文摘
作者建立了一些身份涉及数字、伯努利数和中央!第一类数据。生成函数和几个计算公式-Norlund数字。
1。介绍和结果
伯努利方程的多项式的订单,对于任何整数,可以定义(见[1- - - - - -5])
这些数字伯努利的订单数量吗,普通的伯努利数(见[2,6,7])。由(1。1),我们可以得到(参见[4,145页) 在哪里,正整数的集合。
这些数字被称为Norlund数字(见[4,8])。的生成函数Norlund数字(见[4,150页)
这些数字被称为“-Norlund数字。这些数字和有许多重要的应用。例如(见[4,246页)
现在我们转到中央的阶乘的数字第一类,通常定义为(见[9- - - - - -12]) 或通过以下生成函数:
它遵循从(1.11)或(1.12), 这 在哪里克罗内克符号表示。
由(1.13),我们有
本文的主要目的是证明一些身份有关数字、伯努利数和中央的阶乘的第一种获得母函数和几个计算公式-Norlund数字。也就是说,我们将证明以下主要结论。
定理1.1。让,。然后
1.2的话。由(1.18),我们可以立即推断出以下(见[4,147页):
定理1.3。让 。然后
1.4的话。由(1.20)和(1.17),我们可以立即推断如下:
定理1.5。让。然后
一个发现
由(1.23),注意
人们可能会立即推断出下面的推论1。6。
推论1.6。让。然后
定理1.7。让。然后(我) (2) (3)
定理1.8。让。然后(我) (2)
2。定理的证明
定理的证明1。1。由(1。4)和(1。3),我们有 设置在(2。1),我们得到 由(2。2)和(1。7),我们立即获得(1.18)。这就完成了定理的证明1。1。
定理的证明1。5。注意标识(见[4,203页) 我们有 由(2。4)和(1。2),我们有 也就是说, 由(2。6)和(1。7),我们有 由(2。7)和(1.19),我们立即获得(1.23)。这就完成了定理的证明1。5。
定理的证明1。7。由(1。6),我们有
在哪里是一个整数。
设置在(2。8),注意,我们有
由(2。9),(1.19),(1。8)和(1.21),我们立即获得(1.26)。
设置在(2。8),注意,我们有
由(2.10),(1.19),(1。8)和(1.21),我们立即获得(1.27)。
设置在(2。8),注意,(1.20),,我们立即获得(1.18)。这就完成了定理的证明1。7。
定理的证明1。8。设置在(2。8),注意(1.19),(1.20)和(1。8),我们立即获得(1.29)。
设置在(2。8),注意(1.22),(1.20)和(1。8),我们立即获得(1.30)。这就完成了定理的证明1。8。
承认
这项工作得到了广东省自然科学基金(没有。8151601501000002)。