文摘
让的单位球,所有全纯函数的空间。让和的全纯self-map。为weigthed组成运营商被定义为加权复合算子的有界性和密实度单位球上的一些加权空间进行了研究。
1。介绍
让的单位球,所有全纯函数的空间,所有有界的空间单位球全纯函数。为,让 的径向导数。
一个积极的连续函数在如果存在正数叫正常和 和这样(见,例如,1,2])
一个据说属于weighted-type空间,用吗,如果 在哪里上是正常的(见[3])。是巴拿赫空间与规范。
小weighted-type空间,用的子空间组成的这样 当、诱导空间和成为(古典)加权空间和分别。
一个据说属于logarithmic-type空间如果 很容易看到成为一个常态下巴拿赫空间,以下夹杂物持有: 在哪里是布洛赫空间定义的 布洛赫的一些信息和相关的空间看到的,例如,(4- - - - - -13)和引用。一些信息的空间在单位圆看到[14]。
让,让的全纯self-map。为、加权复合算子被定义为 加权复合算子可以视为一个泛化的乘法算子和组合算子,定义的工作(15)包含了很多关于这个话题的信息。
设置的单位球,朱镕基研究加权复合算子的有界性和密实度Bergman-type空间和之间在[16]。更一般的结果可以发现在17,18]。一些必要和充分条件加权复合算子的有界和布洛赫和空间之间的契约给出了(19]。单位polydisk,设置的一些充分必要条件加权复合算子有界和布洛赫和空间之间的契约给出了(20.,21)(参见[22)复合算子的情况下)。其他相关结果可以发现,例如,在[3,23- - - - - -32]。
在本文中,我们研究了加权复合算子的空间和。一些加权复合算子的充要条件有界和紧凑。
在整个论文中,常量是用;他们是积极的,可能不是相同的发生。
2。主要结果和证明
在本节中,我们给我们的主要结果及其证明。说明这些结果之前,我们需要一些辅助的结果,纳入遵循的前题。
引理2.1。假设,是一个全纯self-map的,是一个正常的函数。然后,紧凑当且仅当吗是有界的,对于任何有界序列在收敛于零统一在紧凑的子集作为,一个作为
引理的证明2.1遵循的标准参数(见,例如,(15,命题3.11)以及相应的结果的证明(7,22,33,34])。因此,我们省略细节。
引理2.2。假设是正常的。一个闭集在紧凑当且仅当它有界和满足
现在,我们国家和证明我们的主要结果。
定理2.3。假设,是一个全纯self-map的,上是正常的。然后,有界当且仅当吗
证明。假设是有界的。为,设置
很容易看到和。
对于任何,我们有
这意味着(2.2)。
相反,假设(2.2)持有。然后,对任何,我们有
的上确界(2.5)/和使用条件(2.2),算子的有界性根据需要,。
定理2.4。假设,是一个全纯self-map的,是一个正常的函数。然后,紧凑当且仅当吗和
证明。假设紧凑。然后,很明显,是有界的。把函数,我们看到,。让是一个序列这样。集
很容易看到。此外,统一在紧凑的子集作为。由引理2.1,
我们有
在一起(2.8)意味着
这证明(2.6)持有。
相反,假设和(2.6)持有。从这个,接下去(2.2)持有;因此是有界的。为了证明根据引理紧凑,2.1,它可以显示,如果是一个有界序列收敛于0统一在紧凑的子集,然后
让是一个有界序列这样统一在紧凑的子集作为由(2.6),我们对任何,有一个常数这样
每当。让。方程(2.12随着这一事实)意味着
观察到是一个紧凑的子集这
借助上述不等式,我们可以推断出
通过让。自是一个任意正数,由此可见,最后限制等于零。因此,紧凑。证明已经完成。
定理2.5。假设,是一个全纯self-map的,是一个正常的函数。然后,紧凑当且仅当吗和
证明。假设紧凑。然后,很明显,紧凑,因此(2.16)持有。此外,服用的函数,我们得到。
相反,假设和(2.16)持有。证据的含义我们遵循,例如,(证明引理4.2的24]。从(2.16),因此,对于每一个,存在一个这样
当从假设上面,我们有存在一个这样,当,
因此,如果和,我们获得
如果和我们有
结合(2.19)和(2.20),我们得到
另一方面,从(1.5),我们有
的上确界在上面的不平等这样然后让,(2.21),
从这个和利用引理2.2,我们看到,紧凑。证明已经完成。
类似于定理的证明2.3和2.4,我们很容易得到以下两个结果。我们也忽略他们的证明。
定理2.6。假设和是一个全纯self-map的。然后,下面的语句。
(一)有界当且仅当吗
(b)紧凑当且仅当吗和
定理2.7。假设和是一个全纯self-map的。然后,下面的语句。
(一)有界当且仅当吗
(b)紧凑当且仅当吗和
承认
傅x部分支持广东省自然科学基金(没有。73006147)。