本文给出了一些充分条件的解析函数属于空间组成的所有分析功能<年代vg height="13.4875" id="M2" style="vertical-align:-2.34499pt;width:10.675px;" version="1.1" viewbox="0 0 10.675 13.4875" width="10.675" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
等单位的磁盘上<年代vg height="20.549999" id="M3" style="vertical-align:-4.68874pt;width:312.01251px;" version="1.1" viewbox="0 0 312.01251 20.549999" width="312.01251" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
l
我
米
|
|
→
1
∫
|
(
)
|
(
1
−
|
|
2
)
(
(
,
)
)
(
)
=
0
。
1。介绍
让<年代vg height="10.475" id="M4" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.4125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.4125 10.475" width="11.4125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是开放在复平面单位圆盘<年代vg height="10.9125" id="M5" style="vertical-align:-0.17555pt;width:11.1375px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.1375 10.9125" width="11.1375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
ℂ
和<年代vg height="13.45" id="M6" style="vertical-align:-2.21957pt;width:35.462502px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.462502 13.45" width="35.462502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
所有的空间分析功能<年代vg height="10.475" id="M7" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.4125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.4125 10.475" width="11.4125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
。为<年代vg height="10.8875" id="M8" style="vertical-align:-0.33858pt;width:38.637501px;" version="1.1" viewbox="0 0 38.637501 10.8875" width="38.637501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
,让<年代pan class="equation" id="eq006">
默比乌斯变换<年代vg height="10.475" id="M10" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.4125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.4125 10.475" width="11.4125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,让<年代pan class="equation" id="eq007">
的格林函数<年代vg height="10.475" id="M12" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.4125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.4125 10.475" width="11.4125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
。让<年代vg height="13.45" id="M13" style="vertical-align:-2.21957pt;width:42.549999px;" version="1.1" viewbox="0 0 42.549999 13.45" width="42.549999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
,
)
表示pseudo-hyperbolic度量磁盘为中心<年代vg height="10.8875" id="M14" style="vertical-align:-0.33858pt;width:38.637501px;" version="1.1" viewbox="0 0 38.637501 10.8875" width="38.637501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
半径为<年代vg height="13.45" id="M15" style="vertical-align:-2.21957pt;width:58.4375px;" version="1.1" viewbox="0 0 58.4375 13.45" width="58.4375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
0
,
1
)
,也就是说,<年代vg height="14.775" id="M16" style="vertical-align:-3.22282pt;width:202.7375px;" version="1.1" viewbox="0 0 202.7375 14.775" width="202.7375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
,
)
=
{
∈
∶
|
(
)
|
<
}
。
据说一个解析函数<年代vg height="17.362499" id="M17" style="vertical-align:-3.80836pt;width:115.9125px;" version="1.1" viewbox="0 0 115.9125 17.362499" width="115.9125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∑
(
)
=
∞
=
1
被定义为一系列有孔的如果<年代pan class="equation" id="eq008">
一些结果的话题,例如,(1- - - - - -6)和引用。
gydF4y2Ba给定一个函数<年代vg height="13.45" id="M19" style="vertical-align:-2.21957pt;width:144.60001px;" version="1.1" viewbox="0 0 144.60001 13.45" width="144.60001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∶
(
0
,
∞
)
→
(
0
,
∞
)
,
我们考虑的空间<年代vg height="14.6625" id="M20" style="vertical-align:-3.13504pt;width:52.5px;" version="1.1" viewbox="0 0 52.5 14.6625" width="52.5" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
,
)
的所有功能<年代vg height="13.6125" id="M21" style="vertical-align:-2.34499pt;width:63.525002px;" version="1.1" viewbox="0 0 63.525002 13.6125" width="63.525002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
)
这样<年代pan class="equation" id="eq009">
通过<年代vg height="16.200001" id="M23" style="vertical-align:-4.37273pt;width:59.825001px;" version="1.1" viewbox="0 0 59.825001 16.200001" width="59.825001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,
0
(
,
)
我们表示空间组成的<年代vg height="14.6625" id="M24" style="vertical-align:-3.13504pt;width:80.5625px;" version="1.1" viewbox="0 0 80.5625 14.6625" width="80.5625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
,
)
这样<年代pan class="equation" id="eq0010">
在哪里<年代vg height="13.55" id="M26" style="vertical-align:-2.29482pt;width:68.824997px;" version="1.1" viewbox="0 0 68.824997 13.55" width="68.824997" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
<
<
∞
,<年代vg height="13.55" id="M27" style="vertical-align:-2.29482pt;width:79.050003px;" version="1.1" viewbox="0 0 79.050003 13.55" width="79.050003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
−
2
<
<
∞
,<年代vg height="13.55" id="M28" style="vertical-align:-2.29482pt;width:219.1375px;" version="1.1" viewbox="0 0 219.1375 13.55" width="219.1375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
=
(
1
/
)
=
(
1
/
)
。
gydF4y2Ba为<年代vg height="13.55" id="M29" style="vertical-align:-2.29482pt;width:34.974998px;" version="1.1" viewbox="0 0 34.974998 13.55" width="34.974998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
2
,<年代vg height="13.55" id="M30" style="vertical-align:-2.29482pt;width:34.487499px;" version="1.1" viewbox="0 0 34.487499 13.55" width="34.487499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
0
,空间<年代vg height="14.6625" id="M31" style="vertical-align:-3.13504pt;width:52.5px;" version="1.1" viewbox="0 0 52.5 14.6625" width="52.5" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
,
)
减少到<年代vg height="14.6625" id="M32" style="vertical-align:-3.13504pt;width:20.775px;" version="1.1" viewbox="0 0 20.775 14.6625" width="20.775" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(见,例如,7])。如果<年代vg height="14.3375" id="M33" style="vertical-align:-2.34499pt;width:138.1875px;" version="1.1" viewbox="0 0 138.1875 14.3375" width="138.1875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
(
,
)
)
=
(
(
,
)
)
,<年代vg height="12.3" id="M34" style="vertical-align:-1.29163pt;width:68.0625px;" version="1.1" viewbox="0 0 68.0625 12.3" width="68.0625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
≤
<
∞
,然后<年代vg height="14.6625" id="M35" style="vertical-align:-3.13504pt;width:126.65px;" version="1.1" viewbox="0 0 126.65 14.6625" width="126.65" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
,
)
=
(
,
,
)
(见,例如,8,9])。
gydF4y2Ba在整个论文中,我们假设条件持有(见[7])<年代pan class="equation" id="eq1">
所以,空间<年代vg height="14.6625" id="M37" style="vertical-align:-3.13504pt;width:52.5px;" version="1.1" viewbox="0 0 52.5 14.6625" width="52.5" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
,
)
我们的研究是重要的。我们还假设<年代vg height="10.325" id="M38" style="vertical-align:-0.0pt;width:13.2875px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.2875 10.325" width="13.2875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
作为一个不减少的功能。研究的一个重要工具<年代vg height="14.6625" id="M39" style="vertical-align:-3.13504pt;width:20.775px;" version="1.1" viewbox="0 0 20.775 14.6625" width="20.775" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
空间是辅助函数<年代vg height="10.925" id="M40" style="vertical-align:-3.13504pt;width:20.362499px;" version="1.1" viewbox="0 0 20.362499 10.925" width="20.362499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
定义(见[10])<年代pan class="equation" id="eq2">
以下条件<年代pan class="equation" id="eq3">
在这篇文章中是至关重要的。它的研究中发挥了重要作用<年代vg height="14.6625" id="M43" style="vertical-align:-3.13504pt;width:20.775px;" version="1.1" viewbox="0 0 20.775 14.6625" width="20.775" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
在过去的几年里的空间。
gydF4y2Ba在本文中,我们给出解析函数的充分条件<年代vg height="13.4875" id="M44" style="vertical-align:-2.34499pt;width:10.675px;" version="1.1" viewbox="0 0 10.675 13.4875" width="10.675" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
属于空间<年代vg height="16.200001" id="M45" style="vertical-align:-4.37273pt;width:59.825001px;" version="1.1" viewbox="0 0 59.825001 16.200001" width="59.825001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,
0
(
,
)
。
gydF4y2Ba以下是我们的主要结果。
<年代pan class="statement" id="thm1">定理1.1。年代pan>让<年代vg height="13.6125" id="M46" style="vertical-align:-2.34499pt;width:63.525002px;" version="1.1" viewbox="0 0 63.525002 13.6125" width="63.525002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
)
,<年代vg height="13.55" id="M47" style="vertical-align:-2.29482pt;width:68.824997px;" version="1.1" viewbox="0 0 68.824997 13.55" width="68.824997" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
<
<
∞
,<年代vg height="13.55" id="M48" style="vertical-align:-2.29482pt;width:82.962502px;" version="1.1" viewbox="0 0 82.962502 13.55" width="82.962502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
−
2
<
<
∞
,
,让<年代vg height="9.875" id="M49" style="vertical-align:-2.29482pt;width:10.5375px;" version="1.1" viewbox="0 0 10.5375 9.875" width="10.5375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个单调递增函数<年代vg height="7.0124998" id="M50" style="vertical-align:-0.0pt;width:6.5px;" version="1.1" viewbox="0 0 6.5 7.0124998" width="6.5" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
在<年代vg height="13.45" id="M51" style="vertical-align:-2.21957pt;width:32.674999px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.674999 13.45" width="32.674999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
0
,
1
)
这样<年代vg height="19.0625" id="M52" style="vertical-align:-2.34499pt;width:85.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 85.224998 19.0625" width="85.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
|
′
(
)
|
≤
(
)
,因为<年代vg height="13.45" id="M53" style="vertical-align:-2.21957pt;width:39.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.9375 13.45" width="39.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
|
|
=
。如果我><年代pan class="equation" id="eq4">
然后<年代vg height="16.200001" id="M55" style="vertical-align:-4.37273pt;width:87.887497px;" version="1.1" viewbox="0 0 87.887497 16.200001" width="87.887497" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
,
0
(
,
)
。我>年代pan>
定理1.2。年代pan>为<年代vg height="13.55" id="M56" style="vertical-align:-2.29482pt;width:62.174999px;" version="1.1" viewbox="0 0 62.174999 13.55" width="62.174999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
≤
<
2
,<年代vg height="13.55" id="M57" style="vertical-align:-2.29482pt;width:68.349998px;" version="1.1" viewbox="0 0 68.349998 13.55" width="68.349998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
≤
<
∞
,<年代vg height="13.55" id="M58" style="vertical-align:-2.29482pt;width:94.800003px;" version="1.1" viewbox="0 0 94.800003 13.55" width="94.800003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
≤
−
2
<
3
。如果<年代vg height="10.325" id="M59" style="vertical-align:-0.0pt;width:13.2875px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.2875 10.325" width="13.2875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
满足条件(1。7),是一个函数的属性<年代vg height="13.45" id="M60" style="vertical-align:-2.21957pt;width:76.849998px;" version="1.1" viewbox="0 0 76.849998 13.45" width="76.849998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
=
(
1
)
为<年代vg height="12.3" id="M61" style="vertical-align:-1.29163pt;width:32.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.224998 12.3" width="32.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
≥
1
,然后是一个有缺陷的系列<年代vg height="17.362499" id="M62" style="vertical-align:-3.80836pt;width:115.9125px;" version="1.1" viewbox="0 0 115.9125 17.362499" width="115.9125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∑
(
)
=
∞
=
1
属于<年代vg height="16.200001" id="M63" style="vertical-align:-4.37273pt;width:59.825001px;" version="1.1" viewbox="0 0 59.825001 16.200001" width="59.825001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,
0
(
,
)
如果我><年代pan class="equation" id="eq5">
在这篇文章中,<年代vg height="10.6125" id="M65" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
代表了一种积极的常数,其值可能不同于一个事件到另一个。表达式<年代vg height="10.7375" id="M66" style="vertical-align:-0.13794pt;width:34.700001px;" version="1.1" viewbox="0 0 34.700001 10.7375" width="34.700001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
≈
意味着有一个正的常数<年代vg height="10.6125" id="M67" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
这样<年代vg height="15.3875" id="M68" style="vertical-align:-1.29163pt;width:97.75px;" version="1.1" viewbox="0 0 97.75 15.3875" width="97.75" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
−
1
≤
≤
。
2。主要结果和证明
在本节中,我们给出定理的证明1。1和1。2。在制定主要结果之前,我们给一些用于证明的前题。
<年代pan class="statement" id="lem1">引理2.1(见[7])。年代pan>让<年代vg height="13.55" id="M69" style="vertical-align:-2.29482pt;width:68.824997px;" version="1.1" viewbox="0 0 68.824997 13.55" width="68.824997" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
<
<
∞
,<年代vg height="13.55" id="M70" style="vertical-align:-2.29482pt;width:82.962502px;" version="1.1" viewbox="0 0 82.962502 13.55" width="82.962502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
−
2
<
<
∞
,
。然后,<年代vg height="16.200001" id="M72" style="vertical-align:-4.37273pt;width:87.887497px;" version="1.1" viewbox="0 0 87.887497 16.200001" width="87.887497" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
,
0
(
,
)
当且仅当我><年代pan class="equation" id="eq0011">
引理2.2(见[5])。年代pan>让<年代vg height="10.325" id="M74" style="vertical-align:-0.0pt;width:13.2875px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.2875 10.325" width="13.2875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个函数的属性<年代vg height="13.45" id="M75" style="vertical-align:-2.21957pt;width:76.849998px;" version="1.1" viewbox="0 0 76.849998 13.45" width="76.849998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
=
(
1
)
为<年代vg height="12.3" id="M76" style="vertical-align:-1.29163pt;width:32.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.224998 12.3" width="32.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
≥
1
。如果<年代vg height="10.325" id="M77" style="vertical-align:-0.0pt;width:13.2875px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.2875 10.325" width="13.2875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
满足条件(1。8),那么存在一个常数<年代vg height="11.0625" id="M78" style="vertical-align:-0.30096pt;width:37.8125px;" version="1.1" viewbox="0 0 37.8125 11.0625" width="37.8125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
>
0
这样<年代vg height="13.45" id="M79" style="vertical-align:-2.21957pt;width:81.75px;" version="1.1" viewbox="0 0 81.75 13.45" width="81.75" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
2
)
≈
(
)
为<年代vg height="11.0625" id="M80" style="vertical-align:-0.30096pt;width:32.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.224998 11.0625" width="32.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
>
0
。我>年代pan>
引理2.3(见[5])。年代pan>如果<年代vg height="10.325" id="M81" style="vertical-align:-0.0pt;width:13.2875px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.2875 10.325" width="13.2875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
满足条件(1。8),然后我们可以找到另一个非负函数<年代vg height="11.525" id="M82" style="vertical-align:-0.0pt;width:19.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 19.625 11.525" width="19.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∗
这样<年代vg height="14.6625" id="M83" style="vertical-align:-3.13504pt;width:65.525002px;" version="1.1" viewbox="0 0 65.525002 14.6625" width="65.525002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
∗
和新功能<年代vg height="11.525" id="M84" style="vertical-align:-0.0pt;width:19.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 19.625 11.525" width="19.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∗
具有以下属性:我><年代pan class="list">(一)年代pan>
在不减少的<年代vg height="13.45" id="M86" style="vertical-align:-2.21957pt;width:39.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.337502 13.45" width="39.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
0
,
∞
)
;我>年代pan>(b)年代pan>
满足条件(<年代vg height="7.4875002" id="M88" style="vertical-align:-0.0pt;width:8.3000002px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.3000002 7.4875002" width="8.3000002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∗
);我>年代pan>(c)年代pan>
在<年代vg height="13.45" id="M90" style="vertical-align:-2.21957pt;width:39.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.337502 13.45" width="39.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
0
,
∞
)
;我>年代pan>(d)年代pan>
是可微的(任何给定的顺序)<年代vg height="13.45" id="M92" style="vertical-align:-2.21957pt;width:39.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.337502 13.45" width="39.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
0
,
∞
)
;我>年代pan>(e)年代pan>
是凹的<年代vg height="13.45" id="M94" style="vertical-align:-2.21957pt;width:39.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.337502 13.45" width="39.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
0
,
∞
)
;我>年代pan>(f)年代pan>
为<年代vg height="12.3" id="M96" style="vertical-align:-1.29163pt;width:32.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.224998 12.3" width="32.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
≥
1
;我>年代pan>(g)年代pan>
在<年代vg height="13.45" id="M98" style="vertical-align:-2.21957pt;width:32.674999px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.674999 13.45" width="32.674999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
0
,
1
]
。我>年代pan>
引理2.4(见[5])。年代pan>如果<年代vg height="10.325" id="M99" style="vertical-align:-0.0pt;width:13.2875px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.2875 10.325" width="13.2875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
满足条件(1。8),然后对任何<年代vg height="12.3" id="M100" style="vertical-align:-1.29163pt;width:36.137501px;" version="1.1" viewbox="0 0 36.137501 12.3" width="36.137501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
≥
1
和<年代vg height="13.55" id="M101" style="vertical-align:-2.29482pt;width:63.25px;" version="1.1" viewbox="0 0 63.25 13.55" width="63.25" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
≤
<
1
,一个我><年代pan class="equation" id="eq0012">
在哪里<年代vg height="13.55" id="M103" style="vertical-align:-2.29482pt;width:29.737499px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.737499 13.55" width="29.737499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
是一个常数取决于<年代vg height="13.425" id="M104" style="vertical-align:-2.29482pt;width:8.8500004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.8500004 13.425" width="8.8500004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
一个人。我>年代pan>
引理2.5(见[11])。年代pan>为<年代vg height="13.55" id="M105" style="vertical-align:-2.29482pt;width:62.174999px;" version="1.1" viewbox="0 0 62.174999 13.55" width="62.174999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
<
≤
1
,<年代vg height="10.8875" id="M106" style="vertical-align:-0.33858pt;width:38.637501px;" version="1.1" viewbox="0 0 38.637501 10.8875" width="38.637501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
,<年代vg height="14.1" id="M107" style="vertical-align:-0.33858pt;width:81.074997px;" version="1.1" viewbox="0 0 81.074997 14.1" width="81.074997" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
∈
,我><年代pan class="equation" id="eq0013">
在哪里<年代vg height="11.0625" id="M109" style="vertical-align:-0.30096pt;width:37.8125px;" version="1.1" viewbox="0 0 37.8125 11.0625" width="37.8125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
>
0
是一个常数。我>年代pan>
定理的证明1。1。我>年代pan>让<年代vg height="13.9" id="M110" style="vertical-align:-0.17555pt;width:50.400002px;" version="1.1" viewbox="0 0 50.400002 13.9" width="50.400002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
。由引理2.3,我们也假设<年代vg height="10.325" id="M111" style="vertical-align:-0.0pt;width:13.2875px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.2875 10.325" width="13.2875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是凹的,所以下面的不平等这样认为<年代pan class="equation" id="eq0014">
定义的<年代vg height="10.925" id="M113" style="vertical-align:-3.13504pt;width:20.362499px;" version="1.1" viewbox="0 0 20.362499 10.925" width="20.362499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
为<年代vg height="11.0625" id="M114" style="vertical-align:-0.30096pt;width:34.200001px;" version="1.1" viewbox="0 0 34.200001 11.0625" width="34.200001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
<
,<年代vg height="11.0625" id="M115" style="vertical-align:-0.30096pt;width:32.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.224998 11.0625" width="32.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
<
1
我们有,<年代vg height="14.6" id="M116" style="vertical-align:-3.13504pt;width:122.25px;" version="1.1" viewbox="0 0 122.25 14.6" width="122.25" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
≤
(
)
(
)
。
使用这些事实和极坐标,接下去<年代pan class="equation" id="eq124589">
过去存在每一个积分<年代vg height="10.8875" id="M118" style="vertical-align:-0.33858pt;width:38.637501px;" version="1.1" viewbox="0 0 38.637501 10.8875" width="38.637501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
鉴于(1。9),<年代vg height="17.887501" id="M119" style="vertical-align:-3.13504pt;width:186.925px;" version="1.1" viewbox="0 0 186.925 17.887501" width="186.925" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
(
1
−
|
|
2
)
/
(
1
−
|
|
2
2
)
)
≤
1
。此外,自<年代pan class="equation" id="eq0015">
最后趋于0为每一个积分<年代vg height="13.45" id="M121" style="vertical-align:-2.21957pt;width:58.4375px;" version="1.1" viewbox="0 0 58.4375 13.45" width="58.4375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
0
,
1
)
作为<年代vg height="13.45" id="M122" style="vertical-align:-2.21957pt;width:55.612499px;" version="1.1" viewbox="0 0 55.612499 13.45" width="55.612499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
|
|
→
1
。勒贝格控制收敛定理,得到<年代vg height="16.637501" id="M123" style="vertical-align:-4.68874pt;width:108.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 108.875 16.637501" width="108.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
l
我
米
|
|
→
1
(
)
=
0
。由引理2.1,我们得到<年代vg height="16.200001" id="M124" style="vertical-align:-4.37273pt;width:91.800003px;" version="1.1" viewbox="0 0 91.800003 16.200001" width="91.800003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
,
0
(
,
)
。
从定理1。1,我们有以下推论。在这里,我们给一个不同的和技术的证明。
<年代pan class="statement" id="coro1">推论2.6。年代pan>让<年代vg height="13.6125" id="M125" style="vertical-align:-2.34499pt;width:63.525002px;" version="1.1" viewbox="0 0 63.525002 13.6125" width="63.525002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
)
,<年代vg height="13.55" id="M126" style="vertical-align:-2.29482pt;width:68.824997px;" version="1.1" viewbox="0 0 68.824997 13.55" width="68.824997" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
<
<
∞
,<年代vg height="13.55" id="M127" style="vertical-align:-2.29482pt;width:79.050003px;" version="1.1" viewbox="0 0 79.050003 13.55" width="79.050003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
−
2
<
<
∞
,<年代vg height="12.3" id="M128" style="vertical-align:-1.29163pt;width:61.412498px;" version="1.1" viewbox="0 0 61.412498 12.3" width="61.412498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
<
≤
1
,让<年代vg height="9.875" id="M129" style="vertical-align:-2.29482pt;width:10.5375px;" version="1.1" viewbox="0 0 10.5375 9.875" width="10.5375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个单调递增的函数<年代vg height="7.0124998" id="M130" style="vertical-align:-0.0pt;width:6.5px;" version="1.1" viewbox="0 0 6.5 7.0124998" width="6.5" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
在<年代vg height="13.45" id="M131" style="vertical-align:-2.21957pt;width:32.674999px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.674999 13.45" width="32.674999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
0
,
1
)
这样<年代vg height="19.0625" id="M132" style="vertical-align:-2.34499pt;width:85.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 85.224998 19.0625" width="85.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
|
′
(
)
|
≤
(
)
,因为<年代vg height="13.45" id="M133" style="vertical-align:-2.21957pt;width:39.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.9375 13.45" width="39.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
|
|
=
。如果我><年代pan class="equation" id="eq0016">
然后<年代vg height="14.75" id="M135" style="vertical-align:-3.25793pt;width:89.050003px;" version="1.1" viewbox="0 0 89.050003 14.75" width="89.050003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
0
(
,
,
)
。我>年代pan>
证明。我>年代pan>让<年代vg height="10.8875" id="M136" style="vertical-align:-0.33858pt;width:38.637501px;" version="1.1" viewbox="0 0 38.637501 10.8875" width="38.637501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
。我们有<年代pan class="equation" id="eq6">
为<年代vg height="14.6875" id="M138" style="vertical-align:-2.78387pt;width:109.7375px;" version="1.1" viewbox="0 0 109.7375 14.6875" width="109.7375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
⧵
(
,
1
/
2
)
,<年代vg height="14.7125" id="M139" style="vertical-align:-3.22282pt;width:80.474998px;" version="1.1" viewbox="0 0 80.474998 14.7125" width="80.474998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
/
|
(
)
|
≤
2
,因此<年代pan class="equation" id="eq0017">
为<年代vg height="12.3" id="M141" style="vertical-align:-1.29163pt;width:61.412498px;" version="1.1" viewbox="0 0 61.412498 12.3" width="61.412498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
<
≤
1
通过引理2.5,我们有<年代pan class="equation" id="eq001254">
最后积分存在<年代vg height="22" id="M143" style="vertical-align:-4.59964pt;width:172.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 172.9375 22" width="172.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∫
1
0
(
)
(
1
−
2
)
+
<
∞
和<年代vg height="13.45" id="M144" style="vertical-align:-2.21957pt;width:138px;" version="1.1" viewbox="0 0 138 13.45" width="138" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
−
|
|
)
/
(
1
−
|
|
)
≤
1
。很明显,<年代pan class="equation" id="eq0018">
这意味着<年代pan class="equation" id="eq0019">
通过勒贝格控制收敛定理,我们得到的<年代pan class="equation" id="eq7">
现在,我们考虑这样一种情况<年代vg height="13.45" id="M148" style="vertical-align:-2.21957pt;width:83.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 83.337502 13.45" width="83.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
,
1
/
2
)
。请注意,<年代pan class="equation" id="eq0020">
在这个案子。一家有名的不平等(见,例如,12,页面3]),我们有<年代pan class="equation" id="eq0021">
因此,对<年代vg height="13.45" id="M151" style="vertical-align:-2.21957pt;width:83.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 83.337502 13.45" width="83.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
,
1
/
2
)
,我们有<年代pan class="equation" id="eq0022">
的单调性<年代vg height="9.875" id="M153" style="vertical-align:-2.29482pt;width:10.5375px;" version="1.1" viewbox="0 0 10.5375 9.875" width="10.5375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,我们有<年代pan class="equation" id="eq22">
这意味着<年代pan class="equation" id="eq0023">
因为下面的积分的存在<年代pan class="equation" id="eq0024">
选择<年代vg height="10.8625" id="M157" style="vertical-align:-0.13794pt;width:34.200001px;" version="1.1" viewbox="0 0 34.200001 10.8625" width="34.200001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
1
,每<年代vg height="13.45" id="M158" style="vertical-align:-2.21957pt;width:58.4375px;" version="1.1" viewbox="0 0 58.4375 13.45" width="58.4375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
0
,
1
)
,接下去<年代pan class="equation" id="eq0025">
这个和<年代pan class="equation" id="eq0026">
暗示<年代pan class="equation" id="eq0027">
或<年代pan class="equation" id="eq0028">
作为<年代vg height="13.45" id="M163" style="vertical-align:-2.21957pt;width:55.612499px;" version="1.1" viewbox="0 0 55.612499 13.45" width="55.612499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
|
|
→
1
。因此,<年代pan class="equation" id="eq8">
结合(2.8),(2.13)和(2.23我们看到,<年代pan class="equation" id="eq0029">
这意味着<年代vg height="14.75" id="M166" style="vertical-align:-3.25793pt;width:92.949997px;" version="1.1" viewbox="0 0 92.949997 14.75" width="92.949997" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
0
(
,
,
)
。
证明已经完成。年代pan>
定理的证明1。2。我>年代pan>考虑的单调递增函数<年代pan class="equation" id="eq0030">
对于每一个<年代vg height="13.45" id="M168" style="vertical-align:-2.21957pt;width:69.75px;" version="1.1" viewbox="0 0 69.75 13.45" width="69.75" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
0
,
2
)
,我们有<年代pan class="equation" id="eq0031">
由定理1。1,我们只需要证明<年代pan class="equation" id="eq0032">
的不平等<年代vg height="17.174999" id="M171" style="vertical-align:-2.73372pt;width:119.3875px;" version="1.1" viewbox="0 0 119.3875 17.174999" width="119.3875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
−
2
≤
2
l
o
g
(
1
/
)
,<年代vg height="13.45" id="M172" style="vertical-align:-2.21957pt;width:58.4375px;" version="1.1" viewbox="0 0 58.4375 13.45" width="58.4375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
0
,
1
)
,引理2.2,存在一个常数<年代vg height="10.6125" id="M173" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
这样<年代pan class="equation" id="eq0033">
然后<年代vg height="13.55" id="M175" style="vertical-align:-2.29482pt;width:68.349998px;" version="1.1" viewbox="0 0 68.349998 13.55" width="68.349998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
≤
<
∞
,我们有<年代pan class="equation" id="eq0034">
为<年代vg height="13.55" id="M177" style="vertical-align:-2.29482pt;width:34.974998px;" version="1.1" viewbox="0 0 34.974998 13.55" width="34.974998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
≥
1
,假设<年代vg height="17.975" id="M178" style="vertical-align:-3.20526pt;width:202.9875px;" version="1.1" viewbox="0 0 202.9875 17.975" width="202.9875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
{
∶
2
≤
<
2
+
1
,
∈
ℕ
}
。自<年代pan class="equation" id="eq0035">
一起夹的不平等<年代pan class="equation" id="eq0036">
因此,<年代pan class="equation" id="eq0037">
为<年代vg height="13.55" id="M182" style="vertical-align:-2.29482pt;width:62.174999px;" version="1.1" viewbox="0 0 62.174999 13.55" width="62.174999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
≤
≤
2
,<年代vg height="13.55" id="M183" style="vertical-align:-2.29482pt;width:94.800003px;" version="1.1" viewbox="0 0 94.800003 13.55" width="94.800003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
≤
−
2
<
3
通过引理2.4,选择<年代vg height="14.275" id="M184" style="vertical-align:-2.29482pt;width:88.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 88.625 14.275" width="88.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
2
+
2
−
,<年代vg height="13.55" id="M185" style="vertical-align:-2.29482pt;width:116.5375px;" version="1.1" viewbox="0 0 116.5375 13.55" width="116.5375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
(
−
2
−
1
)
/
2
,我们获得<年代pan class="equation" id="eq9">
如果<年代vg height="14.3625" id="M187" style="vertical-align:-3.2316pt;width:47.400002px;" version="1.1" viewbox="0 0 47.400002 14.3625" width="47.400002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
,然后<年代vg height="18.012501" id="M188" style="vertical-align:-3.2316pt;width:56.325001px;" version="1.1" viewbox="0 0 56.325001 18.012501" width="56.325001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
<
2
+
1
。假设<年代vg height="10.325" id="M189" style="vertical-align:-0.0pt;width:13.2875px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.2875 10.325" width="13.2875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是不减少的引理2.2给<年代pan class="equation" id="eq0038">
自<年代vg height="13.6125" id="M191" style="vertical-align:-2.34499pt;width:27.012501px;" version="1.1" viewbox="0 0 27.012501 13.6125" width="27.012501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
是一个有缺陷的系列中,泰勒级数的<年代vg height="13.4875" id="M192" style="vertical-align:-2.34499pt;width:10.675px;" version="1.1" viewbox="0 0 10.675 13.4875" width="10.675" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
有最<年代vg height="14.925" id="M193" style="vertical-align:-3.31306pt;width:75.537498px;" version="1.1" viewbox="0 0 75.537498 14.925" width="75.537498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
l
o
g
2
]
+
1
条款<年代vg height="15.225" id="M194" style="vertical-align:-3.2316pt;width:33.237499px;" version="1.1" viewbox="0 0 33.237499 15.225" width="33.237499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
这样<年代vg height="14.3625" id="M195" style="vertical-align:-3.2316pt;width:47.400002px;" version="1.1" viewbox="0 0 47.400002 14.3625" width="47.400002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
。结合过去的不平等和持有人的不平等,我们获得<年代pan class="equation" id="eq0039">
这表明<年代vg height="16.200001" id="M197" style="vertical-align:-4.37273pt;width:87.887497px;" version="1.1" viewbox="0 0 87.887497 16.200001" width="87.887497" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
,
0
(
,
)
。年代pan>