文摘

最近数学家研究一些有趣的关系 -Genocchi数字, 欧拉数,多项式,伯恩斯坦多项式 伯恩斯坦多项式。在本文中,我们给出一些有趣的扭曲的身份 -Genocchi数字,多项式, 伯恩斯坦多项式与加权 。

1。介绍

在本文,我们 是一个固定的奇质数。这些符号 ℤ , ℚ , ℂ 表示的环 进整数,领域 进有理数,完成代数关闭 ℚ 。让 ℕ 自然数的集合,让 ℤ + = ℕ ∪ { 0 } 。作为一个著名的定义, 进是由绝对值 | | = − ,在那里 = / 与 ( , ) = ( , ) = ( , ) = 1 。当一谈到 扩展, 被认为是一个不确定的,是一个复杂的号码吗 ∈ ℂ ,或者一个 进数量 ∈ ℂ 。在本文中,我们假设 ∈ ℂ 与 | 1 − | < 1 。

我们假设 U D ( ℤ ) 是统一的空间可微函数 ℤ 。为 ∈ U D ( ℤ ) 定义了费密子 进 积分上 ℤ 如下: − ( ) = ℤ ( ) − ( ) = l 我 米 → ∞ 1 − − 1 = 0 ( ) ( − ) 。 ( 1 。 1 ) 为 ∈ ℕ ,让 ( ) = ( + ) 是翻译。作为一个众所周知的方程,通过(1。1),我们有 ℤ ( + ) − ( ) = ( − 1 ) − ( 2 ] ( ) + − 1 = 0 ( − 1 ) − 1 − ( ) , ( 1 。 2 ) (相比1- - - - - -4]。在这篇文章中,我们使用的符号: ( ] = 1 − , ( ] 1 − − = 1 − ( − ) , 1 + ( 1 。 3 ) (cf。1- - - - - -16])。 l 我 米 → 1 ( ] = 对于任何 与 | | ≤ 1 在目前的 进的情况。调查关系的扭曲 -Genocchi数字和多项式与重量 和伯恩斯坦多项式的重量 中,我们将使用有用的属性 ( ] 如下; ( ] ( ] = 1 − 1 − − , ( ] 1 − − ( ] = 1 − 。 ( 1 。 4 )

扭曲的 -Genocchi数字和多项式与重量 分别由母函数定义如下: ( ) , , = ℤ ( ( ] ) − 1 − ( ) , ( 1 。 5 ) ( ) , , ( ) = ℤ ( ] ( ) + − 1 − ( ) 。 ( 1 。 6 ) 在特殊情况下, = 0 , ( ) , , ( 0 ) = ( ) , , 被称为“ th扭曲 -Genocchi数量和重量 (见[9])。

让 = { ∣ = 1 } 循环群的秩序 ,让 = l 我 米 → ∞ = ≥ 1 , ( 1 。 7 ) 参见[9,12- - - - - -15]。

金正日定义了 伯恩斯坦多项式与重量 的程度 如下: ( ) , ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ( ] ( ) = ( ] 1 − − − , w h e r e ( ] ∈ 0 , 1 , , ∈ ℤ + , ( 1 。 8 ) 比较(4,7]。

在本文中,我们调查的一些性质扭曲 -Genocchi数字和多项式与重量 。通过使用这些属性,我们给一些有趣的身份上的扭曲 -Genocchi多项式与重量 和 伯恩斯坦多项式与重量 。

2。一些扭曲的身份 -Genocchi多项式与重量 和 伯恩斯坦多项式与重量

从(1。8),我们可以推出以下递推公式的扭曲 -Genocchi数量和重量 : ( ) 0 , , = 0 , ( ) , , ( 1 ) + ( ) , , = ( 2 ] , 我 f = 1 , 0 , 我 f > 1 , ( 2 。 1 ) ( ) 0 , , = 0 , 1 + ( ) , + ( ) , , = ( 2 ] , 我 f = 1 , 0 , 我 f > 1 , ( 2 。 2 ) ( ) + 1 , , ( ] ( ) = + ( ) , + 1 ( 2 。 3 ) 关于取代通常的惯例 ( ( ) , ) 通过 ( ) , , 。

由(1。5),我们很容易 ( ) , , ( 2 ] ( ) = 1 1 − − 1 − 1 = 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ − 1 ( − 1 ) 1 1 + + 1 。 ( 2 。 4 ) 由(2。4),我们得到下面的定理。

定理2.1。让 ∈ ℤ + 。为 ∈ ,一个 ( ) , , ( ) = ( − 1 ) − 1 − 1 ( 1 − ) ( ) , − 1 , − 1 ( 1 − ) 。 ( 2 。 5 )

由(2。1),(2。2)和(2。3我们注意到, ( ) , , = − ( ) , , ( 1 ) = − ( ) 1 , , + 2 2 − = 2 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ( ) , , ( 1 ) = − ( ) 1 , , + 2 2 − 2 = 2 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1 + ( ) , = − ( ) 1 , , + 2 2 − 2 ( 2 ] + 2 ( ) , − 2 2 ( ) 1 , , = − ( ) 1 , , + 2 2 ( ) , , ( 2 ) − 2 2 ( ) 1 , , 。 ( 2 。 6 )

因此,通过(2。6),我们得到下面的定理。

定理2.2。为 ∈ ℕ 与 > 1 ,一个 ( ) , , ( 2 ) = − 2 − 2 ( ) , , + − 1 − 1 ( 2 ] + ( 2 ] 1 + 。 1 + ( 2 。 7 )

由(1。6)和定理2。2, ( ) + 1 , , ( 2 ) = + 1 ℤ ( ] ( ) + 2 − = 1 ( ) ( ( 2 ] + 1 + 1 ) + ( 1 + + 1 ) − 1 − 1 ( 2 ] 1 + + − 2 − 2 ( ) + 1 , , = ( 2 ] + 1 1 + + − 1 − 1 ( 2 ] 1 + + − 2 − 2 ( ) + 1 , , 。 + 1 ( 2 。 8 ) 因此,我们得到下面的推论。

推论2.3。为 ∈ ℕ ,一个 ℤ ( ] ( ) + 2 − ( 2 ] ( ) = 1 + + − 1 − 1 ( 2 ] 1 + + − 2 − 2 ( ) + 1 , , 。 + 1 ( 2 。 9 )

通过费密子积分 ℤ ,定理2。1和2。2,我们注意到 ℤ ( ( ] ) 1 − − − ( ) = ( − 1 ) ℤ ( ( ] ) − 1 − ( ) = ( − 1 ) ( ) + 1 , , ( − 1 ) + 1 = − 1 ( ) + 1 , − 1 , − 1 ( 2 ) + 1 = − 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ( 2 ] − 1 1 + − 1 − 1 ( 2 ] + − 1 1 + − 1 − 1 + 2 2 ( ) + 1 , − 1 , − 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ = ( 2 ] + 1 ( 2 ] 1 + + 1 + + 2 ( ) + 1 , − 1 , − 1 。 + 1 ( 2 。 1 0 )

因此,我们有下面的定理。

定理2.4。为 ∈ ℕ 与 > 1 ,一个 ℤ ( ] ( ) 1 − − − ( 2 ] ( ) = ( 2 ] 1 + + 1 + + 2 ( ) + 1 , − 1 , − 1 。 + 1 ( 2 。 1 1 )

由(1。4),定理2。4,我们把费密子 进积分不变量在 ℤ 一个多项式q-Bernstein如下: ℤ ( ) , ( , ) − ( ) = ℤ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ( ] ( ) ( ] 1 − − − − = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ( ) ℤ ( ( ] ) ( ] 1 − − − ( = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ) − = 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ − ( − 1 ) ( ) + + 1 , , 。 + + 1 ( 2 。 1 2 )

对称的 伯恩斯坦多项式与重量 的程度 ,我们得到以下公式; ℤ ( ) , ( , ) − ( = ) ℤ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ( ] ( ) − ( ] 1 − − − = ( ) ℤ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ( ] ( ) 1 − − ( ] 1 − 1 − − − − = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ( ) − = 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ − ( − 1 ) − − ℤ ( ] ( ) 1 − − − − = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ( ) − = 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ − ( − 1 ) − − ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ( 2 ] ( 2 ] 1 + + 1 + + 2 ( ) − + 1 , − 1 , − 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 。 − + 1 ( 2 。 1 3 )

因此,通过(2.12)和(2.13),我们有下面的定理。

定理2.5。为 ∈ ℕ 与 > 1 ,一个 − = 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ − ( − 1 ) ( ) + + 1 , , = + + 1 − = 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ( − − 1 ) − − ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ( 2 ] ( 2 ] 1 + + 1 + + 2 ( ) − + 1 , − 1 , − 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 。 − + 1 ( 2 。 1 4 ) 同时,我们注意到 ℤ ( ) , ( , ) − ( = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ) − = 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ − ( − 1 ) ( ) + + 1 , , = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ + + 1 ℤ ( ] ( ) 1 − − − ( ] − = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ( ) ℤ ( ] ( ) 1 − − − ( ] 1 − 1 − − − = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ( ) = 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ( − 1 ) − ℤ ( ] ( ) 1 − − − − = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ( ) = 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ( − 1 ) − ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ( 2 ] ( 2 ] 1 + + 1 + + 2 ( ) − + 1 , − 1 , − 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 。 − + 1 ( 2 。 1 5 )

因此,我们有下面的定理。

定理2.6。为 , ∈ ℤ + 与 > + 1 ,一个 ℤ ( ) , ( , ) − ( = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ) = 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ( − 1 ) − ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ( 2 ] ( 2 ] 1 + + 1 + + 2 ( ) − + 1 , − 1 , − 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 。 − + 1 ( 2 。 1 6 )

由(2.11)和定理2。6,我们有下面的定理。

定理2.7。让 , ∈ ℤ + 与 > + 1 。然后一个 − = 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ − ( − 1 ) ( ) + + 1 , , = + + 1 = 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ( − 1 ) − ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ( 2 ] ( 2 ] 1 + + 1 + + 2 ( ) − + 1 , − 1 , − 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 。 − + 1 ( 2 。 1 7 )

让 1 , 2 , ∈ ℤ + 与 1 + 2 > 2 + 1 。然后我们得到 ℤ ( ) ( ) 1 , ( , ) ( ) 2 , ( , ) − ( = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ) 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 2 = 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 2 ( − 1 ) 2 − ℤ ( ] ( ) 1 − 1 + 2 − − − = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ( ) 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 2 = 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 2 ( − 1 ) 2 − ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ( 2 ] ( 2 ] 1 + + 1 + + 2 ( ) 1 + 2 − + 1 , − 1 , − 1 1 + 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 。 − + 1 ( 2 。 1 8 )

因此,我们得到下面的定理。

定理2.8。为 1 , 2 , ∈ ℤ + ,一个 ℤ ( ) ( ) 1 , ( , ) ( ) 2 , ( , ) − ( = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ) 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 2 = 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 2 ( − 1 ) 2 − ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ( 2 ] ( 2 ] 1 + + 1 + + 2 ( ) 1 + 2 − + 1 , − 1 , − 1 1 + 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ( 2 ] − + 1 ( 2 ] 1 + + 1 + + 2 ( ) 1 + 2 − + 1 , − 1 , − 1 1 + 2 , − + 1 我 f = 0 , 2 1 2 2 = 0 2 ( − 1 ) 2 − 1 + 2 − + 1 , − 1 , − 1 1 + 2 , − + 1 我 f > 0 , ( 2 。 1 9 )

通过简单的计算,我们很容易看到 ℤ ( ) ( ) 1 , ( , ) ( ) 2 , ( , ) − ( = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ) 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1 + 2 − 2 = 0 ( − 1 ) ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 + 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ − 2 ℤ ( ] ( ) 2 + − = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ( ) 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1 + 2 − 2 = 0 ( − 1 ) ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 + 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ − 2 ( ) 2 + + 1 , , , 2 + + 1 w h e r e 1 , 2 , ∈ ℤ + 。 ( 2 。 2 0 ) 因此,通过(2.20)和定理2。8,我们得到下面的定理。

定理2.9。让 1 , 2 , ∈ ℤ + 与 1 + 2 > 2 + 1 。然后一个 2 = 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 2 ( − 1 ) 2 − ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ( 2 ] ( 2 ] 1 + + 1 + + 2 ( ) 1 + 2 − + 1 , − 1 , − 1 1 + 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ = − + 1 1 + 2 − 2 = 0 ( − 1 ) ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 + 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ − 2 ( ) 2 + + 1 , , 。 2 + + 1 ( 2 。 2 1 )

为 1 , 2 , … , , ∈ ℤ + , 1 + 2 + ⋯ + > + 1 ,让 ∑ = 1 = ,那么对称的 伯恩斯坦多项式与重量 ,我们看到, ℤ ( ) = 1 ( ) , ( , ) − = ( ) = 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ = 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ( − 1 ) − ℤ ( ( ] ) 1 − − − − ( = ) = 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ = 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ( − 1 ) − ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ( 2 ] ( 2 ] 1 + + 1 + + 2 ( ) − + 1 , − 1 , − 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 。 − + 1 ( 2 。 2 2 )

因此,我们有下面的定理。

定理2.10。为 1 , 2 , … , , ∈ ℤ + 与 1 + 2 + ⋯ + > + 1 ,一个 ℤ ( ) = 1 ( ) , ( , ) − = ( ) = 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ = 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ( − 1 ) − ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ( 2 ] ( 2 ] 1 + + + 1 + w 2 ( ) − + 1 , − 1 , − 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ , − + 1 ( 2 。 2 3 ) 在哪里 1 + ⋯ + = 。

在相同的方式(2.15),我们可以得到以下关系: ℤ ( ) = 1 ( ) , ( , ) − = ( ) = 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ℤ ( ( ] ) − = 0 ( − 1 ) ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ( − − 1 ) ( ] − ( = ) = 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ − = 0 ( − 1 ) ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ − ( ) + + 1 , , , + + 1 ( 2 。 2 4 ) 在哪里 1 , 2 , … , , ∈ ℤ + 与 = 1 + 2 + ⋯ + > + 1 。

由定理2.10和(2.13),我们有以下推论。

推论2.11。让 ∈ ℕ 。为 1 , 2 , … , , ∈ ℤ + 与 1 + ⋯ + > + 1 ,一个 = 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ( − 1 ) − ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ( 2 ] ( 2 ] 1 + + 1 + + 2 ( ) − + 1 , − 1 , − 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ = − + 1 − = 0 ( − 1 ) ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ − ( ) + + 1 , , , + + 1 ( 2 。 2 5 ) 在哪里 1 + ⋯ + = 。