文摘

我们表明,-convexified Tsirelson空间为及其补充子空间与无条件基有独特的无条件基排列。所涉及的技术证明是不同的方法已经被使用在所有其他的唯一性结果的非局部凸设置。

1。作品简介:唯一性的问题无条件的基础

如果quasi-Banach空间(尤其是巴拿赫空间)规范化无条件的基础(例如,对所有),据说有一个吗独特的无条件的基础(排列)如果当是另一个规范化的无条件的基础,然后相当于(排列);也就是说,存在一个自同构的这需要一个基础(排列)。

无条件的基础是古典的唯一性问题。众所周知,,,有一个独特的无条件的基础,任何其他无条件的巴拿赫空间基础上不能有这个属性1- - - - - -3]。

如果一个无条件的基础是独一无二的,特别是必须相当于所有的排列,因此必须是对称的。因此,明显的修改空间的规范基础是无条件的但不对称是要求无条件的独特性基础通过排列,它在许多方面是一个更自然的概念无条件的基地。分类的巴拿赫空间独特的无条件的碱基排列,然而,是一个更艰巨的任务。这种分类的第一步是在1976年由埃德尔斯坦和Wojtaszczyk4),表明任何有限直和的,,有财产。Casazza,他们的工作后,Bourgain Lindenstrauss, Tzafriri开始了全面研究旨在分类的巴拿赫空间具有独特uconditional基础上排列,最终在1985年他们的AMS回忆录(5]。他们认为无限的直接资金巴拿赫空间具有独特的无条件的基础和显示空间,,,都有独特的排列,无条件的基地,令人惊讶的是,和不。

然而,所有的希望粉碎,当他们发现了一个令人满意的分类的空间完全不同的性格,Tsirelson空间的特定变体,也有一个独特的无条件基排列。最近,进一步的例子“病态”空间具有独特排列得到的无条件的基础(6,7]。

quasi-Banach上下文中的空间不巴拿赫空间,无条件的独特性基础似乎是常态,而不是例外。例如,它是所示8),一个广泛的一类非局部凸Orlicz序列空间,包括空间,有一个独特的无条件的基础。在非局部凸洛伦兹序列空间也是如此(9,10)和哈代空间为(11]。

类似地,似乎再自然不过的翻译问题的独特性的无条件的基础上排列的非局部凸空间的设置无限的直接资金古典quasi-Banach空间与一个独特的无条件的基础,也就是说,,,,,,,,在那里。除了仍然是难以捉摸的,无条件的独特性基础建立了所有其他的空间(见[10,12- - - - - -14),按时间顺序)。虽然证明是不同的根据每种情况下,他们的依赖显式地在各自的相应结果所示巴拿赫信封(5),围绕着普及的“大系数”技术([10定理2.3]),建立等效的基本序列。

在本文中,我们改变了策略,部分的证明2取决于定理1。1。这是一个普遍的结果补充无条件的基本序列点阵anti-Euclidean quasi-Banach空间延伸的结果(7]。我们回想一下,quasi-Banach晶格足够的晶格欧几里得如果有一个常数这对于任何有运营商和这,,是一个格同态。这相当于问是有限的补子格的。我们会说,是晶格anti-Euclidean如果不是足够晶格欧几里得。我们还将使用术语序列空间意味着quasi-Banach空间序列,以便规范基向量形式无条件的基础。

定理1.1(见[14定理3.4])。让和是quasi-Banach序列空间。假设是凸对一些这同构的子空间补充吗。假设巴拿赫的信封的晶格anti-Euclidean。然后存在和补充不相交的正序在这相当于单位向量的基础上在。此外,投影的到形式可以吗 在哪里和对所有。

帮助确定两个无条件基地permutatively相当于我们将使用以下形式的Cantor-Bernstein原则。

定理1.2(见[11,命题2.11])。假设和是两个无条件的基本序列quasi-Banach空间然后和是等价的(置换)当且仅当吗相当于(置换)的子序列和相当于(置换)的子序列。

2。主要结果

在本节中,我们解决问题的独特性的无条件的基础空间为。这些空间的非局部凸同行凸化Tsirelson空间,介绍了Figiel和约翰逊(15]。那些不熟悉的读者Tsirelson空间找到一个方便的建筑和它的一些基本属性(16]。更深入的方法,标准的引用(17)(cf。15])。

鉴于,凸化Tsirelson空间是获得通过将

对于实数序列这样。方程(2。1)定义了一个标准和一个规范时。显然,空间仅仅是。

标准单位向量形式无条件的基础对所有。Casazza和Kalton成立于7)排列的无条件的独特性基础及其与无条件的基础上补充子空间作为副产品的研究补充基本序列点阵anti-Euclidean巴拿赫空间。他们的结果由Bourgain等人在回答一个问题5),作者证明了无条件的独特性基础的排列凸化的。

在这里,我们表明,,空间及其与无条件的基础属于补充子空间类quasi-Banach空间的一种独特的无条件的基础,排列。证明之前的步骤对应的唯一性结果。这就要求首先扩展一些概念和结果(7]quasi-Banach序列空间。尽管变化小,我们决定把他们供参考,供以后使用。

定义2.1。借贷的定义(7第5部分),如果quasi-Banach空间与无条件的基础上我们会这样说是left-dominant常 如果当和是两个不相交的序列与和这样的增刊增刊为,然后。同样的,我们会说是right-dominant常 如果当和是两个不相交的序列与和这样的增刊增刊为,然后。我们将参考任何标准化的无条件的基本顺序是左或right-dominant如果相关的序列空间左或right-dominant分别。
例如,空间——和right-dominant当离开了。反过来,是一个right-dominant空间所示(7此后,命题5.12),这句话我们推断为。
我们的下一个结果,命题2。2和2。5,本质上是定理5.6和5.7的7),分别进行少量的修改来达到我们的目的。

命题2.2(见[7定理5.6])。让是一个左——或者right-dominant quasi-Banach空间与无条件的基础。假设()是一个补充标准化的分离序列然后permutatively相当于子序列的。

证明。证明在局部凸的情况下几乎逐字适用于此设置,因此我们忽略它。

接下来的两个前题将用于以下。

引理2.3(见[7,命题5.4])。假设是左——(职责,对吧)主导的quasi-Banach空间这是一个自然数这样的排列吗也离开了——(职责,对吧)占主导地位。然后是一个常数这样,对于任何, 分别地,

我们说是相当于其广场如果permutatively相当于基础的。

引理2.4(见[7,命题5.5])。让是一个左或right-dominant quasi-Banach空间的基础。为了使相当于它的平方是必要且充分的相当于。

从理论Schauder基地,如果回忆和基本序列是quasi-Banach空间吗,然后占主导地位 如果所有选择的标量,每当然后。

命题2.5(见[7定理5.7])。假设quasi-Banach空间与左(或右)占主导地位的无条件的基础导致一个凸晶格结构对于一些和这样的相当于它的广场。假设巴拿赫的信封的晶格anti-Euclidean。然后,(1)每一个补充规范化无条件的基本序列在permutatively相当于子序列的,(2) 有一个独特的无条件的基础,排列。

证明。考虑left-dominant案例。这种假设与事实相结合相当于其平方意味着引理吗2。4那和是等价的。如果是补充规范化无条件的基本序列然后,通过定理1。1,相当于一个补充分离序列,命题2。2反过来会permutatively相当于子序列吗的。因此,(1)。
(2),假设是一个规范化的无条件的基础。应用定理1。1我们又一次看到,相当于一个补充的分离序列倍的基础上的对于一些。序列写在明显的顺序是很容易看到left-dominant,permutatively相当于一个子集的。另一方面,permutatively相当于一个子集的permutatively相当于。定理1。2收益率和permutatively是等价的。
序列占主导地位由引理2。3和类似的占主导地位。自和我们推断出是相等的相当于。现在是由和主导所以相当于。因此相当于。现在相当于因此,。自,相当于和完成的证据。

定理2.6。如果,-convexified Tsirelson空间及其补充子空间与无条件的基础上有一个独特的无条件的基础,排列。

证明。为,空间是凸,right-dominant,巴拿赫信封,晶格anti-Euclidean。除此之外,一个简单的参数等效的基本序列结合的事实和是等价的(见[1714页)收益率和是等价的也在。上诉引理2。4收益率的等价性和这是格同构的广场。因此在无条件的独特性基础是命题的结果吗2。5(2)。
如果是一个(有限或无限维度)补充子空间的与规范化无条件的基础,然后permutatively相当于子序列的由命题2。5(1)。显然,是right-dominant,相当于(见[1714页),结果是在前款规定的一样。

2.7的话。为的凸化的没有一个独特的无条件基排列。事实上,正如Kalton指出,这是因为可以表示成,在这个和因素有无条件的基础包含在其向量一个与(见[18,1649页)。这也意味着,在这种情况下,足够欧几里得的参数在定理的证明吗2。6和[7定理5.7)将不会工作。

我们的工作离开打开下面的唯一性问题。

问题1。让。的空间有独特的无条件的基础一个排列?

问题2。众所周知,不能有一个独特的无条件的基础上排列(19]。这将是有趣的知道是否也是在空间为。

问题3。确定有一个独特的无条件的基础时排列当。

确认

直呼其名的作者承认西班牙的支持Ministerio de Ciencia e Innovacion研究项目Operadores,网状,y geometrtia de espacios德巴拿赫参考编号mtm2008 - 02652 / MTM。