文摘
结果表明,一个单价的函数属于当且仅当,在那里,只要满足某些规律性的条件。它也表明,在这种情况下包含所有单价的布洛赫函数当且仅当。
1。介绍
本文的目的是描述单价的功能莫比乌斯的不变的空间的最大模量,在那里,只要满足某些规律性的条件。我们将首先简要概述单价的函数在经典函数空间的特征单元盘连同必要的定义。然后,我们将国家单价的上述特征函数和它的后果。证明是推迟到年底的纸,将顺序排列的。
2。符号,背景,和结果
让表示所有解析函数的代数单位圆盘。一个函数据说是单价的如果是一对一,所有单价的功能用的类。,因单价的函数的理论1- - - - - -3]。
为,哈代空间 包括那些的 在哪里 是标准的——限制圆的半径中心在原点, 是最大模量函数。哈代的理论空间,看到4,5]。
哈代和Littlewood6],Pommerenke [7],Prawitz [8证明了如果,然后,当且仅当 在哈代单价的功能空间的更多信息,参见[2,7- - - - - -13]。结果由于Baernstein二世(14州,哈代空间中,空间分析功能边界值的有界的意思是振荡,当且仅当,在那里的自同构交换的起源和意义。这一点,应用于(2。4),显示属于当且仅当 对于一些(等价)。然而,Pommerenke [15)表明,和布洛赫空间包含相同的单价的功能。的布洛赫空间 包括那些的 此外,如果,因为,然后。布洛赫理论的空间,看到3,16]。如果是一个复杂的平面和单连通适当的子域名这样,然后 在哪里代表的欧氏距离的边界,例如,3]。因此,单价的功能在布洛赫空间可以表现为以下知名几何条件;当且仅当,也就是说,如果的形象下不包含任意大光盘。其他特征的单价的布洛赫函数,参见[11]。
Aulaskari et al。17)改善结果Pommerenke显示对于任何。回想一下,是一个莫比乌斯不变子空间的并由这些的 在哪里欧几里得面积元素吗。特别是,和对所有。此外,是经典的狄利克雷空间 它包含所有有限的面积计算多样性形象。狄利克雷空间经典是一个特例吗Besov空间。单价的函数的几何特征在Besov空间发现了沃尔什(18),参见相关结果Donaire et al。19]。的理论空间,看到20.,21]。
为默比乌斯不变的空间包括那些的 此外,如果上面的整体趋向于零方法的边界,然后。如果,然后,因此可以看作是一个通用的空间。为结果,22- - - - - -24)和引用。从现在开始,重量假定承认以下基本性质:(1) ;(2) ;(3) 对所有;(4) 对所有。
需求(1)和(2)是标准的;第一个保证在定义中扮演着重要的角色,而第二个担保的nontriviality以及夹杂物和。条件(3)和(4),当然,限制,然而,例如,满足他们两人。
在继续之前,我们给一个相关的例子空间为了说明各种空间诱导的不同的选择。
例2.1。为和考虑到重量 很明显,对所有。自 无论是(例)或(例),重量正在增加。如果,那么积分 发散为所有,因此由(22定理2.3)。此外,(22定理2.6)显示 对所有和。
让我们回到单价的功能。的一种特殊情况(11定理4]表明,单价的函数属于当且仅当 当然,这并不是一个自然的方式结果因为状态对所有,但它似乎是有用的对于我们的目的。这个案子(2.14),对应,减少(2。5),。一个适当的解释(2.14)允许我们最后会发生什么。也就是说,自为条件(2.14),被取代了,给候选人单价的功能的描述。本文的主要结果是定理2。2表明,这确实是这样,提供吗 对于一些积极的常数。
定理2.2。让和假设满足条件(2.15)。然后,当且仅当 此外,当且仅当
这是一个直接的结果证明定理的断言2。2保持有效面积的意思化合价的功能。除了标准单价的技术功能,定理的证明2。2使用结果Pavlović和Pelaez [25在解析函数的加权积分及其衍生品。这个结果收益率要求的应用程序(2.15)。我们将分析的重要性(2.15)定理讨论之后的后果2。2和它的证据。
的第一部分证明定理2。2显示,属于当且仅当 在哪里pseudohyperbolic盘的表示图像的面积下计算多样性。加之定理2。2表明,对,数量和是相同的增长(统一当测量的。
自对于任何结果由于Aulaskari et al。(17),是很自然的问什么时候的身份持有。一个定理的应用2。2收益率必然2。3回答这个问题提供了满足(2.15)。
推论2.3。假设满足条件(2.15)。然后,当且仅当 此外,如果(2.19)是满意的。
Wulan [26]表明,每一个区域的意思化合价的布洛赫函数属于每当满足
这个结果比推论更普遍2。3因为关键的条件(2.15不需要)。然而,是凹只要满意(4),在这种情况下,,然后(2.20)意味着(2.19)。
我们下一个分析的必要性条件(2.15)。这是两个连续的步骤需要的证明定理2。2。这些步骤在一起建立了渐近的不平等 对所有。像往常一样,我们写,如果存在这样和符号在一个类似的方式理解。特别是,如果和,那么我们写。现在设置,(2.21)成为 我们将展示下(2.22)并不一定保持如此单价的功能,如果,诱发不满足(2.15)。看到这, 和与,所以 这些选择,右边的(2.22)是有限的,而不是左边。如果,然后,但是(2.15),这相当于,这显然失败。此外,,但是(2.19)失败。这证明假设(2.15在定理2。2和推论2。3。
3所示。定理的证明2。2
我们将证明第一个断言,第二个,然后立即遵循的证据。
3.1。充足的2.16)
让。记得第一次不减少的任何。因此,我们可以使用条件(1)和(3)一起Fubini定理获得 如果,然后 和这个不等式的应用在一起,(3所示。1),给 因此单叶函数属于如果(2.16)是满意的。注意,这部分证据使用的单价,但不依赖于(2.15)。此外,如果区域代表化合价的,那么推理(3所示。2尽快)仍然有效的右手边的不平等是乘以。
3.2。的必要性(2.16)
为了证明这一点,我们需要一个特殊情况的结果由于Pavlović和Pelaez [25),即 提供是可微的,满足 为一个常数。假设(2.15)相当于(3所示。5)。因此,(3所示。4)的收益率 我们下一个证明 在哪里是常数(2.15)。证明(3所示。7),考虑函数 假设(1),(3),(4),作为。此外,(2.15)的收益率 因此是减少,因此(3所示。7)持有。加之Fubini定理表明, 的不平等,有效(见[9841页]或[7Hilfssatz 1]),收益率 因此,(2.16)很满意。
4所示。推论的证明2。3
4.1。充足的2.19)
自,这就可以证明。看到这,让。一个应用程序的不平等 的函数给了 对所有。这个收益率 因此由定理2。2。
4.2。的必要性(2.19)
如果满足条件(2.15),,那么单价的布洛赫函数与定理2。2显示,(2.19)持有。
4.3。这个案子
假设满足(2.19),让。自,这就可以证明。看到这,让。通过应用(4所示。2我们获得 自假设(2.19)意味着对所有足够大。解决这样一个。圆的半径的形象单叶函数为中心在原点是约旦曲线与零内域。这幅图像的长度,因此。这个估计,应用的假设,收益率 对于所有足够大。因此, 因此由定理2。2。
确认
这项研究支持部分MEC-Spain mtm2008 - 05891, 121281年芬兰科学院和欧洲网络计划HCAA欧洲科学基金会。