + 2 1 − ( ) − ℎ ( ) ∈ ( 2 。 2 0 ) 对所有<年代vg height="13.1875" id="M134" style="vertical-align:-2.29482pt;width:55.662498px;" version="1.1" viewbox="0 0 55.662498 13.1875" width="55.662498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> , ∈ 与<年代vg height="14.9" id="M135" style="vertical-align:-3.20526pt;width:100.5875px;" version="1.1" viewbox="0 0 100.5875 14.9" width="100.5875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 为 为 + 为 为 ≥ 。应用(<一个href="#EEq2.17">2.20)和定理<一个href="#thm2.1">2。1,我们获得一个序列<年代vg height="14.75" id="M136" style="vertical-align:-3.20526pt;width:99.074997px;" version="1.1" viewbox="0 0 99.074997 14.75" width="99.074997" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> { ∶ → } 独特的添加剂映射满足<年代p一个n class="displayed-label" id="EEq2.18"> 1 ( ) − ( ) + ( 0 ) ∈ ( − ) , 3 ( ) − ( ) + ( 0 ) ∈ ( − ) , 3 ( ) − ℎ ( ) + ℎ ( 0 ) ∈ ( − ) ( 2 。 2 1 ) 对所有<年代vg height="10.75" id="M138" style="vertical-align:-0.33858pt;width:41.387501px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.387501 10.75" width="41.387501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ ,在那里<年代vg height="10.9375" id="M139" style="vertical-align:-0.20064pt;width:88.599998px;" version="1.1" viewbox="0 0 88.599998 10.9375" width="88.599998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = 3 − 2 。自<年代vg height="18.612499" id="M140" style="vertical-align:-2.21957pt;width:56.8125px;" version="1.1" viewbox="0 0 56.8125 18.612499" width="56.8125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( − ) 凸,<年代vg height="18.612499" id="M141" style="vertical-align:-2.21957pt;width:84.025002px;" version="1.1" viewbox="0 0 84.025002 18.612499" width="84.025002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 0 ∈ ( − ) ,我们有<年代p一个n class="displayed-label" id="eq4"> 1 ( ) − ( ) + ( 0 ) ∈ 1 ( − ) ⊆ ( − ) , ( 3 ) − ( ) + ( 0 ) ∈ ( 3 − ) ⊆ ( − ) , ( 3 ) − ℎ ( ) + ℎ ( 0 ) ∈ ( 3 − ) ⊆ ( − ) ( 2 。 2 2 ) 对所有<年代vg height="10.75" id="M143" style="vertical-align:-0.33858pt;width:41.387501px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.387501 10.75" width="41.387501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ 和所有<年代vg height="12.0375" id="M144" style="vertical-align:-1.71797pt;width:38.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 38.375 12.0375" width="38.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ⩾ 。的独特性<年代vg height="14.55" id="M145" style="vertical-align:-3.20526pt;width:17.387501px;" version="1.1" viewbox="0 0 17.387501 14.55" width="17.387501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 意味着<年代vg height="14.55" id="M146" style="vertical-align:-3.20526pt;width:56.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 56.375 14.55" width="56.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = 对所有<年代vg height="12.0375" id="M147" style="vertical-align:-1.71797pt;width:38.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 38.375 12.0375" width="38.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ⩾ 。因此,让<年代vg height="7.25" id="M148" style="vertical-align:-0.10033pt;width:50.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 50.724998 7.25" width="50.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> → ∞ 在(<一个href="#EEq2.18">2.21),我们获得<年代vg height="13.725" id="M149" style="vertical-align:-2.34499pt;width:171.53751px;" version="1.1" viewbox="0 0 171.53751 13.725" width="171.53751" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> − ( 0 ) , − ( 0 ) , ℎ − ℎ ( 0 ) 添加剂,<年代vg height="13.725" id="M150" style="vertical-align:-2.34499pt;width:197.28751px;" version="1.1" viewbox="0 0 197.28751 13.725" width="197.28751" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> − ( 0 ) = − ( 0 ) = ℎ − ℎ ( 0 ) 。

定理2.3。让<年代vg height="10.575" id="M151" style="vertical-align:-0.20064pt;width:12.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 12.625 10.575" width="12.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 是一个非空的有界凸子集<年代vg height="10.325" id="M152" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.6125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.6125 10.325" width="11.6125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 包含原点。假设<年代vg height="13.725" id="M153" style="vertical-align:-2.34499pt;width:108.3375px;" version="1.1" viewbox="0 0 108.3375 13.725" width="108.3375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> , , ℎ ∶ → 与<年代vg height="13.725" id="M154" style="vertical-align:-2.34499pt;width:99.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 99.875 13.725" width="99.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( 0 ) = ℎ ( 0 ) = 0 满足<年代p一个n class="displayed-label" id="EEq2.19"> 2 + 2 − ( ) − ℎ ( ) ∈ 为 为 + 为 为 ( 2 。 2 3 ) 对所有<年代vg height="13.1875" id="M156" style="vertical-align:-2.29482pt;width:55.662498px;" version="1.1" viewbox="0 0 55.662498 13.1875" width="55.662498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> , ∈ 与<年代vg height="13.8625" id="M157" style="vertical-align:-2.37006pt;width:95.462502px;" version="1.1" viewbox="0 0 95.462502 13.8625" width="95.462502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 为 为 + 为 为 ⩽ ,在那里<年代vg height="11.0625" id="M158" style="vertical-align:-0.30096pt;width:35.637501px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.637501 11.0625" width="35.637501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> > 0 和<年代vg height="13.55" id="M159" style="vertical-align:-2.29482pt;width:34.974998px;" version="1.1" viewbox="0 0 34.974998 13.55" width="34.974998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> > 1 。那么存在一个独特的添加剂的映射<年代vg height="13.1875" id="M160" style="vertical-align:-2.29482pt;width:80.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 80.337502 13.1875" width="80.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∶ → 这样<年代p一个n class="displayed-label" id="EEq2.20"> 2 ( ) − ( ) ∈ 2 − 2 为 为 2 ( − ) , ( 2 。 2 4 ) ( ) − ( ) ∈ 2 − 2 为 为 2 − + , ( 2 。 2 5 ) ( ) − ℎ ( ) ∈ 2 − 2 为 为 − + ( 2 。 2 6 ) 对所有<年代vg height="10.75" id="M164" style="vertical-align:-0.33858pt;width:41.387501px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.387501 10.75" width="41.387501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ 与<年代vg height="13.8625" id="M165" style="vertical-align:-2.37006pt;width:64.925003px;" version="1.1" viewbox="0 0 64.925003 13.8625" width="64.925003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 为 为 ⩽ / 2 。此外,<年代vg height="15.4125" id="M166" style="vertical-align:-3.20526pt;width:167.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 167.875 15.4125" width="167.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) = l 我 米 → ∞ 2 ( 2 − ) 对所有<年代vg height="10.75" id="M167" style="vertical-align:-0.33858pt;width:41.387501px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.387501 10.75" width="41.387501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ 。

证明。让<年代vg height="13.55" id="M168" style="vertical-align:-2.29482pt;width:63.0625px;" version="1.1" viewbox="0 0 63.0625 13.55" width="63.0625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = = 0 在(<一个href="#EEq2.19">2.23),我们得到<年代vg height="13.6125" id="M169" style="vertical-align:-2.34499pt;width:54.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 54.224998 13.6125" width="54.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( 0 ) = 0 。让<年代vg height="9.875" id="M170" style="vertical-align:-2.29482pt;width:35.862499px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.862499 9.875" width="35.862499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = 在(<一个href="#EEq2.19">2.23),我们得到<年代p一个n class="displayed-label" id="EEq2.23"> 2 ( ) − ( ) − ℎ ( ) ∈ 2 为 为 ( 2 。 2 7 ) 对所有<年代vg height="10.75" id="M172" style="vertical-align:-0.33858pt;width:41.387501px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.387501 10.75" width="41.387501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ 与<年代vg height="13.8625" id="M173" style="vertical-align:-2.37006pt;width:64.925003px;" version="1.1" viewbox="0 0 64.925003 13.8625" width="64.925003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 为 为 ⩽ / 2 。如果我们把<年代vg height="13.55" id="M174" style="vertical-align:-2.29482pt;width:86.5px;" version="1.1" viewbox="0 0 86.5 13.55" width="86.5" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = 0 ( = 0 ) 在(<一个href="#EEq2.19">2.23),我们有<年代p一个n class="displayed-label" id="EEq2.24"> 2 2 − ( ) ∈ 为 为 , 为 为 ⩽ 2 , 2 2 − ℎ ( ) ∈ 为 为 , 为 为 ⩽ 2 。 ( 2 。 2 8 ) 因此,遵循从(<一个href="#EEq2.23">2.27)和(<一个href="#EEq2.24">2.28),<年代p一个n class="displayed-label" id="EEq2.25"> 2 2 − ( ) ∈ 为 为 ( − ) ( 2 。 2 9 ) 对所有<年代vg height="10.75" id="M177" style="vertical-align:-0.33858pt;width:41.387501px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.387501 10.75" width="41.387501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ 与<年代vg height="13.8625" id="M178" style="vertical-align:-2.37006pt;width:64.925003px;" version="1.1" viewbox="0 0 64.925003 13.8625" width="64.925003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 为 为 ⩽ / 2 。我们可以替换<年代vg height="7.1624999" id="M179" style="vertical-align:-0.11285pt;width:8.7250004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.7250004 7.1624999" width="8.7250004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 通过<年代vg height="11.625" id="M180" style="vertical-align:-0.17555pt;width:32.150002px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.150002 11.625" width="32.150002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> / 2 在(<一个href="#EEq2.25">2.29对所有非负整数)<年代vg height="7.1374998" id="M181" style="vertical-align:-0.10033pt;width:7.8874998px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.8874998 7.1374998" width="7.8874998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 。所以我们有<年代p一个n class="displayed-label" id="EEq2.26"> 2 + 1 2 − − 1 − 2 ( 2 − 2 ) ∈ 2 为 为 ( − ) ( 2 。 3 0 ) 对所有<年代vg height="10.75" id="M183" style="vertical-align:-0.33858pt;width:41.387501px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.387501 10.75" width="41.387501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ 与<年代vg height="13.8625" id="M184" style="vertical-align:-2.37006pt;width:64.925003px;" version="1.1" viewbox="0 0 64.925003 13.8625" width="64.925003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 为 为 ⩽ / 2 。因此,<年代p一个n class="displayed-label" id="EEq2.27"> 2 + 1 2 − − 1 − 2 ( 2 − ) = = 2 + 1 2 − − 1 − 2 2 − ∈ = 2 2 为 为 ⊆ 2 ( − ) + 2 ( 2 − 2 ) 为 为 ( − ) ( 2 。 3 1 ) 对所有<年代vg height="10.75" id="M186" style="vertical-align:-0.33858pt;width:41.387501px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.387501 10.75" width="41.387501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ 与<年代vg height="13.8625" id="M187" style="vertical-align:-2.37006pt;width:70.137497px;" version="1.1" viewbox="0 0 70.137497 13.8625" width="70.137497" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 为 为 ⩽ / 2 和所有的整数<年代vg height="12.825" id="M188" style="vertical-align:-1.71797pt;width:65.574997px;" version="1.1" viewbox="0 0 65.574997 12.825" width="65.574997" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ⩾ ⩾ 0 。让<年代vg height="10.75" id="M189" style="vertical-align:-0.33858pt;width:41.387501px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.387501 10.75" width="41.387501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ 与<年代vg height="13.8625" id="M190" style="vertical-align:-2.37006pt;width:64.925003px;" version="1.1" viewbox="0 0 64.925003 13.8625" width="64.925003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 为 为 ⩽ / 2 ,让<年代vg height="10.5375" id="M191" style="vertical-align:-0.16302pt;width:12.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 12.8625 10.5375" width="12.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 是一个任意的社区的起源<年代vg height="10.325" id="M192" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.6125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.6125 10.325" width="11.6125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 。自<年代vg height="10.575" id="M193" style="vertical-align:-0.20064pt;width:39.262501px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.262501 10.575" width="39.262501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> − 是有界的,存在一个有理数<年代vg height="11.0625" id="M194" style="vertical-align:-0.30096pt;width:32.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.224998 11.0625" width="32.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> > 0 这样<年代vg height="13.45" id="M195" style="vertical-align:-2.21957pt;width:83.175003px;" version="1.1" viewbox="0 0 83.175003 13.45" width="83.175003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( − ) ⊆ 。选择<年代vg height="10.9875" id="M196" style="vertical-align:-0.33858pt;width:38.887501px;" version="1.1" viewbox="0 0 38.887501 10.9875" width="38.887501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ ℕ 这样<年代vg height="16.85" id="M197" style="vertical-align:-2.37006pt;width:166.66251px;" version="1.1" viewbox="0 0 166.66251 16.85" width="166.66251" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( 2 ( 2 − 2 ) / 2 + ) > 为 为 。让<年代vg height="12.675" id="M198" style="vertical-align:-1.76814pt;width:55.799999px;" version="1.1" viewbox="0 0 55.799999 12.675" width="55.799999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> , ∈ ℕ 与<年代vg height="12.7" id="M199" style="vertical-align:-1.71797pt;width:66.237503px;" version="1.1" viewbox="0 0 66.237503 12.7" width="66.237503" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ⩾ ⩾ 。然后(<一个href="#EEq2.27">2.31)意味着<年代p一个n class="displayed-label" id="EEq2.28"> 2 + 1 2 − − 1 − 2 ( 2 − ) ∈ 。 ( 2 。 3 2 ) 因此,序列<年代vg height="14.3375" id="M201" style="vertical-align:-2.34499pt;width:78.050003px;" version="1.1" viewbox="0 0 78.050003 14.3375" width="78.050003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> { 2 ( 2 − ) } 形成一个柯西序列<年代vg height="10.325" id="M202" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.6125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.6125 10.325" width="11.6125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 对所有<年代vg height="10.75" id="M203" style="vertical-align:-0.33858pt;width:41.387501px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.387501 10.75" width="41.387501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ 与<年代vg height="13.8625" id="M204" style="vertical-align:-2.37006pt;width:64.925003px;" version="1.1" viewbox="0 0 64.925003 13.8625" width="64.925003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 为 为 ⩽ / 2 。序列的完整性<年代vg height="10.325" id="M205" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.6125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.6125 10.325" width="11.6125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 的极限<年代vg height="15.4125" id="M206" style="vertical-align:-3.20526pt;width:168.675px;" version="1.1" viewbox="0 0 168.675 15.4125" width="168.675" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) = l 我 米 → ∞ 2 ( 2 − ) 对于每一个存在<年代vg height="13.8625" id="M207" style="vertical-align:-2.37006pt;width:64.925003px;" version="1.1" viewbox="0 0 64.925003 13.8625" width="64.925003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 为 为 ⩽ / 2 。它遵循从(<一个href="#EEq2.24">2.28),<年代p一个n class="displayed-label" id="eq5"> ( ) = l 我 米 → ∞ 2 ( 2 − ) = l 我 米 → ∞ 2 ( 2 − ) = l 我 米 → ∞ 2 ℎ ( 2 − ) ( 2 。 3 3 ) 对所有<年代vg height="10.75" id="M209" style="vertical-align:-0.33858pt;width:41.387501px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.387501 10.75" width="41.387501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ 与<年代vg height="13.8625" id="M210" style="vertical-align:-2.37006pt;width:64.925003px;" version="1.1" viewbox="0 0 64.925003 13.8625" width="64.925003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 为 为 ⩽ / 2 。让<年代vg height="10.9125" id="M211" style="vertical-align:-0.17555pt;width:38.424999px;" version="1.1" viewbox="0 0 38.424999 10.9125" width="38.424999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = 0 和<年代vg height="7.25" id="M212" style="vertical-align:-0.10033pt;width:50.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 50.724998 7.25" width="50.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> → ∞ 在(<一个href="#EEq2.27">2.31),我们获得<年代vg height="10.55" id="M213" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.325px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.325 10.55" width="11.325" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 满足<年代p一个n class="displayed-label" id="EEq2.29"> 2 ( ) − ( ) ∈ 2 − 2 为 为 ( − ) ( 2 。 3 4 ) 对所有<年代vg height="10.75" id="M215" style="vertical-align:-0.33858pt;width:41.387501px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.387501 10.75" width="41.387501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ 与<年代vg height="13.8625" id="M216" style="vertical-align:-2.37006pt;width:64.925003px;" version="1.1" viewbox="0 0 64.925003 13.8625" width="64.925003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 为 为 ⩽ / 2 。它遵循的定义<年代vg height="10.55" id="M217" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.325px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.325 10.55" width="11.325" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 那<年代vg height="13.45" id="M218" style="vertical-align:-2.21957pt;width:56.762501px;" version="1.1" viewbox="0 0 56.762501 13.45" width="56.762501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( 0 ) = 0 ,我们得出结论(<一个href="#EEq2.19">2.23),<年代vg height="13.55" id="M219" style="vertical-align:-2.29482pt;width:152.3625px;" version="1.1" viewbox="0 0 152.3625 13.55" width="152.3625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( + ) = ( ) + ( ) 对所有<年代vg height="13.1875" id="M220" style="vertical-align:-2.29482pt;width:55.662498px;" version="1.1" viewbox="0 0 55.662498 13.1875" width="55.662498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> , ∈ 与<年代vg height="13.8625" id="M221" style="vertical-align:-2.37006pt;width:152.39999px;" version="1.1" viewbox="0 0 152.39999 13.8625" width="152.39999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 为 为 , 为 为 , 为 + 为 ⩽ / 2 。使用一个扩展方法Skof [<一个href="#B10">10),我们扩展的可加性<年代vg height="10.55" id="M222" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.325px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.325 10.55" width="11.325" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 整个空间<年代vg height="10.325" id="M223" style="vertical-align:-0.0pt;width:13.4125px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.4125 10.325" width="13.4125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> (参见[<一个href="#B7">11])。让<年代vg height="9.875" id="M224" style="vertical-align:-2.29482pt;width:10.5375px;" version="1.1" viewbox="0 0 10.5375 9.875" width="10.5375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 的扩展<年代vg height="10.55" id="M225" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.325px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.325 10.55" width="11.325" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 在这<年代vg height="13.55" id="M226" style="vertical-align:-2.29482pt;width:79.137497px;" version="1.1" viewbox="0 0 79.137497 13.55" width="79.137497" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) = ( ) 对所有<年代vg height="10.75" id="M227" style="vertical-align:-0.33858pt;width:41.387501px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.387501 10.75" width="41.387501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ 与<年代vg height="13.8625" id="M228" style="vertical-align:-2.37006pt;width:64.925003px;" version="1.1" viewbox="0 0 64.925003 13.8625" width="64.925003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 为 为 ⩽ / 2 。它遵循从(<一个href="#EEq2.29">2.34),<年代vg height="9.875" id="M229" style="vertical-align:-2.29482pt;width:10.5375px;" version="1.1" viewbox="0 0 10.5375 9.875" width="10.5375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 满足(<一个href="#EEq2.20">2.24)。证明(<一个href="#EEq2.21">2.25),我们从(<一个href="#EEq2.20">2.24)和(<一个href="#EEq2.24">2.28),<年代p一个n class="displayed-label" id="eq6"> ( ) − ( ) ∈ ( ) − 2 2 + 2 2 ∈ 2 − ( ) 2 − 2 为 为 ( − ) + 为 为 = 2 2 − 2 为 为 − + ( 2 。 3 5 ) 对所有<年代vg height="10.75" id="M231" style="vertical-align:-0.33858pt;width:41.387501px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.387501 10.75" width="41.387501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ 与<年代vg height="13.8625" id="M232" style="vertical-align:-2.37006pt;width:64.925003px;" version="1.1" viewbox="0 0 64.925003 13.8625" width="64.925003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 为 为 ⩽ / 2 。同样的,我们获得(<一个href="#EEq2.22">2.26)。

3所示。Hyers-Ulam柯西函数方程的稳定性

下面的定理是替代结果Pexiderized柯西函数方程。

<年代p一个n class="statement" id="thm3.1">定理3.1。让<年代vg height="10.575" id="M233" style="vertical-align:-0.20064pt;width:12.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 12.625 10.575" width="12.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 是一个非空的有界凸子集<年代vg height="10.325" id="M234" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.6125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.6125 10.325" width="11.6125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 包含原点。假设<年代vg height="13.725" id="M235" style="vertical-align:-2.34499pt;width:108.3375px;" version="1.1" viewbox="0 0 108.3375 13.725" width="108.3375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> , , ℎ ∶ → 满足<年代p一个n class="displayed-label" id="EEq3.1"> ( + ) − ( ) − ℎ ( ) ∈ ( 3 。 1 ) 对所有<年代vg height="13.1875" id="M237" style="vertical-align:-2.29482pt;width:55.662498px;" version="1.1" viewbox="0 0 55.662498 13.1875" width="55.662498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> , ∈ 与<年代vg height="13.8625" id="M238" style="vertical-align:-2.37006pt;width:100.675px;" version="1.1" viewbox="0 0 100.675 13.8625" width="100.675" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 为 为 + 为 为 ⩾ ,在那里<年代vg height="11.0625" id="M239" style="vertical-align:-0.30096pt;width:35.637501px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.637501 11.0625" width="35.637501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> > 0 。那么存在一个独特的添加剂的映射<年代vg height="10.75" id="M240" style="vertical-align:-0.16302pt;width:81.137497px;" version="1.1" viewbox="0 0 81.137497 10.75" width="81.137497" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∶ → 这样<年代p一个n class="displayed-label" id="eq7"> ( ) − ( ) + ( 0 ) ∈ 2 ( − ) , ( ) − ( ) + ( 0 ) ∈ 2 ( − ) + − , ( ) − ℎ ( ) + ℎ ( 0 ) ∈ 2 ( − ) + − ( 3 。 2 ) 对所有<年代vg height="10.8875" id="M242" style="vertical-align:-0.33858pt;width:39.787498px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.787498 10.8875" width="39.787498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ ℝ ,在那里<年代vg height="10.9375" id="M243" style="vertical-align:-0.20064pt;width:88.599998px;" version="1.1" viewbox="0 0 88.599998 10.9375" width="88.599998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = 3 − 2 。

证明。在定理的证明使用的方法<一个href="#thm2.1">2。1,我们得到<年代p一个n class="displayed-label" id="EEq3.2"> ( + ) − ( ) − ℎ ( ) ∈ ( 3 。 3 ) 对所有<年代vg height="13.1875" id="M245" style="vertical-align:-2.29482pt;width:55.662498px;" version="1.1" viewbox="0 0 55.662498 13.1875" width="55.662498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> , ∈ 。让<年代vg height="13.55" id="M246" style="vertical-align:-2.29482pt;width:86.5px;" version="1.1" viewbox="0 0 86.5 13.55" width="86.5" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = 0 ( = 0 ) 在(<一个href="#EEq3.2">3所示。3),我们得到<年代p一个n class="displayed-label" id="EEq3.3"> ( ) − ( 0 ) − ℎ ( ) ∈ , ( ) − ( ) − ℎ ( 0 ) ∈ ( 3 。 4 ) 对所有<年代vg height="13.1875" id="M248" style="vertical-align:-2.29482pt;width:55.662498px;" version="1.1" viewbox="0 0 55.662498 13.1875" width="55.662498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> , ∈ 。它遵循从(<一个href="#EEq3.2">3所示。3)和(<一个href="#EEq3.3">3所示。4),<年代p一个n class="displayed-label" id="eq8"> ( ] − ( ] + ( ] ( + ) − ( ) − ( ) + ( 0 ) = ( + ) − ( ) − ℎ ( ) − ( ) − ( ) − ℎ ( 0 ) ( ) − ( 0 ) − ℎ ( ) ( 0 ) − ( 0 ) − ℎ ( 0 ) ∈ 2 ( − ) ( 3 。 5 ) 对所有<年代vg height="13.1875" id="M250" style="vertical-align:-2.29482pt;width:55.662498px;" version="1.1" viewbox="0 0 55.662498 13.1875" width="55.662498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> , ∈ 。其余的证明类似于定理的证明<一个href="#thm2.1">2。1,我们省略细节。

推论3.2。假设<年代vg height="10.325" id="M251" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.6125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.6125 10.325" width="11.6125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 有一个有界凸的0。让<年代vg height="13.725" id="M252" style="vertical-align:-2.34499pt;width:108.3375px;" version="1.1" viewbox="0 0 108.3375 13.725" width="108.3375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> , , ℎ ∶ → 是函数满足<年代p一个n class="displayed-label" id="eq9"> ( + ) − ( ) − ℎ ( ) ⟶ 0 一个 年代 为 为 + 为 为 ⟶ ∞ 。 ( 3 。 6 ) 然后<年代vg height="13.725" id="M254" style="vertical-align:-2.34499pt;width:181.96249px;" version="1.1" viewbox="0 0 181.96249 13.725" width="181.96249" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> − ( 0 ) , − ( 0 ) , ℎ − ℎ ( 0 ) 添加剂,<年代vg height="13.725" id="M255" style="vertical-align:-2.34499pt;width:197.28751px;" version="1.1" viewbox="0 0 197.28751 13.725" width="197.28751" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> − ( 0 ) = − ( 0 ) = ℎ − ℎ ( 0 ) 。

定理3.3。让<年代vg height="10.575" id="M256" style="vertical-align:-0.20064pt;width:12.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 12.625 10.575" width="12.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 是一个非空的有界凸子集<年代vg height="10.325" id="M257" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.6125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.6125 10.325" width="11.6125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 包含原点。假设<年代vg height="13.725" id="M258" style="vertical-align:-2.34499pt;width:108.3375px;" version="1.1" viewbox="0 0 108.3375 13.725" width="108.3375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> , , ℎ ∶ → 与<年代vg height="13.725" id="M259" style="vertical-align:-2.34499pt;width:99.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 99.875 13.725" width="99.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( 0 ) = ℎ ( 0 ) = 0 满足<年代p一个n class="displayed-label" id="EEq3.4"> ( + ) − ( ) − ℎ ( ) ∈ 为 为 + 为 为 ( 3 。 7 ) 对所有<年代vg height="13.1875" id="M261" style="vertical-align:-2.29482pt;width:55.662498px;" version="1.1" viewbox="0 0 55.662498 13.1875" width="55.662498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> , ∈ 与<年代vg height="13.8625" id="M262" style="vertical-align:-2.37006pt;width:95.462502px;" version="1.1" viewbox="0 0 95.462502 13.8625" width="95.462502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 为 为 + 为 为 ⩽ ,在那里<年代vg height="11.0625" id="M263" style="vertical-align:-0.30096pt;width:35.637501px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.637501 11.0625" width="35.637501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> > 0 和<年代vg height="13.55" id="M264" style="vertical-align:-2.29482pt;width:34.974998px;" version="1.1" viewbox="0 0 34.974998 13.55" width="34.974998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> > 1 。那么存在一个独特的添加剂的映射<年代vg height="13.1875" id="M265" style="vertical-align:-2.29482pt;width:80.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 80.337502 13.1875" width="80.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∶ → 这样<年代p一个n class="displayed-label" id="eq10"> 2 ( ) − ( ) ∈ 2 p − 2 为 为 2 ( − ) , ( ) − ( ) ∈ 2 − 2 为 为 , 2 − + ( ) − ℎ ( ) ∈ 2 − 2 为 为 − + ( 3 。 8 ) 对所有<年代vg height="10.75" id="M267" style="vertical-align:-0.33858pt;width:41.387501px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.387501 10.75" width="41.387501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ 与<年代vg height="13.8625" id="M268" style="vertical-align:-2.37006pt;width:64.925003px;" version="1.1" viewbox="0 0 64.925003 13.8625" width="64.925003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 为 为 ⩽ / 2 。此外,<年代vg height="15.4125" id="M269" style="vertical-align:-3.20526pt;width:167.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 167.875 15.4125" width="167.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) = l 我 米 → ∞ 2 ( 2 − ) 对所有<年代vg height="10.75" id="M270" style="vertical-align:-0.33858pt;width:41.387501px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.387501 10.75" width="41.387501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ 。

证明。在定理的证明使用相同的方法<一个href="#thm2.3">2。3我们从(<一个href="#EEq3.4">3所示。7),<年代vg height="14.5875" id="M271" style="vertical-align:-2.37006pt;width:192.91251px;" version="1.1" viewbox="0 0 192.91251 14.5875" width="192.91251" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 ( ) − ( 2 ) ∈ 2 ( − ) 为 为 对所有<年代vg height="10.75" id="M272" style="vertical-align:-0.33858pt;width:41.387501px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.387501 10.75" width="41.387501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ 与<年代vg height="13.8625" id="M273" style="vertical-align:-2.37006pt;width:64.925003px;" version="1.1" viewbox="0 0 64.925003 13.8625" width="64.925003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 为 为 ⩽ / 2 。因此,<年代p一个n class="displayed-label" id="eq11"> 2 2 2 − ( ) ∈ 2 为 为 ( − ) ( 3 。 9 ) 对所有<年代vg height="10.75" id="M275" style="vertical-align:-0.33858pt;width:41.387501px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.387501 10.75" width="41.387501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ∈ 与<年代vg height="13.8625" id="M276" style="vertical-align:-2.37006pt;width:64.925003px;" version="1.1" viewbox="0 0 64.925003 13.8625" width="64.925003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 为 为 ⩽ / 2 。其余的证明类似于定理的证明<一个href="#thm2.3">2。3,我们省略细节。