文摘

我们给一些新条件最好的邻近点的存在性和唯一性。我们还介绍了强烈距离的概念,对,给一些有趣的结果。

1。介绍

让是一个度量空间和非空的子集。如果有一双的,这是距离和,然后两人被称为最佳距离对吗和。最好接近对发展最佳逼近的概念的泛化,读者可以找到一些重要的结果在1- - - - - -4]。

现在,在5)(参见[6- - - - - -14]),我们可以找到最接近的点集和通过考虑一个地图这样和。我们说重点是一对最好的邻近点,如果,我们表示所有最好的邻近点的集合通过,也就是说, 最好靠近两人还发展的泛化映射的不动点的概念,因为如果,每一个最好的邻近点是一个固定的角度。

的概念近似最佳接近两在度量空间中引入[10定义1.1),但是很明显,。现在,在本文的第二部分,我们给出一些条件,保证生存,独特性,或者集合的密实度。然后,在第三节,通过引入的概念近似地紧凑的一对,强烈紧凑,我们给的一些特征的一个子类最好的邻近点,即强烈的距离对集。

2。一些存在定理

在本节中,我们将考虑最好的邻近点的存在,通过考虑一些收敛于最邻近点的序列。起初,我们概括一些艾尔缀德和Veeramani [6]。

定理2.1。让和完备度量空间的非空的闭子集。假设的映射令人满意的,, 对所有,在那里和。如果(或)是有限紧凑,然后存在与。

证明。假设任意点的吗和定义。现在, 所以 这意味着 在哪里。因此,电感, 所以 因此,通过命题3.3的6),这两个序列和是有界的。现在,因为(或)是有限紧凑有收敛的子序列,因此,由命题3.2的6),有这样。

现在,我们表明,该映射满足(2.1最好),有一个独特的邻近点一致凸的巴拿赫空间。

定理2.2。让和是两个非空的关闭,凸子集的一致凸的巴拿赫空间。假设的映射令人满意的,和条件(2.1)。然后,有一个独特的元素这样。此外,如果和,然后收敛于上述独特的元素。

证明。一个人可以证明这个定理的命题3.10的方法6]。

注意,巴拿赫空间的均匀的凸性的独特性是必要的吗;例如,让与,,在哪里。如果通过,那么你可以很容易地看到是一个无限集合。

推论2.3。让和是两个非空的关闭,凸子集的一致凸的巴拿赫空间。假设的映射令人满意的,, 对所有,在那里和。然后,有一个独特的元素与。

证明。交换的角色和在(2.7);然后添加新的不平等(2.7)。

在下面,我们将展示一些新的映射的情况而定弱封闭收获等,最好有一个邻近点一致凸的巴拿赫空间。我们记住的映射据说是弱闭如果弱的和弱,那么。

定理2.4。让和是两个非空的关闭,凸子集的一致凸的巴拿赫空间这样是有界的。假设的映射令人满意的,, 对所有,在那里和。如果下列条件之一:(我) 是弱关闭,是有界的,(2) 顺序是弱连续的,满足,然后存在与。

证明。让 由引理3.2的5),非空的;因此,有和这样。对于每一个正整数,定义 然后,对于每一个, 因此,通过定理2.2,每,存在这样 自有界和关闭,存在吗这样(通过子序列,如果有必要的话)。如果(我),那么序列有弱收敛子,由于疲软的封闭收获的。所以。另一方面,,我们有 因此, 证明声明的情况下(2)更简单,上述证据的一部分。

定理2.5。让和非空的一个度量空间的子集。假设的映射令人满意的,, 对所有,在那里。如果有和这样,然后。

证明。假设有和这样。如果,因为满足(2.15),我们有 这是一个矛盾,所以呢。

推论2.6。让和非空的一个度量空间的子集。假设的映射令人满意的,,(2.1)。如果有和这样,然后。

证明。如果在(2.1),然后 所以 因此,通过定理2.5,我们有。

3所示。强烈的距离对

让和非空的一个度量空间的子集,,这样和。把 我们说的对是一对强烈接近,如果它是接近,,为社区吗0的存在这样。

例如,如果 和,然后每,,在那里和是半径的球体吗和中心为零。因此,对是一种强接近。

同样,如果 和这样 因此,和,但两人不是一对强烈接近,而这是一个接近。

在这里,通过引入的概念近似地紧凑的一对,强烈紧凑,我们给一些强烈的特征接近双集。

定义3.1。让和非空的一个度量空间的子集和这样和。我们说以下。(我)序列是就是用尽如果 (2)这一对是近似地紧凑对(-a.c.p)如果每个就是用尽序列有收敛的子序列。(3)这一对是强烈的紧凑型两(-s.c.p)如果每个就是用尽序列是收敛的。

在上一节中,我们发现一些条件这样,所以在这一节中,我们可以假设。首先,我们国家的基本引理,可用于主要定理的证明。

引理3.2。让和非空的一个度量空间的子集这样和,两人是-s.c.p。然后,是单例的。

证明。让,因此, 现在,定义 然后,序列是就是用尽提供但不收敛所以一个矛盾。

现在,我们可以证明这一节的主要定理。

定理3.3。让和非空的闭子集的赋范空间,是一个连续函数,这样吗和和。然后,两人是-a.c.p.当且仅当这两人强烈接近和一对吗紧凑。

证明。让两人是-a.c.p。,是一个任意序列。然后为每个,,通过假设,序列一个收敛的子序列的元素。因此,紧凑。
同样,如果不是强接近,那么存在一个社区0和就是用尽序列与不属于对所有。自是-a.c.p。,there is a subsequence这样。然后,,所以足够大的,这是一个矛盾。
相反,假设是一对强烈接近吗紧凑,但不是-a.c.p。然后,有一个就是用尽序列没有任何收敛的子序列。因此,对于任何一个,有一个社区的这样,足够大,不属于。自紧凑,一个封面吗通过有限许多。所以有一个社区0和这样对所有,不属于。自强烈接近,存在吗这样。自是一个就是用尽序列,足够大的这是一个矛盾。

推论3.4。让和非空的赋范空间的子集这样紧凑和是连续的,和。然后,两人强烈接近和一对吗紧凑。

证明。自紧凑,很明显,这对吗是-a.c.p。现在,应用定理3.3。

定理3.5。让和非空的闭子集的赋范空间,是连续的,和和。然后,两人是一个-s.c.p.当且仅当这两人强烈接近和一对吗单例。

证明。假设是由定理-s.c.p。3.3,强烈接近一对,由引理吗3.2,是单例的。
相反,假设强烈接近和一对吗。让是一个社区的0。自强烈接近,存在吗这样。因此,对于任何就是用尽序列,足够大的。因此,。

定理3.6。让和非空的闭凸子集的一致凸的巴拿赫空间。假设的映射令人满意的,,对每一个 然后,两人是一个-s.c.p.当且仅当是单例的。

证明。从定理是必要条件3.5。
证据的充分条件,假设但不是一个-s.c.p。然后,有一个就是用尽序列这不是收敛。因此,存在一个子序列的和一个标量这样所有的整数, 通过统一的凸性,存在这样 自,存在这样 同时, 但 因为和凸,,,下面的不平等导致一个矛盾: