注意“公共不动点的多步迭代努尔错误广义渐近Quasi-Nonexpansive映射为一个有限的家庭”

文摘

本文的目的是给一位将军和短原则证明一些特定类型的迭代序列的收敛性结果。在报纸上一个小缺口Imnang和Suantai(2009)讨论和纠正。最后,我们证明了广义渐近quasi-nonexpansive映射的局域网(2006)渐近quasi-nonexpansive。因此一些结果关于这些映射成为已知的一个特例。

1。介绍

让是一个非空的巴拿赫空间的子集。一个映射据说是

(我)渐近扩张(1如果存在一个序列在这样和

对所有和; (2)渐近quasi-nonexpansive(2如果和存在一个序列在这样和

对所有,和; (3)广义渐近扩张如果存在序列在这样和

对所有和; (iv)广义渐近quasi-nonexpansive(3如果和存在序列在这样和

对所有,和。

许多研究人员关注他们的近似不动点的一个映射或映射的公共不动点的一个家庭。一种有效的方法是使用一个序列由一个适当的迭代生成的。在本文中,我们提出一个通用和短原则证明一些特定类型的迭代序列的收敛性结果。我们还讨论和纠正小差距在最近的一篇论文Imnang和Suantai4]。在最后一节中,我们给出一个评论广义渐近quasi-nonexpansive映射在局域网的感觉5]。

让是一个有限的家庭self-mappings闭凸子集的。序列生成的,

在哪里有界序列在,,序列在这样对所有和。

2。主要结果

2.1。单调序列类型(1)和(2)

定义2.1。让在度量空间是一个序列和的一个子集。我们说是(我)(1)对单调类型 (6如果存在序列和这样的非负实数,和 对所有和;(2)(2)对单调类型 如果为每个存在序列和这样的非负实数,和 对所有。

命题2.2。如果是单调的类型(1)对吗,那么它是单调的类型(2)对。

引理2.3 ((7,引理])。让,,非负实数序列,这样 如果和然后的存在。

定理2.4。让完备度量空间,,一个序列。然后下面的断言。(一)如果是单调的类型(2)对吗,然后对于所有存在。(b)如果是单调的类型(1)对吗,然后的存在。(c)如果是单调的类型(1)对吗和,然后对于一些令人满意的。特别是,如果是封闭的,那么。

证明。(一)很容易看到的结果是(2.2)和引理2.3。(b)请注意,和是独立的。接管下确界所有在(2.1)给 再次,通过引理2.3,我们得到的存在。(c)它遵循和(b)那 表明是一个柯西序列,让。自,我们可能不失一般性的假设有一个序列在这样对所有。作为是有界的,我们把。从(2.1),我们有 在哪里。因此, 请注意,。所以存在这样。然后对所有,我们有 因此,是一个柯西序列。的完整性,我们假设对于一些。自 我们获得。这就完成了证明。

2.2。最近Imnang和Suantai结果的修正

以下的观察是一个辅助的结果。

命题2.5。让是一个非空的巴拿赫空间的子集,让是广义渐近quasi-nonexpansive映射。然后存在序列在这样和 对所有,。

从现在开始,我们假设广义渐近quasi-nonexpansive映射配有序列在如前所述在前面的命题。

定理2.6。让是一个非空的巴拿赫空间的闭凸子集,有限的家庭的广义渐近quasi-nonexpansive self-mappings的序列这样和。假设是封闭的,的序列定义为(1.5),这样为每一个。然后序列收敛强烈的公共不动点的家庭当且仅当映射。

2.7的话。(有一个小缺口4,定理]。更准确地说,这个序列由(1.5)所示4,定理)单调的类型(2)对,也就是说,其中每个是一个非负实数取决于。然后表达式不能保证。

2.8的话。相同的差距也出现在[8,引理]和[6,定理]。

定理的证明2.6。必要性是显而易见的。相反,我们首次展示是单调的类型(2)对吗。让。我们有 在哪里。请注意,和是有界的。然后。它遵循从(2.12), 在哪里。请注意,和是有界的。然后。继续这个过程,有一个序列这样的非负实数和 然后是单调的类型(2)对吗。由定理2.4(一),我们得到存在,是有界的。接下来,我们证明是单调的类型(1)对吗。它遵循从(2.11), 在哪里。请注意,,是有界的,。然后和是独立于。再次,继续这个过程,我们得到一个序列的非负实数,它是独立的,和 对所有和。然后是单调的类型(1)对吗。因此,结果是(2.16)和定理2.4(c),这就完成了证明。

2.9的话。定理2.4是一个修正的4,定理]。事实上,封闭收获的并不认为(现在这个缺陷纠正后本文提交)。此外,下面的例子所示,广义渐近扩张映射的不动点集不一定是封闭的即使在希尔伯特空间。

示例2.10(广义渐近扩张映射的不动点集是不关闭)。让是一个映射定义的 然后广义渐近扩张。

证明。请注意,不是封闭的。我们证明 对所有和。拥有非常如果之上的不平等或。然后它就可以考虑下面的情况。例1 ()。然后 例2 (和)。然后 例3 (和)。然后 例4 (和)。然后 因此,(2.18)持有。这就完成了证明。

2.11的话。为这是定义的例子吗2.10和,我们定义 在哪里和。不难证明和。因此(4,定理和)不持有甚至单个映射不动点集的封闭收获不是假设。

我们目前的一个充分条件保证封闭收获不动点集的广义渐近quasi-nonexpansive映射。

定理2.12。让是一个非空的巴拿赫空间的子集和一个通用的渐近quasi-nonexpansive映射。如果是封闭的,那么是关闭的。

证明。让是一个序列这样。自是一个广义渐近quasi-nonexpansive映射序列,我们有 然后,所以。因此,封闭收获的,。这就完成了证明。

2.13的话。它也是值得一提的制服李普希兹条件的映射(4,定理和]意味着封闭收获的图表。

下面的结果表明,封闭收获的可以删除,如果是渐近quasi-nonexpansive。

定理2.14。让是一个非空的巴拿赫空间的子集,一个渐近quasi-nonexpansive映射。然后是关闭的。

证明。假设是一个渐近quasi-nonexpansive映射序列。让是一个序列这样。我们有 然后。这就完成了证明。

2.15的话。并不是每一个广义渐近渐近quasi-nonexpansive quasi-nonexpansive映射。事实上,映射在示例2.10不是渐近quasi-nonexpansive自不是封闭的。

3所示。备注局域网的广义渐近Quasi-Nonexpansive映射

以下映射引入局域网(5]也熊广义渐近quasi-nonexpansive名称映射。我们回忆起他的定义。

定义3.1(见[5、定义()))。让巴拿赫空间的一个子集。一个映射被称为广义渐近quasi-nonexpansive的局域网如果存在两个序列和这样和 对所有,,。

局域网(5和许多作者(例如,8- - - - - -11])调查了收敛性定理等映射没有意识到局域网的映射并不是新的。

命题3.2。如果是广义的渐近quasi-nonexpansive局域网,然后渐近quasi-nonexpansive。

证明。局域网的定义,存在两个序列和这样和 对所有,,。因此, 这意味着 同样清楚的是,这就完成了证明。

确认

第一和第二作者的研究是数学部分支持的卓越中心,泰国高等教育委员会。第三作者是支持科学的人力资源开发项目。

引用

1. k . Goebel和w·A·柯克”渐近扩张映射的不动点定理。”美国数学学会学报》上,35卷,第174 - 171页,1972年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
2. 问:刘”,与误差渐近quasi-nonexpansive映射迭代序列成员,”《数学分析和应用程序,卷259,不。1 - 24岁),2001页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
3. n沙赫扎德和h . Zegeye强隐式迭代过程的收敛为一个有限的家庭广义渐近quasi-nonexpansive地图,”应用数学和计算,卷189,不。2、1058 - 1065年,2007页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
4. Imnang和美国Suantai”,常见的多步努尔不动点迭代与错误有限的家庭的广义渐近quasi-nonexpansive映射,”抽象和应用分析ID 728510条,卷。2009年,14页,2009。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
5. H.-Y。局域网,“共同定点迭代过程为广义渐近quasi-nonexpansive映射错误,”计算机和数学与应用程序,52卷,不。年级,1403 - 1412年,2006页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
6. 周h . y . g . l .高g·t·郭和y . j .曹”一些一般性的收敛原理与应用”,朝鲜数学学会公报,40卷,不。3、351 - 363年,2003页。视图:谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
7. K.-K。谭和h . k .徐”近似石川扩张映射的不动点的迭代过程中,“《数学分析和应用程序,卷178,不。2、301 - 308年,1993页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
8. y . j .赵,j·k·金和h . y .局域网”三个步骤迭代过程为广义误差渐近quasi-nonexpansive映射在巴拿赫空间中,“台湾《数学,12卷,不。8,2155 - 2178年,2008页。视图:谷歌学术搜索|MathSciNet
9. w . Cholamjiak和s . Suantai”近似广义的公共不动点的一个有限的家庭渐近quasi-nonexpansive映射,”泰国《数学》第六卷,没有。2、315 - 322年,2008页。视图:谷歌学术搜索|MathSciNet
10. j . Nantadilok“共同定点$N$一步一步迭代计划的错误为有限的家庭广义渐近quasi-nonexpansive映射,”摩根大通不动点理论及应用》杂志上,3卷,不。3、199 - 218年,2008页。视图:谷歌学术搜索|MathSciNet
11. j . Nantadilok“三步迭代计划对广义误差渐近quasi-nonexpansive映射,”泰国《数学》第六卷,没有。2、295 - 306年,2008页。视图:谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet

版权

版权©2009 Satit Saejung等。这是一个开放的分布式下文章知识共享归属许可,它允许无限制的使用、分配和复制在任何媒介,提供最初的工作是正确引用。