文摘

大家都知道一段时间成比例的输出反馈稳定天线,最小相位线性定常系统,如果反馈增益足够大。高增益自适应控制器实现稳定通过自动驾驶反馈增益的单调。最近,这是证明取样保持的高增益自适应控制器的实现还需要适应的采样率。在本文中,我们使用在数学领域最新进展的时间尺度上的动态方程离散和连续的概括和统一版本的高增益自适应控制器。我们证明高增益的稳定类的时间尺度自适应控制器。

1。介绍

高增益自适应反馈的概念源于渴望稳定线性连续系统的某些类,而不需要显式地识别未知系统参数。这种类型的自适应控制器不确定系统参数,而是适应反馈增益本身为了调节系统。的论文数量检查的细节各种高增益自适应控制器(1- - - - - -4),等等。最近,一些论文讨论一个特别实用角度高增益自适应控制器,即如何处理输入/输出采样。特别是,欧文斯(5)表明,它是不可能稳定线性系统自适应高增益反馈下统一的采样。因此,欧文斯et al .,建立一个机制来适应采样率以及增益,随后一个概念改进Ilchmann和汤利[6,7),Ilchmann和瑞安8],Logemann [9]。

在本文中,我们使用结果从数学的蓬勃发展的新领域时间尺度上的动态方程实现三个主要目标。首先,我们使用时间尺度统一的连续和离散版本高增益控制器,以前被分别对待。接下来我们给出上限系统保证稳定的颗粒更大课堂的时间尺度比先前所知,包括混合连续/离散时间尺度。第三,论文是第一个应用程序的几个相当稳定理论和李雅普诺夫理论系统的最新进展在时间尺度上,和两个引理给出了脉。我们也给一个高增益控制器的模拟时间尺度不一。

2。背景

我们首先需要国家两个假设,在随后的文本。

(A1)给出了系统模型和反馈法的线性、定常,最小相位系统 为。系统参数,,,是未知的。反馈增益是分段连续,不减少的。通过最小相位,我们的意思是多项式 与赫维茨(0在开放的左手面)。 (A2)此外, 也就是说,是正定的。(在[3),指出一个非奇异的输入/输出变换总是存在这样和给。)

在这种情况下,大家都知道一段时间(例如,1),有一类广泛获得适应法律,,可以渐近稳定系统(2.1在这个意义上

随后,不同作者(1,5,6,10假设获得的输出是通过取样保持的,也就是说,与和。因此有必要也适应样本,所以闭环控制的目标

尽管存在一些变化这些结果,这些仍然是基本控制结果连续和离散高增益自适应控制器。连续和离散情况下以前受到的待遇完全不同,但我们现在使用时标理论构建一个通用的框架。

3所示。一个时间尺度模型

(A1)系统可以取代 在哪里上面是任何时间尺度的。用级数展开类似于(1),我们看到

expc矩阵幂级数函数在哪里

和是时间尺度微粒状态。实现控制律,(2.2),那么让

请注意,,可能都是时变的,但是我们今后将显式引用为这些变量。以供将来参考,我们还要注意,如果,然后和也有界(由附录)。

设计目标是寻找粒状和反馈增益函数的输出, 与 和不减少的,这样

重要的是要记住上面的表达式的普遍性。大量的数学机械支持三角洲衍生品在任意时间尺度上的存在,以及解决方案的存在和特征(3所示。4)。见,例如,(11,12]。

4所示。稳定预赛

我们开始这部分工作的定义和定理Potzsche et al。13]。

定义4.1。的时变标量方程的指数稳定性,与和的话,是 在哪里 与和任意。

定理4.2(见[13])。标量方程的解决方案指数稳定在一个任意的当且仅当。

我们注意,Potzche、Siegmund Wirth没有明确考虑场景是时变的,但其稳定性分析保持不变。

一组包含nonregressive特征值和一个宽松的解释表明它是一个递减的特征值所必需的驻留在复平面的面积“绝大多数”的时间。轮廓被称作Hilger圆。的解决方案是,定理4.2州,如果然后一些存在这样 在哪里是一个广义的时间尺度指数。Hilger圆将在即将到来的李雅普诺夫分析是很重要的,就像下面的前题。

引理4.3。让是一个函数满足不等式,与和。如果对所有,然后。

证明。定义产生初始值的问题 在哪里。
首先,假设是消极的回归,也就是说,与。然后(4.5)的收益率。
另一方面,假设是一些nonregressive。如果在,然后调用前面的论点。如果在,然后解决(4.5) 自为,我们看到,。然而,对于,(4.6)成为 因此,对所有消极的回归和nonregressive引理,矛盾的前提。这使得只。

在这一点上我们暂停简要讨论李雅普诺夫理论在时间尺度上。DaCunha产生两个关键工作(14,15在解决方案的广义的时间尺度李雅普诺夫方程,

在哪里,和是已知的,。虽然它不会需要解决(4.8)在这项工作中,我们将看到的形式(4.8)导致一个上限的粒状一般适用于MIMO系统,一个进步超越以前的作品,只给了一个显式绑定输出系统。DaCunha证明一个正定的解决方案时间尺度李雅普诺夫方程与正定如果特征值存在在Hilger圆的。此外,是独一无二的。与著名的结果从连续系统理论(出口的。16]),解决方案是建设性的

在哪里表示线性系统的转移矩阵,。正确的解释这个积分是至关重要的:执行的时间尺度集成为每一个固定的常数粒状。(因为这个论文,我们探索这个主题在代数和动态李雅普诺夫方程详细;我们感兴趣的读者参考17]。)

之前下一个引理,我们定义

下一个引理遵循直接。

引理4.4。给定的假设(A1)和(A2)存在一个非零粒状和时间这样,和,矩阵满足一个时间尺度李雅普诺夫方程,对小,从(3所示。2)。

证明。我们构建作为 与足够小,以便在。这是如果 乘(4.12)给了 (现在我们显式时间依赖性可读性)。集 这收益率, 每一项的是一个产品作时代的。自 作为(由附录),存在一个时间当。因为前面的论点承认任何粒状,接下去 在哪里和。

我们简要地评论引理的直观含义4.4。方程(4.16)表明,存在正定和满足的方程形式(4.8)。根据DaCunha,这意味着的特征值谎言严格Hilger圈内。

5。系统的稳定性

我们现在来的三个核心定理。如果不知道满秩,或不能满秩的输入/输出维度,那么它必须承担(或决定先天的)的特征值在某个时间点上实现负的真实部分。这一现象被其他作者(深入调查1,4]。然后,我们利用观测的欧文斯et al。3必须存在一些这样,如果(A1)的系统有一个正的实际实现。加之Kalman-Yakubovich引理(16),意味着存在这

定理5.1(指数稳定性)。除了(A1)和(A2),假设(我) 在哪里上面是一个时间尺度,这就是无限但,(2) (暗示(4.11),,但不一定是单调)(3) 不一定是满秩,但存在一个时间吗这样的特征值严格的左手复平面吗。然后系统(3所示。1),指数稳定的存在时间和常量,,这样

证明。集。然后假设(iii)是先决条件(5。1)。再一次,我们压制的时间依赖性,,,,。类似于引理4.4、条款包含可以添加到第一个平等(5。1)获得 对于一些小型。请注意条款涉及的点吗变得足够小(5。3)举行。定义第二平等(5。1)给
考虑到李雅普诺夫函数与从(5。1)。然后,使用(5。1),(5。3)和引理4.4, 在这一点上,我们观察以下。(一) 是有界的,因为是有界的。集(b) 是有界的假设(i)和(4.11)。(c) 是有界的,因为成正比和作为。集(d)集。(e)集(f)集
召回的标准不平等对于任何,然后我们 假设(2),存在一个时间这样,足够小, 与。然后,通过(11,定理),定理4.2,引理4.3由此可见,存在这 在哪里定义在(4.2)。

我们指出,当是满秩的,假设(iii)不再需要,因为总是存在一个吗这样的特征值严格的消极。需要一个引理之前下一个定理。

引理5.2 . .如果是一个时间尺度与有界粒状(例如,),然后 在哪里,,和,。

证明。考虑的情况下。时间尺度的过程集成是类似于一个连续积分的近似通过左端点的总和(可变宽度)的矩形。如果函数总结是提高(在本例中),矩形区域的总和不超过连续积分,意义,。下界的一个估计,然后,通过简单地增加直到满足给定的矩形端点之一。因此同样,。这反过来收益率。因此,绑定是最保守的。的理由可以认为同样,导致引理的以下结论:

我们现在的国家的主要定理。

定理5.3。除了(A1)和(A2),假设原型更新法,与。然后和。

证明。为了矛盾,假设作为。然后。定理5。1收益率因此。的解决方案(通过[11,定理]), 结合引理5。2,这使得 这与假设,所以它必须为。它也立即跟着。

似乎可能的定理5。3可能会改善显示输出是收敛的,也就是说,作为。这是离开作为一个开放的问题。

6。讨论

我们在这里的话,有大量的自由的选择更新法律(出口的。5])。为了方便我们使用最简单的选择(像大多数作者);其他的选择基本参数保持不变。也有自由选择更新。表达式(4.12)可以简化

对于任何。在输出的情况下,这将进一步降低表达式导出了欧文斯(5),。它需要多粒(可以理解为系统采样步长取样保持的系统)与收益分享至少反比关系,但另有完全非限制性的。Ilchmann和汤利。7)请注意,满足没有知识,足够的时间后。虽然以前的作品总是建造了一个单调减小步长,scale-based参数在本文揭示更大自由:实际上可能增加,跳跃之间的连续和离散间隔,甚至表现出有限的随机性。两个例子的未来这种自由的有效性。

对于第一个示例,我们前面指出的符号有点掩盖这一事实系统的时域(其时间尺度)可能会全部或部分离散,从而没有保证定理5。3样品之间,输出稳定。指出在[7)和其他地方,一段采样系统检测当且仅当吗

在哪里 。我们下一个评论如何规避intrasample稳定问题。下面的方法本质上允许粒状“摆动”一点,这样一个输出样本必须最终发生远离零交点。回忆,从定理5。1(我),让,在那里是一个序列如下:

让是由一个无限重复的子序列元素之间的随机数和。让这些元素,标记彼此是非理性的倍数。假设收敛于这样但真正的连续输出是零。这意味着存在整数这样。作为序列进步,可能会有在最坏的情况的组合这样为。然而,在下一个瞬间,必须是非理性的,因此不是吗。控制器将检测非零输出,继续调整和。在实践中,当然,是不可能获得一系列真正的无理数,但大多数现代计算机控制器有足够精度的比例来表示两个非常大的整数,所以这种技术还高震级的只会失败。

让一个随机数序列在指定的范围内。即使在电脑只有8位分辨率的概率,几个样品时间之后大幅下降。

我们在这里的话,如果(6.2),然后可检测的,因为可检测。因此,稳定的暗示的稳定性。我们不要住在这里,但见,例如,(7]类似的论点。

在第二个例子中,我们考虑一个问题构成的分布式控制网络(出口的。18,19])。在这里,一个通信网络支持许多控制回路以及一定体积的高优先级流量无关。(预测)高优先级交通可能阻止控制交通,迫使样本期时间超过我的预期。在正常操作中,控制器可能样本足够快的行为,在实际应用中,像一个连续的控制。在阻塞即时,,增加一些不可预测的水平。的调度问题当应该阻止控制器发出的通信数据包足够高的优先覆盖块吗?答案很简单:之前超过已知的最大样本期间,保证植物稳定。(在[19)我们建议更长时间延迟在一定条件下是可能的)。直观地说,允许再阻塞延迟较低的收益。

前款规定的例子是模仿使用变量时间尺度,这是连续的区间,然后有一个区间的差距,然后重复。图1显示了一个自适应增益控制器系统的实施条例在阻塞的情况下:

获得开始在和采样周期。粒状的边界函数(这样)。

7所示。结论

总之,本文展示了一个新的统一连续/离散方法高增益自适应控制器。使用时标理论的新领域的发展,统一的结果表明,这种类型的反馈控制是有效的在一个更广泛的时间尺度比探索在以前的文献,包括那些之间切换连续(或近连续)和离散域或那些没有单调减少微粒状态。一个自适应控制器的仿真混合连续/离散时间范围。我们希望时间尺度理论可能会发现广泛应用在信号与系统的广泛领域似乎很多的工具需要在这些领域也开始出现在他们的广义形式。

附录

我们评论的属性中引用“expc”功能的主体。

引理背书的。幂级数(3所示。3)具有以下属性:(1) (2) 当的存在。(3)真的,标量参数,,sinc表示正弦项基本功能。(这是动机符号。)(4) 。(5) 。

证明。部分1 - 3立即跟随的定义。验证4,注意 第5部分遵循类似的观点。注意,属性5的分解给了作为一致收敛。

确认

这项工作是由NSF资助。ehs - 0410685和CMMI没有。726996年以及贝勒大学研究委员会资助。作者感谢他们的同事,罗伯特·j·马克二世,他在这个项目非常有帮助的建议。