不同空间上的复合算子的有界Polydisc分析功能

文摘

本文给出了估计的基本规范运营商组成的差异引起的和作用于空间,在单位polydisc,有界分析功能,在那里和的全纯self-maps。因此,一个获得条件的Caratheodory距离描述那些对全纯self-maps polydisc的这两个运营商组成的差异紧凑。

1。介绍

让单位polydisc与边界。如果我们将表示单位圆盘简单地通过所有全纯函数的类将用,而由,我们表示所有有界的空间分析功能在单位polydisc常态

让和的全纯self-maps。运营商构成,被定义为 对于任何和。

让巴拿赫空间。回想一下,一个连续线性算子的基本规范是距离紧凑的运营商, 请注意,当且仅当紧凑,所以估计导致条件紧凑。

在过去的几十年里,有界性,密实度,构图的基本规范和密切相关的运营商之间的各种空间的全纯函数已经被许多作者研究(见,例如,下面的论文主要是在单位球的设置和单位polydisc [1- - - - - -23),在其中的引用)。最近,数篇论文重点研究映射两个成分的不同运营商的性质,也就是说,一个算子的形式 这种类型的第一个结果,哈代空间的设置,属于伯克森(24]。,结果表明,如果是单位的分析self-map磁盘吗的径向限制函数满足为,,然后分析self-map的磁盘,, 在哪里表示规范化勒贝格测度这意味着在算子范数拓扑是孤立的。其他一些条件隔离在相同的设置了15]。

在[25),MacCluer et al .,等结果,两个成分的不同运营商的密实度庞加莱的距离。在[26),孤立点和复合算子的基本组件进行了研究。在[27,28),作者有独立扩展的结果空间,的单位球吗在[29日),Moorhouse显示,如果pseudohyperbolic图像之间的距离值和收敛于零对每一个点在这和有有限的角导数,然后区别呢产生了一个紧凑的运营商。不同运营商组成的布洛赫和小布洛赫空间研究[30.,31日]。出于这些结果,我们给出一些上下的估计基本规范运营商组成的差异引起的和作用于空间,在那里和是分析self-maps。因此,一个获得条件的Cartheodory距离描述那些对全纯self-maps polydisc的这两个运营商组成的差异紧凑。

2。符号和背景

单位圆盘上的pseudohyperbolic距离被定义为 很容易看到。

定义2.1。庞加莱的距离在是 为。

定义2.2。域的Caratheodory伪距离是由 为在哪里表示全纯映射的类来。

如果我们把 然后通过函数的单调性在和不平等,我们有, 接下来,我们介绍下面的伪距离: 的情况下众所周知,(见[32]) 因此,庞加莱度量是

很容易看到,

由于地图是严格增加由此可见, 或者说对任何域和任何,

众所周知,(见[33,推论2.2.4])。所以我们有

在制定和主要定理证明之前,我们给出一些符号。对于任何,定义 我们把在哪里意味着两个实数的最大。引理2.3(见[34])。让是一个序列与作为。然后,有一个子序列的,一个正数和一个函数序列这样(我) (2) (象征等于1如果和0,否则)。引理2.4。让在一个域,。如果一个紧集和一个社区的满足(即,是相对紧凑的),,然后 为每一个。证明。自对于任何,polydisc 包含在。利用柯西不等式,我们 根据需要(杰出的边界吗)。引理2.5。固定,让然后, 对于任何的单位球(表示的补充相对于)。证明。我们有 考虑,然后和。
从引理2.4,我们为每个 从这个和(2.18),它遵循
的上确界(2.20)在单位球,然后让在(2.20),引理。

3所示。主要定理

在本节中,我们将我们的主要结果和给它的证据。

定理3.1。让和。然后, 在哪里和是一个积极的常数。

证明。首先,我们考虑上面的估计。固定,很容易检查和紧凑的运营商。因此, 现在,对于任何 从引理2.5,我们可以选择足够接近这样是足够小。
应用Schwarz-Pick引理的函数,和函数的单调,我们获得 通过直接计算,很容易检查 的,让在(3.5),上估计(3.1)。
现在,我们向较低的估计。
让 如果我们将,然后作为,存在和一些这样
自和,我们有或。不失一般性,我们可以假设。让通过引理2.3,我们的子序列(我们可能会再次表示),一个正数和一个函数序列这样(我) (2)
现在,对于任何,我们定义,在那里是th组成部分,然后。
接下来,我们说弱收敛性。让。对于任何一个自然,存在一些幺模的序列这样 因此,作为,也就是说,弱收敛性。
集 然后,和类似的,很容易看到弱收敛性。因此,对于任何一个紧凑的运营商,我们有作为。
现在,我们有
然后,我们有 完成定理的证明。

推论3.2。操作员紧凑当且仅当吗 证明。通过使用不平等(),这一事实紧凑当且仅当吗,必然遵循定理3.1。

例3.3。让,和。然后,和。直接计算表明 通过推论3.2,不是紧凑。

例3.4。让,,,和 我们选择的对数的通常的分支,为了定义。由(35),是self-map,每当很小。此外,。的必然结果3.2和例1的证明25),我们对这些,(1)如果,然后noncompact;(2)如果,然后紧凑。

确认

作者想表达衷心感谢编辑Stević和裁判对他们有用的意见和建议,大大提高了手稿。此外,这部分工作是支持由中国国家自然科学基金(批准号10671141和10671141)。