文摘

利用不动点方法,我们证明环同态的superstability和广义Hyers-Ulam稳定非阿基米德巴拿赫代数。此外,我们探讨环同态的superstability非阿基米德巴拿赫与詹森相关代数函数方程。

1。介绍和预赛

1897年,Hensel [<一个href="#B1">1]介绍了赋范空间没有阿基米德属性。

在过去的三十年里非阿基米德空间理论获得了物理学家的研究的兴趣来自量子物理学,特别是在问题 进字符串,和超弦<一个href="#B2">2]。尽管许多经典赋范空间理论的结果有一个非阿基米德,他们证明本质上是不同的,需要一种全新的直觉(<一个href="#B3">3- - - - - -<一个href="#B10">10]。

让 是一个字段。非阿基米德绝对值 是一个函数 | ⋅ | ∶ → ℝ 这样,对于任何 , ∈ 我们有(我) | | ≥ 0 与平等拥有当且仅当 = 0 ,(2) | | = | | | | ,(3) | + | ≤ 米 一个 x { | | , | | } 。

条件(3)称为严格的三角不等式。(2),我们有 | 1 | = | − 1 | = 1 。因此,通过感应,它遵循(iii) | | ≤ 1 对于每一个整数 。我们总是假定除了 | ⋅ | 非是微不足道的,有吗 0 ∈ 这样 | 0 | ∉ { 0 , 1 } 。

让 在一个标量场是一个线性空间 非阿基米德重要的估值 | ⋅ | 。一个函数 为 ⋅ 为 ∶ → ℝ 是一个非阿基米德规范(估值)如果它满足下列条件:(<我>NA1) 为 为 = 0 当且仅当 = 0 ;(<我>钠) 为 为 = | | 为 为 对所有 ∈ 和 ∈ ;(<我>NA3)强烈的三角不等式(超度量);也就是说, 为 + 为 ≤ 米 一个 x { 为 为 , 为 为 } ( , ∈ ) 。 ( 1 。 1 ) 然后 ( , 为 ⋅ 为 ) 被称为非阿基米德空间。

它遵循从 ( 3 ) 那 为 为 − 为 为 为 为 ≤ 米 一个 x + 1 − 为 为 ∶ ≤ ≤ − 1 ( > ) , ( 1 。 2 ) 因此一个序列 { } 柯西在 当且仅当 { + 1 − } 收敛于非阿基米德一分之零空间。通过一个完整的非阿基米德空间意味着在每一个柯西序列收敛。一个非阿基米德巴拿赫代数是一个完整的非阿基米德代数 满足 为 为 ≤ 为 为 为 为 对所有 , ∈ 。为更详细的非阿基米德巴拿赫代数的定义,我们可以参考<一个href="#B11">11]。

提出的第一个有关群同态的稳定性问题是美国m .乌兰(<一个href="#B12">12人士)在1940年和肯定地解决d·h·Hyers [<一个href="#B13">13]。也许t .青木是第一作者广义人士定理Hyers(见[<一个href="#B14">14])。

t . m . Rassias [<一个href="#B15">15人士)提供了一种泛化的Hyers允许的定理<我>柯西区别是无界的。

定理1.1 (t . m . Rassias)。让 ∶ → 是一个映射赋范矢量空间 到巴拿赫空间 的不平等 为 ( + ) − ( ) − ( ) 为 ≤ 为 为 + 为 为 ( 1 。 3 ) 对所有 , ∈ ,在那里 和 是常数, > 0 和 < 1 。然后限制 ( ) = l 我 米 → ∞ ( 2 ) 2 ( 1 。 4 ) 对于所有存在 ∈ 和 ∶ → 独特的添加剂映射满足吗 为 ( ) − ( ) 为 ≤ 2 2 − 2 为 为 ( 1 。 5 ) 对所有 ∈ 。同样,如果为每个 ∈ 映射 ( ) 是连续的 ∈ ℝ ,然后 是 ℝ 线性。

此外,d . g . Bourgin [<一个href="#B16">16]和Găvruţa [<一个href="#B17">17)认为的稳定问题无限柯西差异(参见[<一个href="#B18">18- - - - - -<一个href="#B23">23])。

另一方面,j . m . Rassias [<一个href="#B24">24- - - - - -<一个href="#B29">29日)被认为是由柯西区别产品不同权力的规范。然而,却有一种奇怪的情况;这个奇点一个反例是由Găvruţa [<一个href="#B30">30.]。

定理1.2 (j . m . Rassias [<一个href="#B24">24])。让 是一个真正的赋范线性空间 一个真正的完整的赋范线性空间。假设 ∶ → 是一个常数约添加剂映射的存在 ≥ 0 和 , ∈ ℝ 这样 = + ≠ 1 和 满足不等式 为 ( + ) − ( ) − ( ) 为 ≤ 为 为 为 为 ( 1 。 6 ) 对所有 , ∈ 。那么存在一个独特的添加剂的映射 ∶ → 令人满意的 为 ( ) − ( ) 为 ≤ | | 2 | | − 2 为 为 ( 1 。 7 ) 对所有 ∈ 。此外,如果 ∶ → 是一个映射的变换 ↦ ( ) 是连续的 ∈ ℝ 对于每一个固定 ∈ ,然后 是一个 ℝ 线性映射。

Bourgin [<一个href="#B16">16,<一个href="#B31">31日)是第一个数学家处理(环)同态的稳定 ( ) = ( ) ( ) 。近似同态的主题研究了许多数学家,看到<一个href="#B32">32- - - - - -<一个href="#B37">37)和引用。一个函数 ∶ → 是环同态或加法同态如果 是一个加法函数满足吗 ( ) = ( ) ( ) ( 1 。 8 ) 对所有 , ∈ 。

现在我们将状态下面不动点理论的概念。的证明,请参考[<一个href="#B38">38],参见[<一个href="#B39">39,第五章]。一个广泛的理论的不动点定理和其他非线性方法,读者被称为(<一个href="#B40">40,<一个href="#B41">41]。2003年,拉<一个href="#B42">42)提出了一种新的方法来获得精确解的存在性和误差估计,基于定点选择(参见[<一个href="#B43">43- - - - - -<一个href="#B45">45])。

让 ( , ) 是一个广义度量空间。一个操作员 ∶ → 满足李普希兹条件与李普希茨常数 如果存在一个常数 ≥ 0 这样 ( , ) ≤ ( , ) 对所有 , ∈ 。如果李普希茨常数 小于1,那么操作员 被称为严格收缩算子。注意区分广义度量和通常的指标是,前者是允许的范围包括无穷。我们记得以下定理马戈利斯和迪亚兹。

定理1.3 (cf。<一个href="#B38">38,<一个href="#B42">42])。假设一个给出一个完整的广义度量空间 ( Ω , ) 和一个严格的收缩映射 ∶ Ω → Ω 与李普希茨常数 。然后对于每一个给定的 ∈ Ω ,要么 , + 1 = ∞ ∀ ≥ 0 ( 1 。 9 ) 或存在一个自然数 0 这样(我) ( , + 1 ) < ∞ 对所有 ≥ 0 ,(2)序列 { } 收敛到一个固定的点吗 ∗ 的 ;(3) ∗ 独特的定点 在 Λ = { ∈ Ω ∶ ( 0 , ) < ∞ } ;(iv) ( , ∗ ) ≤ ( 1 / ( 1 − ) ) ( , ) 对所有 ∈ Λ 。

最近,本文的第一作者(<一个href="#B4">4)建立在非阿基米德巴拿赫代数环同态的稳定性。本文利用不动点方法,我们证明了广义Hyers-Ulam非阿基米德巴拿赫代数环同态的稳定性。此外,我们探讨环同态的superstability非阿基米德巴拿赫与詹森相关代数函数方程。

2。近似非阿基米德巴拿赫的环同态代数

在本节中,我们假设 , 是两个非阿基米德巴拿赫代数。为了方便起见,我们使用以下简称对于一个给定的函数 ∶ → : Δ ( , ) = ( + ) − ( ) − ( ) ( 2 。 1 ) 对所有 , ∈ 。

定理2.1。让 ∶ → 是一个函数的存在的功能 , ∶ × → ( 0 , ∞ ) 这样 为 Δ ( x , ) 为 ≤ ( , ) , ( 2 。 2 ) 为 ( ) − ( ) ( ) 为 ≤ ( , ) ( 2 。 3 ) 对所有 , ∈ 。如果存在一个常数 0 < < 1 这样 | | 2 | | | | 2 | | ( 2 , 2 ) ≤ ( , ) ( 2 , 2 ) ≤ 2 ( , ) ( 2 。 4 ) 对所有 , ∈ ,那么存在一个独特的环同态 ∶ → 这样 1 为 ( ) − ( ) 为 ≤ | | 2 | | ( 1 − ) ( , ) , ( 2 。 5 ) 对所有 ∈ 。

证明。它遵循从(<一个href="#EEq2.3">2。4), l 我 米 → ∞ 1 | | 2 | | ( 2 , 2 ) = 0 , ( 2 。 6 ) l 我 米 → ∞ 1 | | 2 | | 2 ( 2 , 2 ) = 0 ( 2 。 7 ) 对所有 , ∈ 。由(<一个href="#EEq2.6">2。6), l 我 米 → ∞ ( 1 / | 2 | ) ( 0 , 0 ) = 0 。因此, ( 0 , 0 ) = 0 。让 = = 0 在(<一个href="#EEq2.1">2。2),我们得到 为 ( 0 ) 为 ≤ ( 0 , 0 ) = 0 。所以 ( 0 ) = 0 。
让我们定义 Ω 所有映射的集合 ∶ → 引入广义度量 Ω 如下: ( , ℎ ) = 我 n f { ∈ ( 0 , ∞ ) ∶ 为 ( ) − ℎ ( ) 为 ≤ ( , ) , ∀ ∈ } 。 ( 2 。 8 ) 很容易证明 ( Ω , ) 是一个广义完备度量空间(<一个href="#B44">44,<一个href="#B45">45]。
现在我们考虑的功能 ∶ Ω → Ω 定义为 ( ) = ( 1 / 2 ) ( 2 ) 对所有 ∈ 和所有 ∈ Ω 。注意,所有 , ℎ ∈ Ω , ⟹ 为 为 为 1 ( , ℎ ) < ⟹ 为 ( ) − ℎ ( ) 为 ≤ ( , ) , ∀ ∈ , 2 1 ( 2 ) − 2 为 为 为 ≤ 1 ℎ ( 2 ) | | 2 | | ⟹ 为 为 为 1 ( 2 , 2 ) , ∀ ∈ , 2 1 ( 2 ) − 2 为 为 为 ℎ ( 2 ) ≤ ( , ) , ∀ ∈ , ⟹ ( , ℎ ) ≤ 。 ( 2 。 9 ) 因此,我们看到 ( , ℎ ) ≤ ( , ℎ ) ( 2 。 1 0 ) 对所有 , ℎ ∈ Ω ,也就是说, 是一个严格的自函数 Ω 与李普希茨常数 。
把 ∶ = 在(<一个href="#EEq2.1">2。2),我们有 为 ( 2 ) − 2 ( ) 为 ≤ ( , ) ( 2 。 1 1 ) 对所有 ∈ 。所以 为 为 为 1 ( ) − 2 为 为 为 ≤ 1 ( 2 ) | | 2 | | ( , ) ( 2 。 1 2 ) 对所有 ∈ ,也就是说, ( , ) ≤ 1 / | 2 | < ∞ 。
现在,从固定角度的选择,因此,存在一个固定的点 的 在 Ω 这样 ( ) = l 我 米 → ∞ 1 2 ( 2 ) ( 2 。 1 3 ) 对所有 ∈ ,因为 l 我 米 → ∞ ( , ) = 0 。
另一方面它遵循从(<一个href="#EEq2.1">2。2),(<一个href="#EEq2.6">2。6)和(<一个href="#EEq2.9">2.13), 为 Δ ( , ) 为 = l 我 米 → ∞ 1 | | 2 | | 为 Δ ( 2 , 2 ) 为 ≤ l 我 米 → ∞ 1 | | 2 | | ( 2 , 2 ) = 0 ( 2 。 1 4 ) 对所有 , ∈ 。所以 Δ ( , ) = 0 。这意味着 是添加剂。所以它的定义 ,(<一个href="#EEq2.2">2。3),(<一个href="#EEq2.6">2。7)和(<一个href="#EEq2.9">2.13), 为 ( ) − ( ) ( ) 为 = l 我 米 → ∞ 1 | | 2 | | 2 为 为 2 2 − ( 2 ) ( 2 为 为 ) ≤ l 我 米 → ∞ 1 | | 2 | | 2 2 2 , 2 2 = 0 ( 2 。 1 5 ) 对所有 , ∈ 。所以 ( ) = ( ) ( ) 。根据定点变质的, 独特的定点 在一组 Λ = { ∈ Ω ∶ ( , ) < ∞ } , 独特的功能,这样吗 为 ( ) − ( ) 为 ≤ ( , ) ( 2 。 1 6 ) 对所有 ∈ 和 > 0 。再一次使用不动点的选择,我们得到的 1 ( , ) ≤ 1 1 − ( , ) ≤ | | 2 | | ( 1 − ) ( 2 。 1 7 ) 所以我们得出结论, 1 为 ( ) − ( ) 为 ≤ | | 2 | | ( 1 − ) ( , ) ( 2 。 1 8 ) 对所有 ∈ 。这就完成了证明。

推论2.2。让 , , 非负实数 , > 1 和 2 − 2 ≥ 1 。假设 ∶ → 是一个函数,这样吗 为 Δ ( , ) 为 ≤ 为 为 ⋅ 为 为 ( 为 ) − ( ) ( ) 为 ≤ 为 为 ⋅ 为 为 ( 2 。 1 9 ) 对所有 , ∈ 。那么存在一个独特的环同态 ∶ → 令人满意的 为 ( ) − ( ) 为 ≤ | | 2 | | − | | 2 | | 2 为 为 2 , ( 2 。 2 0 ) 对所有 ∈ 。

证明。从定理证明之前<一个href="#thm2.1">2。1通过 ( , ) ∶ = 为 为 ⋅ 为 为 , ( , ) ∶ = 为 为 ⋅ 为 为 ( 2 。 2 1 ) 对所有 , ∈ 。然后我们可以选择 = | 2 | 2 − 1 我们得到期望的结果。

2.3的话。让 ∶ → 是一个函数的存在的功能 , ∶ × → ( 0 , ∞ ) 令人满意的(<一个href="#EEq2.1">2。2)和(<一个href="#EEq2.2">2。3)。让 0 < < 1 是一个常数,这样 ( / 2 , / 2 ) ≤ ( / | 2 | ) ( , ) 对所有 , ∈ 。通过类似的方法证明定理<一个href="#thm2.1">2。1,一个人可以证明存在一个唯一环同态 ∶ → 令人满意的 为 ( ) − ( ) 为 ≤ | | 2 | | ( 1 − ) ( , ) 。 ( 2 。 2 2 )
的情况下 ( , ) ∶ = + ( 为 为 ⋅ 为 为 ) ( , 非负实数和吗 0 < 2 < 1 ),存在一个唯一环同态 ∶ → 令人满意的 为 ( ) − ( ) 为 ≤ | | 2 | | 2 − | | 2 | | + | | 2 | | 2 − | | 2 | | 为 为 2 ( 2 。 2 3 ) 对所有 ∈ 。

在下面我们建立环同态的superstability非阿基米德巴拿赫与詹森相关代数函数方程 ( ( + ) / 2 ) = ( ( ) + ( ) ) / 2 。

定理2.4。假设存在功能 , ∶ × → ( 0 , ∞ ) 这样存在一个常数 0 < < 1 这样 | | 2 | | | | 2 | | ( 0 , 2 ) ≤ ( 0 , ) , ( 2 , 2 ) ≤ 2 ( , ) ( 2 。 2 4 ) 对所有 , ∈ 。此外,假设 ∶ → 是一个函数,这样吗 为 为 为 + 2 − ( ) + ( ) 2 为 为 为 ( ≤ ( 0 , ) , ( 2 。 2 5 ) 为 ) − ( ) ( ) 为 ≤ ( , ) ( 2 。 2 6 ) 对所有 , ∈ 。然后 是一个环同态。

证明。让我们定义 Ω , 和 ∶ Ω → Ω 同样的定义和定理的证明<一个href="#thm2.1">2。1。同样的推理证明的定理<一个href="#thm2.1">2。1,一个可以证明 有一个(独特的)定点 在 Ω 这样 ( ) = l 我 米 → ∞ 1 2 ( 2 ) ( 2 。 2 7 ) 对所有 ∈ 和 ∶ → 是一个环同态。另一方面,同样的推理证明的定理<一个href="#thm2.1">2。1,我们可以证明 ( 0 , 0 ) = 0 和 ( 0 ) = 0 。同时,让 = 0 在(<一个href="#EEq2.10">2.25),我们得到 ( / 2 ) = ( ) / 2 对所有 ∈ (见[<一个href="#B24">24,<一个href="#B25">25])。因此,通过独特的属性 ,我们有 = 。由此可见, 是一个环同态。

推论2.5。让 , , 非负实数 , > 1 。假设 ∶ → 是一个函数,这样吗 为 为 为 + 2 − ( ) + ( ) 2 为 为 为 ≤ 为 为 , 为 ( ) − ( ) ( ) 为 ≤ 为 为 ⋅ 为 为 ( 2 。 2 8 ) 对所有 , ∈ 。然后 是一个环同态。