永久的周期捕食系统与一般非线性功能反应和阶段结构捕食者和猎物

文摘

我们研究周期捕食系统的持久性与一般非线性功能反应和阶段结构捕食者和猎物和获得的捕食者和猎物物种是永久性的。

1。介绍

捕食者-猎物理论中的一个重要和普遍存在的问题和相关的话题在数学生态学问题的长期共存的物种。在自然界有许多物种的个体成员需要通过两个阶段的生活史:未成熟和成熟。特别是,我们想哺乳动物种群和一些两栖动物,展示这两个阶段。最近,时滞系统具有阶段结构被认为是在1- - - - - -16];尤其是定期讨论了具有阶段结构的捕食系统(3,4,7,13,14]。

已经在3),崔和歌曲提出以下具有阶段结构捕食模型的猎物: 他们获得一组充要条件,保证系统的持久性。

在[4竹内,崔和考虑周期具有阶段结构的捕食系统如下: 在哪里

最近,黄等。7]研究以下定期stage-structured三种捕食系统,温和IV和Beddington-DeAngelis功能响应:

在哪里和都是连续的积极周期函数;和表示未成熟和成熟的猎物物种的密度在时间分别;代表了猎物的捕食者密度不成熟的猎物;代表其他捕食者猎物的密度在成熟的猎物。

假定在经典的捕食模型,每个攻击猎物和捕食者承认相同的能力每个猎物承认同样的风险通过捕食者的攻击。这种假设似乎不现实的对许多动物。另一方面,捕食系统,只有不成熟的人被他们的捕食者在本质上是众所周知的。描述的一个例子是(9),中国fire-bellied纽特,这是中国林蛙无法捕食成熟只能在其不成熟的猎物。

最好的作者的知识,对于时滞周期具有阶段结构的捕食系统对捕食者和猎物,是否可以获得永久的系统,仍然是一个悬而未决的问题。

出于上述问题,我们考虑下面的周期捕食系统与一般非线性功能反应和阶段结构捕食者和猎物: 在哪里和都是连续的积极周期函数。在这里和表示未成熟和成熟的猎物物种的密度,分别和表示未成熟和成熟的食肉动物物种的密度,分别。这个函数假设满足以下假设,详细研究了Georgescu和Morosanu [17]。

(G)类的增加在 和这样的减少在 为在哪里

注意,假设如果函数(G)满意代表温和II型功能性反应,,在这是资源的搜索速度和中间的消费者,然后呢代表相应的清除率,搜索速度乘以(据说常数)处理时间。

本文的目的是,通过进一步发展崔和歌曲的分析技术3和崔和竹内弘高4),获得一组充分必要条件,确保系统的持久性(1。5)。论文的其余部分安排如下。节2,我们介绍一些引理,然后说明本文的主要结果。结果证明在部分3。

2。主要结果

定义2.1。该系统 据说是永久的,如果存在一个紧集吗在内部的,这样从内部的所有解决方案最终进入并保持在。

引理2.2(见[6])。如果和都是周期,那么系统 有一个积极的周期性的解决方案这是全局渐近稳定对吗。

定理2.3。系统(1。5)是永久性的。

3所示。主要结果的证明

我们需要下列命题证明定理2.3。的假设前题和前面的部分定理认为在下面。

命题3.1。存在一个正的常数这样

证明。很明显,是一套积极不变的系统(1。5)。鉴于任何积极的解决方案(1。5),从第一和第二方程系统(1。5),我们有
由引理2.2,下面的辅助方程 全局渐近稳定积极吗周期性的解决方案。让的解决方案(3所示。3),。相比之下,我们有 为从全球周期,对于任何积极的足够小,存在一个这样 (3所示。4)结合(3所示。5)导致
让然后我们有 这就完成了命题的证明3所示。1。

命题3.2。存在一个正的常数这样

证明。鉴于任何积极的解决方案(1。5),第三和第四方程的系统(1。5),我们有
由引理2.2,下面的辅助方程 全局渐近稳定积极吗周期性的解决方案。让的解决方案(3.10),。相比之下,我们有 为。从全球周期,对于任何积极的足够小存在一个这样 (3.11)结合(3.12)导致
让然后我们有 这就完成了命题的证明3所示。2。

命题3.3。存在一个正的常数这样

证明。鉴于任何积极的解决方案(1。5),由命题3所示。1,存在一个这样
第三和第四方程的系统(1。5),我们有
由引理2.2,下面的辅助方程 全局渐近稳定积极吗周期性的解决方案。让的解决方案(3.18),。相比之下,我们有 为。从全球周期,对于上面给定的正数,存在一个这样 (3.19)结合(3.20)导致
让然后我们有 这就完成了命题的证明3所示。3。

命题3.4。存在一个正的常数这样

证明。由命题3所示。1和3所示。3,存在一个这样
从第一和第二方程系统(1。5),我们有
自假设满足的假设微分中值定理,我们有
从(3.25)和(3.26),有
由引理2.2以下辅助方程: 全局渐近稳定积极吗周期性的解决方案。让的解决方案(3.27),。相比之下,我们有 为。从全球周期对于任何积极的足够小存在一个这样 (3.29)结合(3.30)导致
让然后我们有 这就完成了命题的证明3所示。4。

定理的证明2.3。由命题3所示。1,3所示。2,3所示。3,3所示。4系统(1。5)是永久性的。这就完成了定理的证明2.3。

引用

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