孔隙度的凸无处稠密的赋范线性空间的子集

文摘

本文致力于以下问题:如何描述凸无处稠密的赋范线性空间的子集的孔隙度?本研究的动机源于论文诉Olevskii和l . Zajiček表明,凸的地方无处稠密的赋范线性空间的子集多孔在某些强烈的感官。

1。介绍

本文关注的主题描述小有趣的度量空间的孔隙度。孔隙度的概念孔隙度(一组多孔如果是可数的多孔集)可以被认为是更强的版本的密度和meagerness-in特别在任何“合理”的度量空间,集无处稠密的、并不存在多孔。因此,有趣的是知道一些集不仅是无处稠密的(的),但即使是多孔(多孔)。在这样一个许多早期的结果方向扩展,例如,原来所有巴拿赫的集合收缩不仅是微薄的,也多孔的空间扩张映射的映射(cf。1,2])。因为有各种类型的孔隙度(或多或少的限制),发现的自然问题最为严格的孔隙度的概念,将适用于一套检查,也是一个有趣的任务。读者不熟悉孔隙度是指调查论文(3,4实线)孔隙度,度量空间,赋范线性空间。

在论文中我们试图回答以下问题:什么是渺小的最佳逼近(孔隙度)的凸无处稠密的赋范线性空间的子集?Zaji埃克(4)注意到,这种集球多孔每和锥多孔(cf。4,518页)。事实上,Zajiek的观察是一个改善的早些时候结果Olevskii [5(所示](就像6],Olevskii与孔隙度比弱很多版本球孔隙度)。因此我们的目的,我们需要找到一些更强的条件,这将暗示球孔隙度为每一个和锥孔隙度。

本文组织如下。节2我们给某些类型的孔隙度的定义,也就是说,球孔隙度、角孔隙度(一个更强大的版本锥孔隙度)和介绍c-porosity的概念。我们也做一些基本的观察(例如,c-porosity 角孔隙度 球孔隙度)和证明c-porosity给小凸无处稠密的集的特征。

节3,我们证明在任何希尔伯特空间与单位球是角多孔和不是一个可数c-porous联盟(即集。,不是-c-porous)。这个观察显示的概念角孔隙度是非常远离c-porosity的概念。

部分的动机4源于这一事实的概念c-porosity连续泛函,使用空间。在本节中,我们讨论的可能性找到最佳逼近的小凸无处稠密的集的孔隙度不使用

节5,我们给予的一个例子-c-porous连续函数空间的子集。其他有趣的-c-porous集,我们参考读者5(其中一个处理Banach-Steinhaus原则)。

2。一些孔隙度的概念

在本节中,我们讨论的定义球孔隙度、球小,(-)角孔隙度,(-)c-porosity。我们也做一些基本的观察,这将用于续集(见命题2.8和示例2.9)。

让是一个真正的赋范线性空间。鉴于和,我们表示用中心开放的球和半径。通过我们都表示的空间连续线性泛函,。

定义2.1(见[4,7])。让。我们说是- - - - - -球多孔如果对任何和存在这样和

2.2的话。的定义球孔隙度呈现在7]、[4,516页)从上面的一个略有不同。也就是说,是如果对任何球多孔和存在这样和然而,很明显,这两个定义是等价的。

定义2.3(见[4,7])。我们说是- - - - - -角多孔如果对于每一个和每一个,存在和这样

请注意,角孔隙度可以视为“全球”版本(在介绍中提到的)锥孔隙度,特别是,角孔隙度意味着锥孔隙度。

的定义锥孔隙度和角孔隙度,,4516页]和[7),分别。

定义2.4。 被称为c-porous如果对任何和每一个有和这样

C-porosity是合适的概念来描述的小凸无处稠密的设置(见命题2.5),是一种更强的角孔隙度(而不是)。事实上,考虑到单位球任何重要的赋范空间。不是c-porous(简单和),角度可以看到它,使用Hahn-Banach分离定理(cf。8为集)(关闭),,在那里和。

如果一组是一个可数联盟c-porous集,然后我们说是-c-porous。我们以同样的方式定义- - - - - - 角孔隙度。如果和每个是球多孔对一些,然后我们说是球小。

接下来的结果表明,c-porosity是渺小的最佳逼近(的孔隙度)的凸无处稠密的设置(在我们扩展Zaji提出的论点的证据埃克(4,518页)。

命题2.5。一个子集赋范空间是c-porous当且仅当conv吗是无处稠密的。

证明。”“很明显,对于任何和我们有 因此,如果c-porous,那么conv吗也是c-porous,特别是无处稠密的。
”“修复任何和。自(conv关闭)是无处稠密的存在。集和满足Hahn-Banach分离定理的假设,所以存在和这样和任何 。然后。

推论2.6。让是任何赋范空间和让这样是任何条件 如果每个凸和无处稠密的子集满足的,那么任何c-porous子集满足。

的概念角孔隙度和c-porosity涉及空间;然而,在其起源孔隙度度量空间中定义。在本节中,我们将展示的下一部分没有使用什么样的孔隙度是隐含的命题2.8)。请注意,我们将使用这个结果在部分3和4。

我们省略以下结果的证明,因为它是技术和可以很容易地推导出的证明(5,引理]。

引理2.7。让 ,。如果然后存在这样和

命题2.8。下面的语句。(我)如果是角多孔,然后是球多孔每,也就是说, (2)如果c-porous,那么

证明。我们只会自的证明是非常相似的。修复 和。让是这样的,,让和是这样的,和由引理2.7,我们有这样的存在这样和自,结果如下。

请注意,(2.7)比(2.6)。事实上,在任何赋范空间满足单位球(2.6),不满足(2.7)。在续集中,我们将扩展这个观察(见定理3.2)。

下一个例子显示,特别是,匡威的命题2.8是不正确的。

例2.9。让下面是一个真实的巴拿赫空间:或 , 。让我们定义一组,在那里

现在我们将显示满足以下条件,比(2.7)(,特别是比(2.6)):

采取任何看到它和。自 ,存在这样 。不失一般性,假设现在我们是这样的,

然后。看到,采取任何并考虑三种情况。

(我) ,然后(2) 然后(3) ,然后

现在我们将显示不是角多孔。它能充分表明,对于任何一个和,。修复和,那么存在一个序列这样对于任何。让是这样的,。不失一般性,假设。让是这样的,。然后和

因此不是角多孔,因此不是c-porous。

3所示。在孔隙度

在本节中,我们将展示c-porosity是更为强大的孔隙度比的概念角孔隙度。这将证明引入这一概念。

从现在开始,如果是一个真正的希尔伯特空间呢表示真正的希尔伯特空间与内积定义如下:

表示由和生成的规范和分别。

我们将显示,在任何重要的真正的希尔伯特空间与,单位球不是-c-porous。事实上,我们将获得一个更一般的结果。如果,然后存在这样不满足(2.7),因此(通过命题2.8)不是-c-porous。

引理3.1。让是一个非平凡真实的希尔伯特空间。对于任何一组 不满足(2.7)。

证明。取,和 很容易看到。让是这样的, 我们将显示考虑以下三种情况。例1 (和)。然后 的确,否则我们会有矛盾 集。很容易看到。我们将显示。由(3.4),我们有 因此,如果然后,通过(3.3),我们推断 如果然后,再由(3.3),我们得到 例2 (和)。在这种情况下。集与。很明显,。我们将显示。由(3.3),(3.4),这一事实,我们得到 例3 ()。取。由(3.3)和(3.4我们推断 所以
因此,在所有情况下因此结果如下所示。

定理3.2。让是任何希尔伯特空间,让的单位球。如果,那么就这样不满足(2.7)。特别是,不是-c-porous。

证明。第二个语句遵循从第一个命题2.8。我们将证明第一个语句。让希尔伯特空间自完成时,贝利的一类定理,有吗这样不是无处稠密的因此存在一个非空的集合打开这样(通过我们表示关闭在空间)。因为关闭一个满足(2.7),也满足(2.7),证明如果我们显示完成不满足(2.7)。采取任何并考虑一维子空间。众所周知(见,例如,8)), 是一个封闭的子空间的和。考虑到空间。很容易看到,函数是一个等大的同构之间和。自(2.7)是一个度量条件,它可以显示一组 不满足(2.7)。自和是一个同胚之间和,一组是开放的。因此,关键的事实是在我们推断存在这样 在哪里引理的定义是3.1。事实上,自 和是开放的我们有和这样和 集并采取任何,然后 所以收益率(3.14)。自不满足(2.7)的引理3.1,完成证明。

现在我们表明,欧几里得空间,提出了孔隙度的概念一致。在[7,222页)这是考虑到任何球小的子集是可数的。因此,命题2.8,如果,然后是-c-porous 是一个可数集满足联盟(2.7) 是- - - - - -角多孔球小 是可数的。

4所示。小凸无处稠密的集的孔隙度不使用

在本节中,我们将讨论的问题寻找最佳逼近的小凸无处稠密的赋范空间的子集孔隙度不使用(正如所提到的,在其起源孔隙度被定义为一个严格规条件)。由命题2.5和2.8,任何这样的设置满足(2.7)。这是一个更强的版本的Zaji的第一部分ek的观察,即这种集球多孔每。事实上,通过定理3.2希尔伯特空间的单位球球多孔每并不是一个可数集满足联盟(2.7)。

现在我们是一组中定义的例子2.9。满足(2.9),因此(2.7),而不是角多孔,所以不是c-porous。这表明,在一般情况下,c-porosity的概念是更多的限制条件(2.7)。另一方面,正如前面提到的,在任何重要的赋范线性空间,单位(范围角多孔)不满足(2.7),因此,一般来说,的概念角孔隙度和条件(2.7)不具有可比性。

显然,条件(2.7)只有一个可能的版本的球孔隙度为每一个。其他条件(2.9和下面的削弱2.9):

现在的问题是是否凸无处稠密的子集的任何赋范线性空间满足(4.1)或(2.9)?

自闭球在有限维赋范空间紧凑,条件(2.9)和(2.7)是等价的在这样的空间(注意,类似的结果是在(9,评论),因此任何这样的空间满足凸无处稠密的子集(2.9)。然而,在本节的其余部分,我们将显示,在一个很宽的巴拿赫空间有集,凸和无处稠密的,不是一个可数集满足联盟(4.1)。

让我们关注nonreflexive空间。

命题4.1。让是一个真正的nonreflexive巴拿赫空间。那么存在一个封闭的子空间这不是一个可数集满足联盟(4.1)。

证明。自是一个nonreflexive巴拿赫空间,存在一个封闭的子空间这样,每 和每一个,如果,然后(这是一个众所周知的事实,遵循从詹姆斯定理1052页)。我们将显示不是一个可数集满足联盟(4.1)。假设。自完成时,贝利的一类定理,有吗这样不是无处稠密的。因此对于一些和我们有, 自,存在和这样。然后 修复,让是这样的,。然后存在,然后段。因此,如果是这样的,,然后 。因此,因此。

一个自然的问题出现时,在自反空间会发生什么呢?

例4.2。一个匿名裁判观察到希尔伯特多维数据集 不满足(4.1)。看到它,召回的概念所谓的支持点。我们说是一个支持点的,如果存在这样;如果不存在这样的功能被称为不支持点(cf。1144页)。现在和。然后它很容易看到是不支持点。现在,假设是这样的,和。然后由Hahn-Banach分离定理(cf。8、38]页)存在与 另一方面,的边界,因此 这给了一个矛盾。因此不满足(4.1)。

由命题4.1和前面的例子,条件(2.7似乎很适合描述小凸无处稠密的集的孔隙度不使用。然而,下一个例子显示,有集满足(4.1)(特别是,(2.7)并不是一个可数联盟c-porous集。

例4.3。让, ,让 很容易看到满足(4.1)。此外 一个类似的方法在引理的证明2.7,它可以很容易地显示不是-c-porous。

5。应用程序

我们将给出的一个例子-c-porous集(为其他,我们参考读者5])。

让是一个希尔伯特空间,让是一个非空的有界闭凸子集定义是连续的,是有界的考虑巴拿赫空间与规范 。让是所有巴拿赫收缩的集合:

对于任何我们还定义

命题5.1。 是一个-c-porous的子集特别是,球小。

证明。德布拉西和Myjak [1]也(参看[2)对任何证明,多孔低(因此无处稠密的;低孔隙度的定义,请参阅[4)空间的子集 与度量诱导。因此是一个无处稠密的子集的也是显而易见的是凸的。因此,对于任何一个一组是c-porous的子集。自完成证明。

确认

作者非常感谢匿名裁判和西缅帝国如何修改论文,建议和解决问题的有关条件(4.1)在自反空间中。而且,他要感谢Szymon Gąb和Jacek Jachymski对于许多有价值的讨论。