一种当地定理伯格曼加权空间的单位球

文摘

本文表明,如果是一个有界的线性算子作用于伯格曼加权空间在单位球上这样,在那里和;在哪里伯格曼是加权投影,然后呢必须是一个汉克尔算子。

1。介绍

让开放的单位球在复杂的向量空间。为让在哪里的共轭复数吗和对于一个多索引和,我们也写

让体积测量归一化,这样为加权勒贝格测度被定义为 在哪里 是一个正常化常数,这样是一个概率测度

为和伯格曼,加权空间由全纯函数在,也就是说, 当伯格曼是标准(无关紧要的)空间,仅仅是用哪一个。

伯格曼加权空间是一个封闭的子空间的和所有多项式密集。见,例如,(1]。

与规范 和成为巴拿赫空间。希尔伯特空间的内积会用吗。伯格曼的其他属性空间以及一些运营商最近的结果,可以发现,例如,在2- - - - - -13(看,还引用其中)。

为汉克尔运营商是定义在通过 在哪里是酉算子定义通过 和伯格曼加权投影来自哪里到。

托普利兹操作符的符号是定义在通过

托普利兹运营商以下属性:如果和是复数,和,然后此外,如果然后和

符号将表示th坐标函数()。

很容易看到。因此,汉克尔运营商算子方程的特解吗 在哪里是一个有界的线性算子。

众所周知,在经典的哈代空间、托普利兹运营商和汉克尔运营商相同的地位,和现在不同的运营商类。的作者(14)认为汉克尔运营商托普利兹算子理论的重要组成部分,和许多作者研究了汉克尔(运营商及其相关问题14- - - - - -22]。

哈代空间,当地19证明了如果是一个有界的线性算子,这样吗然后对于一些;此外,可以选择这样贵公司(20.证明一个定理的当地类型伯格曼空间的磁盘上。在[21),作者给了汉克尔运营商在广义的特征空间,这也是哈代空间类似于当地定理。

本文的动机是运营商的问题是否解决方案(1。9伯格曼)必须的汉克尔算子空间

在本文中,我们采取加权伯格曼空间作为我们的域和证明一个Nehari-type定理。而我们的方法基本上是改编自(20.,21),大量的额外工作是必要的设置加权伯格曼空间单位球上。

2。Nehari-Type定理

建立Nehari-type定理对伯格曼加权空间单位球,我们回忆的原子分解伯格曼加权空间,起着重要的作用。结果表明,加权伯格曼的每一个函数空间可以分解成一系列漂亮的函数称为原子。这些原子内核函数和定义在某种意义上作为依据。下面的引理定理2.30 (1]。引理2.1。假设, 那么存在一个序列在这样由具体的函数形式 在哪里属于序列空间和级数收敛的范数拓扑。2.2的话。由定理2.30的证明(1),可以看出序列在引理2。1选择独立的,2.3的话。定理2.30的证明(1告诉我们,任何,我们可以选择一个序列在引理2。1这 在哪里是一个积极的常数无关。

下面的引理紧跟着从引理2。1。

引理2.4。假设是一个序列在引理吗2。1,,让 然后,由具体的函数形式 在哪里属于序列空间和级数收敛的范数拓扑。

从现在开始,我们假设是固定的,和被定义为在引理吗2。4。

以下两个前题遵循立即从定理1.121]。引理2.5。让,,然后每,一个 在哪里是一个常数只取决于哪一个引理2.6。存在一个常数这样,每, 在哪里是独立于和定理2.7。让是一个有界的线性算子作用于伯格曼加权空间这样。然后,存在这样。证明。定义线性泛函在通过。很明显,是一个有界的线性泛函。请注意,。从引理2。4和评论2。3,鉴于,存在在这样是收敛的和,在那里是一个积极的常数独立。
为,让。从(1。9),很容易看到。如果,那么我们就有 因此,我们建立在哪里和多项式的。
由于所有多项式是密集,有多项式序列和这样 此外,
自 用的有界性和标量产品的连续性,它遵循
鉴于,从引理2。5,是收敛的。因此,有,我们看到, 请注意, 因此
因此, 因此,它遵循从引理2。6那 但在。因此,通过的连续性由此可见,为一个常数。自是密集的,接下去延长连续性的因素,因此,Hahn-Banach定理的一个元素。因此,存在这样 自 并利用这一事实,在那里,多项式的,接下去 因此,完成这个定理的证明。

确认

作者想表达衷心感谢裁判的言论大大提高了论文的原始版本。这项研究也得到国家自然科学基金委(项目no.10671028)的支持。

引用

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