文摘
一个系统的零解稳定性的非常数的延迟的一阶线性泛函微分方程。充分条件稳定、均匀稳定、渐近稳定性,建立了统一的渐近稳定性。
1。介绍
我们开始与经典线性系统的结果 在哪里是一个矩阵函数定义和连续。通过,我们将表示的集合定义的有界函数和连续并通过欧几里得范数。
1930年,阶石首先制定以下定义被以他的名字命名。
定义1.1(见[1])。系统(L1)据说满足阶石的条件(如果,对于任何给定的向量函数,解决方案的 是有界的。
下面的定理,贝尔曼(2)是众所周知的。
定理1.2(见[2])。如果()持有,为正数,然后的零解(L1)是一致渐近稳定的。
证据是通过利用一个基本矩阵的基本性质,Banach-Steinhaus定理,伴随系统 在哪里表示的转置。
这是一个例子所示(3]定理1。2可能不是有效的如果函数吗出现在(N1)被一个常数向量。然而,这样的一个定理是后来获得的(4下一个Perron-like条件。
定理1。2延长Halanay [5)线性时滞系统的形式 在哪里,是矩阵函数定义和持续和是一个正实数。
定义1.3。系统(L2)据说满足阶石的条件(如果对于任何给定的向量函数),解决方案的 令人满意的,,是有界的。
定理1.4(见[5])。如果(),,对于一些正数和,然后的零解(L2)是一致渐近稳定的。
使用的方法来证明定理1。4类似于更夫的除了伴随系统 不是关于一个内部构造的产品但功能 对于一些扩展脉冲微分方程,我们读者尤其是指(6,7]。
在本文中,我们考虑更一般的线性时滞系统 在哪里和是矩阵函数定义和持续和是一个连续可微的递增函数上定义令人满意的和。我们设置。很明显,和增加和。
门阶的病情需要以下表格。
定义1.5。系统(1。4)据说满足阶石的条件(如果,对于任何给定的向量函数,解决方案的 令人满意的,是有界的。
一个自然的问题是零解(1。4门阶下)是一致渐近稳定的条件()。事实证明,答案取决于延迟函数。
本文组织如下。节2我们的结果,我们只状态;证据包括在部分5。我们定义一个伴随系统并给出参数公式的一种变体3需要在证明的主要结果。部分4也包含一些有关门阶前题条件和关系有助于改变积分的顺序。
2。稳定性定理
结论通过更夫和Halanay系统(L1)和(L2),分别是相当强劲。我们只能够证明更多的一般方程零解的稳定性(1。4在门阶的条件下)。得到一致稳定性或渐近稳定或一致渐近稳定性,我们限制延迟函数。
对于我们的目的,我们表示
定理2.1。让持有。如果有正数和这样 然后的零解(1。4)是稳定的。
定理2.2。让持有。如果(2.2)满意,如果存在一个正实数这样 然后的零解(1。4)是均匀稳定。
定理2.3。让持有。如果(2.2), 满意,然后的零解(1。4)是渐近稳定的。
定理2.4。让持有。如果(2.2),(2.3), 满意,然后的零解(1。4)是一致渐近稳定的。
2.5的话。注意,如果,然后因此条件(2.3),(2.4)和(2.5)自动满足。在这种情况下,所有定理成为等价,即零解是一致渐近稳定。因此,得到的结果更夫和Halanay恢复。
3所示。变化参数的公式
建立一个变化的参数公式表示的解决方案(1。5),一个人需要一个伴随系统。下面的引理的伴随有助于定义(1。4)。
引理3.1。让的解决方案(1。4)。如果是一个解决方案 然后 在哪里
证明。直接验证。
很容易看到,伴随的系统(3所示。1)系统(1。4);因此,系统是相互伴随。
引理3.3。让是一个矩阵的解决方案(3所示。1)令人满意的和为。然后是一个解决方案(1。5)当且仅当
证明。替换通过在(1。5),然后将得到的方程乘以在,我们有 比较双方和使用 这是真实的吗为,我们得到 因此
从(不难看出3所示。4),如果是一个矩阵的解决方案(1。4)令人满意的和为,然后 在引理中使用这个关系3所示。3会导致以下参数的变化公式。
引理3.4。让是一个矩阵的解决方案(1。4)令人满意的和为。然后是一个解决方案(1。5)当且仅当
4所示。辅助的结果
引理4.1。如果持有,那么是一个正数这样
证明。证明是在(5]。我们只提供的步骤读者的方便。
定义
对于每一个有理数,。
针对,连续线性算子的家庭从来pointwise-bounded。有界连续函数空间,通常吃晚饭使用。
Banach-Steinhaus定理,家庭是一致有界的。因此,有一个正数这样对于每一个。
有理数是密集的实数,有这样作为所以
最后一步是选择一个函数序列和使用限制的过程。
引理4.2。如果(2.2)和(4所示。1)是真的,然后是一个正数这样
证明。从(3所示。1),我们有 因此,通过使用(4所示。1),我们看到,
引理4.3。让是一个连续函数满足为。然后
5。定理的证明
让被给予。对于一个给定的连续向量函数上定义,让表示的解决方案(1。4)满足 像往常一样,
定理的证明2.1。从引理3所示。3,我们可以写 鉴于引理4所示。2,接下去 因此,零解是稳定的。
定理的证明2.2。使用(2.3)(5.4),我们得到 的一致稳定性。
定理的证明2.3。由定理2.1零解是稳定的。我们需要显示给出了属性。
从引理3所示。3,因为,我们可以写
在哪里
结合对从来,我们有
我们改变积分的顺序采用引理4所示。3。经过重组,我们获得
由此可见,
的条件(2.4从(),我们看到5.10),
定理的证明2.4。由定理2.2,零解一致稳定。从(5.10)和(2.3),我们有 使用条件(2.4)在上面的不平等,我们看到零解是一致渐近稳定。
确认
这项研究受到了格兰特P201/11/0768捷克授予机构(布拉格),捷克政府委员会MSM MSM 0021630503和00216 30519,和由格兰特fekt - s - 11 - 2 - 921的电气工程学院和沟通,布尔诺科技大学。