伯恩斯坦多项式与斯特灵数字和Carlitz伯努利数

文摘

最近,金(2011)伯恩斯坦多项式是不同的伯恩斯坦多项式的菲利普斯(1997)。在本文中,我们给出一个进积分表示伯恩斯坦多项式型和调查一些有趣的的身份伯恩斯坦多项式与类型二项分布的扩展,斯特灵,Carlitz伯努利数。

1。介绍

让是一个固定的质数。在这篇文章中,,,,表示的环进整数,领域进有理数、复数域和完成代数关闭,分别。让是自然数的集合。让归一化指数的估值与。

当一谈到扩展,被认为是一个不确定的,是一个复杂的号码吗,或者一个进数量。如果然后一个通常假定,如果然后一个通常假定。

的玻色子自然数的定义为,的阶乘被定义为(见[1- - - - - -3])。为二项式系数的扩展,我们使用以下符号的形式

让表示真正的区间上连续函数的集合。伯恩斯坦运营商的被定义为 在哪里。的多项式被称为伯恩斯坦多项式的学位(见[4- - - - - -8])。为,伯恩斯坦类型操作符为被定义为 在哪里。在这里被称为伯恩斯坦多项式型的学位(见[9])。

我们说一致可微函数在一个点吗和写,如果差商有一个限制作为。为,进积分上被定义为 (见[10])。Carlitz的伯努利数可以表示为一个进积分上如下: (见[10,11])。的阶的阶乘被定义为 ,被称为的阶乘的订单(见[10])。

在本文中,我们给出一个进积分表示伯恩斯坦多项式型和得到一些有趣的恒等式伯恩斯坦多项式的类型二项分布的扩展,斯特灵,Carlitz伯努利数。

2。伯恩斯坦多项式

在本节中,我们假设。让的空间多项式的程度小于或等于。

我们声称伯恩斯坦多项式型的学位定义为(1。3)的基础。

首先,我们看到伯恩斯坦多项式型的学位张成的空间多项式。也就是说,任何多项式的程度小于或等于可以写成一个线性组合的吗伯恩斯坦多项式型的学位。

为和,我们有 (见[9])。如果存在常数这样适用于所有,然后我们可以得到以下方程(2.1): 由于权力的基础是一组线性无关的,它遵循 这意味着(显然是零,用在第二个方程吗,替换这两个入第三个方程等等)。因此,我们有以下定理。

定理2.1。的伯恩斯坦多项式型的学位是一个基础。

让我们考虑一个多项式的线性组合伯恩斯坦型基函数如下: 我们可以写(2.4点积的两个值: 从(2.5),我们可以得到以下方程: 在哪里的系数是用来确定各自的权力基础伯恩斯坦多项式类型。

从(1。3)和(2.1),我们注意到

在二次情况下(),矩阵表示 在立方的情况下(),矩阵表示 在许多的应用伯恩斯坦多项式的矩阵公式伯恩斯坦多项式型似乎是有用的。

备注(见[2.212])。本节的所有结果是众所周知的在经典案例(见伯恩斯坦多项式的快乐)。

3所示。伯恩斯坦多项式,斯特灵的数字,伯努利数

在本节中,我们假设与。

为,让我们考虑一下进的模拟伯恩斯坦类型操作符在如下: 在这里是伯恩斯坦多项式型的学位在定义为 为和。

让运营商的转变。然后不同操作符被定义为 在哪里。从(3.3),我们得到以下方程: 由(3.4),我们很容易看到 (见[10,11])。

的斯特灵的第一种定义 和斯特灵的第二种定义的 由(3.3),(3.4),(3.6)和(3.7),我们得到 为(见[10,13])。

定义的伯恩斯坦多项式型的学位在,我们很容易看到 由(1。5)和(3.9),我们获得以下命题。

命题3.1。为,一个 在哪里是th Carlitz的伯努利数。

定义的伯恩斯坦多项式,我们注意 在哪里。定义的二项式系数, 由(3.12),我们看到 (见[10,11])。从(1。5),(3.11)和(3.13),我们获得以下定理。

定理3.2。为和,一个

很容易看到,, 由(3.11)和(3.15),我们很容易 (见[10])。因此,我们有 由(1。5)和(3.17),我们获得以下推论。

推论3.3。为和,一个

众所周知, (见[10])和 通过一个简单的计算,我们有 从(3.21),我们注意到 (见[10])。

因此,我们得到以下的命题。

命题3.4。为,一个

的定义斯特灵第一类数据,我们得到 由(3.11)和(3.24),我们获得以下定理。

定理3.5。为和,一个

由(3.15)和定理3.5,我们获得以下推论。

推论3.6。为,一个

的伯努利多项式的阶是由 因此,我们有 (见[10])。逆伯努利多项式的阶是由 在特殊的情况下,被称为“th伯努利多的订单,也称为逆伯努利多的订单(见[10])。

从(3.29),我们有 由(3.19)和(3.30),我们得到 因此,通过(3.11)和(3.31),我们获得以下定理。

定理3.7。为,一个

很容易证明 因此,我们有 在哪里。

确认

本文是由Kwangwoon大学2010年的研究资助,和作者要感谢裁判的仔细阅读和宝贵的意见。