文摘
解非齐次欧拉微分方程的形式并将这一结果应用于解析函数的近似解的一种特殊类型的欧拉微分方程。
1。介绍
函数方程的稳定性问题从著名的谈话乌兰和人士的部分解决方案Hyers乌兰的问题(见[1,2])。此后,Rassias [3]试图解决稳定性问题柯西加法函数方程的一般设置。
稳定性概念引入Rassias”定理显著影响许多数学家研究各种函数方程的稳定性问题(见[4- - - - - -10),在其中的引用)。
假设和是一个拓扑向量空间和赋范空间,分别和是一个开放的子集。如果对于任何函数满足微分不等式
对所有对于一些,存在一个解决方案微分方程的
这样对于任何,在那里是一个表达式,然后我们说,上述微分方程满足Hyers-Ulam稳定(或当地Hyers-Ulam稳定域不是整个空间)。我们可以应用这些术语为其他微分方程。Hyers-Ulam稳定的更详细的定义,请参考[1,3,5,6,8- - - - - -11]。
Obloza似乎第一作者调查了Hyers-Ulam线性微分方程的稳定性(见[12,13])。在这里,我们将介绍Alsina和蒙古包(见[14):如果一个可微的函数微分不等式的一个解决方案吗,在那里是一个开放的子区间的,那么存在一个解决方案微分方程的这样对于任何。
这个结果Alsina和蒙古包被Takahasi广义,三浦,和Miyajima:他们证明(15]Hyers-Ulam稳定适用于巴拿赫space-valued微分方程(参见[16])。
使用传统的幂级数方法,第一作者调查了非齐次的埃尔米特微分方程的通解形式
在一些特定的条件下,是一个真正的数量和幂级数的收敛半径是正的。这个结果是应用证明每一个解析函数可以近似的社区由埃尔米特函数绑定了一个错误(见[17- - - - - -20.])。
节2本文利用幂级数方法,我们将调查的一般解非齐次欧拉(或柯西)微分方程
在哪里和是固定的复数和系数给出了幂级数的收敛半径。此外,使用从[17- - - - - -19),我们将一些解析函数的近似,欧拉微分方程的解决方案。
在这篇文章中,表示所有非负整数的集合。
2。非齐次欧拉方程的一般解
二阶欧拉微分方程
这有时被称为二阶柯西微分方程,是一个最著名的微分方程和经常出现在应用程序。
二次方程
被称为辅助方程的欧拉微分方程(2.1),每一个解决方案(2.1)的形式
在哪里和是复杂的常量(见[21,2.7节)。
定理2.1。让和很复杂的常量,这样没有辅助方程的根(2.2)是一个非负整数。如果幂级数的收敛半径至少是,然后每一个解决方案非齐次欧拉微分方程(1。4可以表达的 对所有,在那里是欧拉微分方程的解决方案(2.1)。
证明。假设给出的是一个函数(2.4),是一个欧拉齐次微分方程的解决方案(2.1)。我们首先证明函数,定义为满足非齐次方程(1。4)。
事实上,我们有
这证明了是一个非齐次方程的特解(1。4)。此外,每个幂级数出现在上面的等式具有相同的收敛半径(可以使用比测试验证了)。因为每一个解决方案(1。4)可以表示为一个一个解决方案齐次方程的一个特解非齐次方程的每个解决方案(1。4)当然是形式(2.4)。
现在我们将应用比值判别法的幂级数(2.4)。事实上,通过设置,我们得到
因此我们有
这意味着中给出的幂级数(2.4)具有相同的幂级数收敛半径至少,这是。也就是说,在(2.4在其域)是定义良好的。
3所示。近似欧拉微分方程
在本节中,假设和是复杂的常量和是一个积极的常数。对于一个给定的,我们表示所有功能的集合属性(a)和(b):
(一) 由幂级数可表现的至少是谁的收敛半径;(b) 对于任何在我们组为。让是一个正实数序列,这样级数的收敛半径至少是,让和既满足和或。如果一个函数被定义为,然后当然属于与。因此,一组不是空的,如果。特别是,如果很小,很大,那么是一个大型的分析功能。
现在我们将解决近似解析函数的欧拉微分方程在一个特殊的类,。
定理3.1。让和很复杂的常量,这样没有辅助方程的根(2.2)是一个非负整数。如果一个函数满足微分不等式 对所有对于一些,那么存在一个解决方案欧拉微分方程(2.1),这样 对于任何。
证明。自属于,它是(a)和(b)
对所有。通过考虑(3所示。1)和(3所示。3),我们得到
对于任何。这种不平等,以及(b),收益率(殖利率)
为每一个。
现在,假设一个任意的是给定的。然后我们可以选择一个任意常数。亚伯的公式(参见[22定理6.30]),我们有
在我们组
自对于任何和,它遵循从(3所示。5)和(3所示。6),
如果我们让在上面的不平等,然后我们获得
对所有和任何。自作为,我们得到
对于每一个。
最后,它遵循从(3所示。3),定理2.1,(3.10),存在一个解决方案欧拉微分方程(2.1),这样
对于任何。
4所示。一个例子
我们修复,假设一个小是给定的。我们可以选择一个常数这样
我们将考虑函数可以表达的幂级数的收敛半径。
如果我们将和对于任何,那么它遵循从(b)
因此,我们有
对于任何,这使我们能够选择。因此,它认为。
此外,我们有
对所有。现在遵循的定理3所示。1存在复杂的数字和与
对于任何。
确认
作者想表达诚挚的感谢裁判,他们有用的评论和建设性的评论改进本文的第一个版本。这项工作是由韩国国家研究基金会授予由韩国政府(没有。2009 - 0071206)。