文摘

两组的方法是为解决方案开发的三重积分方程涉及勒让德函数的虚构的参数有关。每个组三重积分方程的解决方案涉及到相关的勒让德函数简化为第二类弗雷德霍姆积分方程数值求解。

1。介绍

涉及勒让德函数的对偶积分方程Babloian[已经找到了解决办法<一个href="#B1">1]。他运用这些方程问题的潜在理论和扭转问题。后来帕沙克(<一个href="#B2">2]和Mandal [<一个href="#B3">3)认为涉及广义勒让德函数的对偶积分方程通解比那些认为Babloian [<一个href="#B1">1]。最近,辛格et al。<一个href="#B4">4)考虑涉及广义勒让德函数的对偶积分方程,和他们的结果是更一般的比<一个href="#B1">1- - - - - -<一个href="#B3">3]。

在混合边值问题的分析中,我们经常遇到三重积分方程。三重积分方程涉及勒让德函数研究了斯利瓦斯塔瓦(<一个href="#B5">5]。三重积分方程涉及贝塞尔函数也被认为库克(<一个href="#B6">6- - - - - -<一个href="#B9">9],泉特[<一个href="#B10">10],爱和克莱门茨[<一个href="#B11">11),斯利瓦斯塔瓦(<一个href="#B12">12),这些作者弗雷德霍姆积分方程的解决方案到一个解决方案降低第二类。相关参考双重和三重积分方程给出的书却把(<一个href="#B13">13]。

本文方法为解决方案开发两套三重积分方程涉及广义勒让德函数部分<一个href="#sec3">3和<一个href="#sec4">4。每组的三重积分方程简化成弗雷德霍姆积分方程的第二种可能数值求解。本文的目的是要找到一个更一般的解决方案的类型积分方程在(<一个href="#B1">1- - - - - -<一个href="#B5">5)和开发一个简单的方法求解三重积分方程。

2。积分与广义勒让德函数和一些有用的结果

我们首先需要在论文中总结一些已知结果。

我们发现从[<一个href="#B14">14方程(21),330页)<年代pan class="equation" id="eq1"> 2 Γ 1 2 − 年代 我 n h ( ) − ∫ ∞ 0 − 1 / 2 + ( / ) c o 年代 h ( ) c o 年代 ( ) = c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) − − 1 / 2 ( − ) , ( 2 。 1 ) 在哪里<年代vg height="13.55" id="M2" style="vertical-align:-2.29482pt;width:49px;" version="1.1" viewbox="0 0 49 13.55" width="49" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> < 1 / 2 和从<一个href="#B4">4),我们得到<年代pan class="equation" id="eq2"> √ 2 − 3 / 2 Γ 1 2 + 年代 我 n h ( ) × ∫ ∞ 0 Γ 1 2 − + Γ 1 2 − − 年代 我 n h ( ) 年代 我 n ( ) − 1 / 2 + ( / ) c o 年代 h ( ) = c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) − 1 / 2 ( − ) , ( 2 。 2 ) 在哪里<年代vg height="13.55" id="M4" style="vertical-align:-2.29482pt;width:59.712502px;" version="1.1" viewbox="0 0 59.712502 13.55" width="59.712502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> > − 1 / 2 和<年代vg height="13.45" id="M5" style="vertical-align:-2.21957pt;width:24.174999px;" version="1.1" viewbox="0 0 24.174999 13.45" width="24.174999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 海维塞单位函数表示。此外,<年代vg height="13.6125" id="M6" style="vertical-align:-2.34499pt;width:50.400002px;" version="1.1" viewbox="0 0 50.400002 13.6125" width="50.400002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = / ,<年代vg height="13.6125" id="M7" style="vertical-align:-2.34499pt;width:36px;" version="1.1" viewbox="0 0 36 13.6125" width="36" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> > 0 和<年代vg height="20.262501" id="M8" style="vertical-align:-6.28362pt;width:119.8375px;" version="1.1" viewbox="0 0 119.8375 20.262501" width="119.8375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> − 1 / 2 + ( / ) ( c o 年代 h ) 中定义的广义勒让德函数(<一个href="#B15">15,370页)。从[<一个href="#B4">4,<一个href="#B16">16),被定义为广义Mehler-Fock变换<年代pan class="equation" id="eq3"> = c o 年代 h ( ) ∞ 0 − 1 / 2 + ( / ) c o 年代 h ( ) ( ) , ( 2 。 3 ) 及其反演公式<年代pan class="equation" id="eq4"> ( ) = 2 1 年代 我 n h ( ) Γ 2 − + Γ 1 2 − − × ∞ 0 − 1 / 2 + ( / ) c o 年代 h ( ) c o 年代 h ( ) 年代 我 n h ( ) 。 ( 2 。 4 ) 方程(<一个href="#eq1">2.1)和(<一个href="#eq2">2.2)的形式(<一个href="#eq3">2.3)。从给出的反演公式(<一个href="#eq4">2.4),(<一个href="#eq1">2.1)和(<一个href="#eq2">2.2),它遵循<年代pan class="equation" id="eq5"> c o 年代 ( ) = Γ 年代 我 n h ( ) Γ 1 / 2 − + ( / ) 1 / 2 − − ( / ) √ × 2 Γ 1 / 2 − ∞ 年代 我 n h ( ) 1 + − 1 / 2 + ( / ) c o 年代 h ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) + 1 / 2 1 , < 2 , ( 2 。 5 ) 年代 我 n ( ) = 2 1 Γ 1 / 2 + 0 年代 我 n h ( ) 1 − − 1 / 2 + ( / ) ( c o 年代 h ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 − 1 , > − 2 。 ( 2 。 6 )

傅里叶余弦变换反演定理和结果(<一个href="#eq1">2.1)和(<一个href="#eq2">2.2)导致<年代pan class="equation" id="eq7"> − 1 / 2 + ( / ) = c o 年代 h ( ) 2 年代 我 n h ( ) Γ 1 / 2 − 0 c o 年代 ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) + 1 / 2 1 , < 2 , ( 2 。 7 ) − 1 / 2 + ( / ) = √ c o 年代 h ( ) 2 年代 我 n h Γ × ( ) ] Γ 1 / 2 + 年代 我 n ( ) Γ 1 / 2 − + ( / ) 1 / 2 − − ( / ) ∞ 年代 我 n ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 − 1 , > − 2 。 ( 2 。 8 )

如果<年代vg height="13.5625" id="M15" style="vertical-align:-2.21957pt;width:24.4375px;" version="1.1" viewbox="0 0 24.4375 13.5625" width="24.4375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ℎ ( ) 单调递增和可微的吗<年代vg height="10.9375" id="M16" style="vertical-align:-0.30096pt;width:58.987499px;" version="1.1" viewbox="0 0 58.987499 10.9375" width="58.987499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> < < 和<年代vg height="15.65" id="M17" style="vertical-align:-2.21957pt;width:57.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 57.724998 15.65" width="57.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ℎ ( ) ≠ 0 在这个区间,然后方程的解决方案<年代pan class="equation" id="eq9"> ( ) ℎ ( ) − ℎ ( ) = ( ) , < < , 0 < < 1 , ( 2 。 9 ) ( ) ℎ ( ) − ℎ ( ) = ( ) , < < , 0 < < 1 , ( 2 。 1 0 ) 是由却<一个href="#B13">13]<年代pan class="equation" id="eq11"> ( ) = 年代 我 n ( ) ℎ ( ) ( ) ℎ ( ) − ℎ ( ) 1 − , < < , ( 2 。 1 1 ) ( ) = − 年代 我 n ( ) ℎ ( ) ( ) ℎ ( ) − ℎ ( ) 1 − , < < , ( 2 。 1 2 ) 分别在哪里'表示的导数<年代vg height="9.125" id="M22" style="vertical-align:-0.11285pt;width:5.0124998px;" version="1.1" viewbox="0 0 5.0124998 9.125" width="5.0124998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 。

3所示。三重积分方程的广义勒让德函数:我

在本节中,我们会发现以下三重积分方程的解决方案:<年代pan class="equation" id="eq13"> ∞ 0 1 ( ) 年代 我 n h ( ) Γ 2 − 1 + Γ 1 2 − 1 − 1 − 1 / 2 + ( / ) c o 年代 h ( ) = 0 , 0 < < , ( 3 。 1 ) ∞ 0 ( ) 2 − 1 / 2 + ( / ) c o 年代 h ( ) = ( ) , < < , ( 3 。 2 ) ∞ 0 1 ( ) 年代 我 n h ( ) Γ 2 − 3 + Γ 1 2 − 3 − 3 − 1 / 2 + ( / ) c o 年代 h ( ) = 0 , < < ∞ , ( 3 。 3 ) 在哪里<年代vg height="13.45" id="M26" style="vertical-align:-2.21957pt;width:29.737499px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.737499 13.45" width="29.737499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 是一个未知函数,<年代vg height="13.6125" id="M27" style="vertical-align:-2.34499pt;width:28.025px;" version="1.1" viewbox="0 0 28.025 13.6125" width="28.025" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 是一个已知函数,<年代vg height="20.262501" id="M28" style="vertical-align:-6.28362pt;width:127.6375px;" version="1.1" viewbox="0 0 127.6375 20.262501" width="127.6375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> − 1 / 2 + ( / ) ( c o 年代 h ( ) ] 节中定义的广义勒让德函数吗<一个href="#sec2">2和<年代vg height="14.6" id="M29" style="vertical-align:-3.13504pt;width:105.1625px;" version="1.1" viewbox="0 0 105.1625 14.6" width="105.1625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> − 1 / 2 < 1 < 1 / 2 ,<年代vg height="14.6" id="M30" style="vertical-align:-3.13504pt;width:105.1625px;" version="1.1" viewbox="0 0 105.1625 14.6" width="105.1625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> − 1 / 2 < 2 < 1 / 2 ,<年代vg height="14.75" id="M31" style="vertical-align:-3.25793pt;width:65.800003px;" version="1.1" viewbox="0 0 65.800003 14.75" width="65.800003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 3 > − 1 / 2 。

试验方案(<一个href="#eq13">3.1),(<一个href="#eq13">3.2)和(<一个href="#eq13">3.3)可以写成<年代pan class="equation" id="eq16"> ( ) = 0 ( ) c o 年代 ( ) , ( 3 。 4 ) 在哪里<年代vg height="13.55" id="M33" style="vertical-align:-2.29482pt;width:27.1625px;" version="1.1" viewbox="0 0 27.1625 13.55" width="27.1625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 是一个未知函数待定。积分(<一个href="#eq16">3.4分部),我们得到的<年代pan class="equation" id="eq17"> ( ) = ( ) 年代 我 n ( ) − 1 0 ( ) 年代 我 n ( ) , ( 3 。 5 ) 导数的主要表示在哪里<年代vg height="9.125" id="M35" style="vertical-align:-0.11285pt;width:5.0124998px;" version="1.1" viewbox="0 0 5.0124998 9.125" width="5.0124998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 。

用(<一个href="#eq17">3.5)(<一个href="#eq13">3.3)、交换集成和使用的顺序(<一个href="#eq2">2.2),我们发现(<一个href="#eq13">3.3)是满足相同。用(<一个href="#eq17">3.5)(<一个href="#eq13">3.1使用定义的积分)和(<一个href="#eq2">2.2),我们得到<年代pan class="equation" id="eq18"> ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 − 1 − ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 − 1 = 0 , 0 < < 。 ( 3 。 6 ) 方程(<一个href="#eq18">3.6)是等价的积分方程如下:<年代pan class="equation" id="eq19"> 年代 我 n h ( ) ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 − 1 = 0 , 0 < < 。 ( 3 。 7 ) 用(<一个href="#eq16">3.4)(<一个href="#eq13">3.2)、交换集成的顺序和使用定义的积分(<一个href="#eq1">2.1)我们发现<年代pan class="equation" id="eq20"> 0 ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 + 2 = 2 Γ 1 2 − 2 年代 我 n h ( ) − 2 ( ) , < < , 2 < 1 2 。 ( 3 。 8 ) 获得的解决问题,我们需要解决两个阿贝尔积分方程的类型(<一个href="#eq19">3.7)和(<一个href="#eq20">3.8)。

我们假设<年代pan class="equation" id="eq21"> 年代 我 n h ( ) ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 − 1 = ( ) , < < 。 ( 3 。 9 ) 上面的方程是相同的形式(<一个href="#eq19">3.7),定义在一个不同的区域。方程(<一个href="#eq21">3.9)的形式(<一个href="#eq11">2.12)。因此,积分方程的解决方案(<一个href="#eq21">3.9)可以写成<年代pan class="equation" id="eq22"> ( ) = − c o 年代 1 ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 + 1 1 , − 2 < 1 < 1 2 , < < 。 ( 3 。 1 0 )

亚伯的类型积分方程的解决方案(<一个href="#eq11">2.11)和(<一个href="#eq19">3.7)和(<一个href="#eq21">3.9)导致<年代pan class="equation" id="eq23"> ( ) = − c o 年代 1 ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 + 1 1 , − 2 < 1 < 1 2 , 0 < < 。 ( 3 。 1 1 )

方程(<一个href="#eq22">3.10)和(<一个href="#eq23">3.11)意味着(<一个href="#eq19">3.7)是满足相同。方程(<一个href="#eq20">3.8)可以改写形式<年代pan class="equation" id="eq24"> ∫ 0 ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 + 2 + ∫ ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 + 2 = 1 2 Γ 1 − 2 ( ) 年代 我 n h ( ) 2 , < < 。 ( 3 。 1 2 ) 用表达式代替<年代vg height="13.55" id="M43" style="vertical-align:-2.29482pt;width:27.1625px;" version="1.1" viewbox="0 0 27.1625 13.55" width="27.1625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 从(<一个href="#eq23">3.11)和(<一个href="#eq22">3.10)的第一和第二积分(<一个href="#eq24">3.12我们获得<年代pan class="equation" id="eq25"> ∫ ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 + 2 ∫ = ( ) − 0 c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 + 2 ∫ ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 + 2 , < < , ( 3 。 1 3 ) 在哪里<年代pan class="equation" id="eq26"> ( ) = ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 + 1 , − √ ( 3 。 1 4 ) ( ) = 2 Γ 1 − 2 ( ) 年代 我 n h ( ) − 2 c o 年代 1 。 ( 3 。 1 5 )

假设的右边(<一个href="#eq25">3.13)是一个已知的函数<年代vg height="7.1750002" id="M47" style="vertical-align:-0.1254pt;width:8.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.9375 7.1750002" width="8.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 它的形式(<一个href="#eq9">2.9),其解决方案是由<年代pan class="equation" id="eq28"> ( ) = c o 年代 2 年代 我 n h ( ) ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 − 2 1 − ( ) , < < , − 2 < 2 < 1 2 , ( 3 。 1 6 ) 在哪里<年代pan class="equation" id="eq29"> ( ) = c o 年代 2 年代 我 n h ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 − 2 0 c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 + 2 × ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 + 2 1 , < < , − 2 < 2 < 1 2 。 ( 3 。 1 7 ) 从积分<年代pan class="equation" id="eq30"> ∫ 年代 我 n h ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 − 2 c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 + 2 = 年代 我 n h ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 − 2 c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 − 2 1 , < < , − 2 < 2 < 1 2 , ( 3 。 1 8 ) 然后,我们得到<年代pan class="equation" id="eq31"> ( ) = c o 年代 2 年代 我 n h ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 − 2 0 c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 − 2 × c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 + 1 。 ( 3 。 1 9 ) 方程(<一个href="#eq26">3.14)是一个Abel-type方程。因此,它的解决方案<年代pan class="equation" id="eq32"> ( ) = − c o 年代 1 年代 我 n h ( ) ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 − 1 1 , < < , − 2 < 1 < 1 2 , ( 3 。 2 0 ) ( ) = ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 + 1 。 ( 3 。 2 1 ) 用表达式代替<年代vg height="13.55" id="M54" style="vertical-align:-2.29482pt;width:28.025px;" version="1.1" viewbox="0 0 28.025 13.55" width="28.025" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 从(<一个href="#eq32">3.20)(<一个href="#eq32">3.21)、分部积分和最后交换集成的顺序在第二个积分,我们到达<年代pan class="equation" id="eq34"> ( ) = c o 年代 1 1 c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 + 1 ( ) 年代 我 n h ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 − 1 − 1 2 + 1 × ( ) 年代 我 n h ( ) 年代 我 n h ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 3 / 2 + 1 c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 − 1 。 ( 3 。 2 2 ) 积分<年代pan class="equation" id="eq35"> ∫ 年代 我 n h ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 3 / 2 + 1 c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 − 1 = ( c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) ] 1 / 2 + 1 ( 1 1 + 1 / 2 ) ( c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) ] ( c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) ] < < , − 2 < 1 < 1 2 ( 3 。 2 3 ) 在一起(<一个href="#eq34">3.22)导致<年代pan class="equation" id="eq36"> ( ) = c o 年代 1 c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 − 1 × ( ) 年代 我 n h ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 − 1 。 ( 3 。 2 4 ) 从(<一个href="#eq31">3.19),(<一个href="#eq32">3.21)和(<一个href="#eq36">3.24),我们得到<年代pan class="equation" id="eq37"> ( ) = ( ) ( , ) , ( 3 。 2 5 ) 在哪里<年代pan class="equation" id="eq38"> ( , ) = 2 c o 年代 1 c o 年代 2 年代 我 n h ( ) 年代 我 n h ( ) 2 c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 − 2 c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 − 1 × 0 c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 − 1 − 2 。 c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) ( 3 。 2 6 ) 从(<一个href="#eq37">3.25),(<一个href="#eq28">3.16)可以写成<年代pan class="equation" id="eq39"> ( ) + ( ) ( , ) = c o 年代 2 年代 我 n h ( ) ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 − 2 , < < 。 ( 3 。 2 7 ) 方程(<一个href="#eq39">3.27第二类)是一个弗雷德霍姆积分方程与内核<年代vg height="13.45" id="M61" style="vertical-align:-2.21957pt;width:41.6875px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.6875 13.45" width="41.6875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( , ) 。内核被定义为(<一个href="#eq38">3.26)。积分(<一个href="#eq38">3.26)分析不能解决,但对于特定的值<年代vg height="10.725" id="M62" style="vertical-align:-3.13504pt;width:15.7375px;" version="1.1" viewbox="0 0 15.7375 10.725" width="15.7375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 1 和<年代vg height="10.725" id="M63" style="vertical-align:-3.13504pt;width:15.7375px;" version="1.1" viewbox="0 0 15.7375 10.725" width="15.7375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 的值<年代vg height="13.45" id="M64" style="vertical-align:-2.21957pt;width:41.6875px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.6875 13.45" width="41.6875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( , ) 数值可以找到。因此,弗雷德霍姆积分方程的数值解(<一个href="#eq39">3.27)可以获得特定的价值<年代vg height="13.6125" id="M65" style="vertical-align:-2.34499pt;width:28.025px;" version="1.1" viewbox="0 0 28.025 13.6125" width="28.025" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) ,<年代vg height="10.725" id="M66" style="vertical-align:-3.13504pt;width:15.7375px;" version="1.1" viewbox="0 0 15.7375 10.725" width="15.7375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 1 ,<年代vg height="10.725" id="M67" style="vertical-align:-3.13504pt;width:15.7375px;" version="1.1" viewbox="0 0 15.7375 10.725" width="15.7375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 找到的数值<年代vg height="13.45" id="M68" style="vertical-align:-2.21957pt;width:25.5875px;" version="1.1" viewbox="0 0 25.5875 13.45" width="25.5875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 。利用(<一个href="#eq32">3.20),(<一个href="#eq23">3.11)和(<一个href="#eq22">3.10),数值结果<年代vg height="13.55" id="M69" style="vertical-align:-2.29482pt;width:27.1625px;" version="1.1" viewbox="0 0 27.1625 13.55" width="27.1625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 可以获得。最后,利用(<一个href="#eq16">3.4)的数值结果<年代vg height="13.45" id="M70" style="vertical-align:-2.21957pt;width:29.737499px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.737499 13.45" width="29.737499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 可以获得。

4所示。三重积分方程的广义勒让德函数:II

在本节中,我们会发现以下三重积分方程的解决方案:<年代pan class="equation" id="eq40"> ∞ 0 ( ) 1 − 1 / 2 + ( / ) c o 年代 h ( ) = 0 , 0 < < , ( 4 。 1 ) ∞ 0 1 年代 我 n h ( ) Γ 2 − 2 + Γ 1 2 − 2 − ( ) 2 − 1 / 2 + ( / ) c o 年代 h ( ) = ( ) , < < , ( 4 。 2 ) ∞ 0 ( ) 3 − 1 / 2 + ( / ) c o 年代 h ( ) = 0 , < , ( 4 。 3 ) 在哪里<年代vg height="14.6" id="M74" style="vertical-align:-3.13504pt;width:65.800003px;" version="1.1" viewbox="0 0 65.800003 14.6" width="65.800003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 1 > − 1 / 2 ,<年代vg height="14.6" id="M75" style="vertical-align:-3.13504pt;width:105.1625px;" version="1.1" viewbox="0 0 105.1625 14.6" width="105.1625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> − 1 / 2 < 2 < 1 / 2 ,<年代vg height="14.75" id="M76" style="vertical-align:-3.25793pt;width:105.1625px;" version="1.1" viewbox="0 0 105.1625 14.75" width="105.1625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> − 1 / 2 < 3 < 1 / 2 。

我们假设<年代pan class="equation" id="eq43"> ∞ 0 ( ) 3 − 1 / 2 + ( / ) c o 年代 h ( ) = ( ) , 0 < < 。 ( 4 。 4 ) 广义Mehler-Fock变换反演公式(<一个href="#eq4">2.4)和(<一个href="#eq40">4.3)和(<一个href="#eq43">4.4)意味着<年代pan class="equation" id="eq44"> ( ) = 2 1 年代 我 n h ( ) Γ 2 − 3 + Γ 1 2 − 3 − × 0 年代 我 n h ( ) 3 − 1 / 2 + ( / ) c o 年代 h ( ) ( ) 。 ( 4 。 5 )

乘(<一个href="#eq40">4.1)<年代vg height="16.862499" id="M79" style="vertical-align:-2.21957pt;width:263.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 263.875 16.862499" width="263.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( 年代 我 n h ( ) ] 1 − 1 / ( c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) ] 1 / 2 − 1 、整合双方从0到<年代vg height="7.1624999" id="M80" style="vertical-align:-0.11285pt;width:8.7250004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.7250004 7.1624999" width="8.7250004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 和对<年代vg height="7.1750002" id="M81" style="vertical-align:-0.1254pt;width:8.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.9375 7.1750002" width="8.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ,然后使用(<一个href="#eq5">2.6我们获得<年代pan class="equation" id="eq45"> ∞ 0 ( ) 年代 我 n ( ) = 0 , 0 < < 。 ( 4 。 6 ) 替代的价值<年代vg height="13.45" id="M83" style="vertical-align:-2.21957pt;width:29.737499px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.737499 13.45" width="29.737499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 从(<一个href="#eq44">4.5)(<一个href="#eq45">4.6)、交换集成的顺序和使用积分(<一个href="#eq2">2.2),我们得到<年代pan class="equation" id="eq46"> 0 年代 我 n h ( ) ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 − 3 = 0 , 3 1 > − 2 , 0 < < 。 ( 4 。 7 ) 替代的价值<年代vg height="13.45" id="M85" style="vertical-align:-2.21957pt;width:29.737499px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.737499 13.45" width="29.737499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 从(<一个href="#eq44">4.5)(<一个href="#eq40">4.2)和交换集成我们的顺序到达<年代pan class="equation" id="eq47"> 0 年代 我 n h ( ) ( ) 2 ( , ) = ( ) , < < , ( 4 。 8 ) 在哪里<年代pan class="equation" id="eq48"> 2 ( , ) = ∞ 0 2 Γ 1 2 − 2 − Γ 1 2 − 2 + Γ 1 2 − 3 + Γ 1 2 − 3 − × 年代 我 n h 2 ( ) 3 − 1 / 2 + ( / ) c o 年代 h ( ) 2 − 1 / 2 + ( / ) c o 年代 h ( ) , ( 4 。 9 ) 然后(<一个href="#eq7">2.8)和(<一个href="#eq2">2.2)暗示<年代pan class="equation" id="eq49"> 2 ( , ) = Γ 1 / 2 + 2 Γ 1 / 2 + 3 年代 我 n h ( ) 2 年代 我 n h ( ) 3 × ∞ 米 一个 x ( , ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 − 2 c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 − 3 , 3 1 > − 2 , 2 1 > − 2 。 ( 4 。 1 0 )

方程(<一个href="#eq46">4.7)是一个Abel-type方程,形式(<一个href="#eq9">2.9)。因此,解决方案(<一个href="#eq46">4.7)是<年代pan class="equation" id="eq50"> ( ) = 0 , 0 < < 。 ( 4 。 1 1 )

使用(<一个href="#eq49">4.10)和(<一个href="#eq5">2.5),(<一个href="#eq47">4.8可以书面形式)<年代pan class="equation" id="eq51"> ∫ 年代 我 n h ( ) 1 − 3 ∫ ( ) ∞ 米 一个 x ( , ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 − 2 c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 − 3 = Γ 1 / 2 + 2 Γ 1 / 2 + 2 年代 我 n h ( ) 3 ( ) = 1 ( ) , 年代 一个 y , < < 。 ( 4 。 1 2 ) 使用这个公式<年代pan class="equation" id="eq52"> ∞ 米 一个 x ( , ) = + ∞ , ( 4 。 1 3 ) 我们可以写(<一个href="#eq51">4.12)的形式<年代pan class="equation" id="eq53"> 1 ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 − 2 = 1 ( ) − ∞ c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 − 2 × ( ) 年代 我 n h ( ) 1 − 3 c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 − 2 , < < , ( 4 。 1 4 ) 在哪里<年代pan class="equation" id="eq54"> 1 ( ) = ( ) 年代 我 n h ( ) 1 − 3 c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 − 2 , < < 。 ( 4 。 1 5 )

假设的右边(<一个href="#eq53">4.14)是已知的函数方程和(<一个href="#eq53">4.14)的形式(<一个href="#eq9">2.10),因此解决方案(<一个href="#eq53">4.14)可以写成<年代pan class="equation" id="eq55"> 1 ( ) = − c o 年代 2 1 ( ) 年代 我 n h ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 + 2 + 1 1 ( ) , < < , − 2 < 2 < 1 2 , ( 4 。 1 6 ) 在哪里<年代pan class="equation" id="eq56"> 1 ( ) = c o 年代 2 年代 我 n h ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 + 2 × ∞ c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 − 2 ( ) 年代 我 n h ( ) 1 − 3 c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 − 3 , < < 。 ( 4 。 1 7 )

方程(<一个href="#eq56">4.17)简化为<年代pan class="equation" id="eq57"> 1 ( ) = c o 年代 2 年代 我 n h ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 + 2 ∞ c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 + 2 × c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) ( ) 年代 我 n h ( ) 1 − 3 c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 − 3 , < < 。 ( 4 。 1 8 ) 让<年代pan class="equation" id="eq58"> 1 ( ) = ( ) 年代 我 n h ( ) 1 − 3 c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 − 3 。 ( 4 。 1 9 ) 方程(<一个href="#eq54">4.15)的形式(<一个href="#eq9">2.9)。因此,它的解决方案<年代pan class="equation" id="eq59"> ( ) 年代 我 n h ( ) 1 − 3 = c o 年代 3 1 ( ) 年代 我 n h ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 + 3 , < < 。 ( 4 。 2 0 )

用表达式代替<年代vg height="13.45" id="M99" style="vertical-align:-2.21957pt;width:33.650002px;" version="1.1" viewbox="0 0 33.650002 13.45" width="33.650002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 从(<一个href="#eq59">4.20)(<一个href="#eq58">4.19)和分部积分,然后使用下面的积分:<年代pan class="equation" id="eq60"> ∫ 年代 我 n h ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 3 / 2 − 3 c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 + 3 = − c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 − 3 1 / 2 − 3 c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 − 3 , 1 < < , − 2 < 2 < 1 2 , ( 4 。 2 1 ) 我们发现<年代pan class="equation" id="eq61"> 1 ( ) = − c o 年代 3 c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 + 3 × 1 ( ) 年代 我 n h ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 + 3 。 ( 4 。 2 2 ) 利用(<一个href="#eq57">4.18),(<一个href="#eq58">4.19)和(<一个href="#eq61">4.22),我们发现<年代pan class="equation" id="eq62"> 1 ( ) = − 1 ( ) 2 ( , ) , ( 4 。 2 3 ) 在哪里<年代pan class="equation" id="eq63"> 2 ( , ) = 2 c o 年代 2 c o 年代 3 年代 我 n h ( ) 年代 我 n h ( ) 2 c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 + 2 c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 + 3 × ∞ c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 + 2 + 3 。 c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) ( 4 。 2 4 ) 使用(<一个href="#eq56">4.17)和(<一个href="#eq62">4.23),(<一个href="#eq55">4.16可以书面形式)<年代pan class="equation" id="eq64"> 1 ( ) + 1 ( ) 2 ( , ) = − c o 年代 2 1 ( ) 年代 我 n h ( ) c o 年代 h ( ) − c o 年代 h ( ) 1 / 2 + 2 , < < 。 ( 4 。 2 5 )

方程(<一个href="#eq64">4.25第二类)是一个弗雷德霍姆积分方程与内核定义为(<一个href="#eq63">4.24)。弗雷德霍姆积分方程(<一个href="#eq64">4.25)可能是解决找到数值的<年代vg height="14.6" id="M105" style="vertical-align:-3.13504pt;width:33.662498px;" version="1.1" viewbox="0 0 33.662498 14.6" width="33.662498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 1 ( ) 特定的值<年代vg height="13.6125" id="M106" style="vertical-align:-2.34499pt;width:28.025px;" version="1.1" viewbox="0 0 28.025 13.6125" width="28.025" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 。因此从(<一个href="#eq59">4.20)和(<一个href="#eq44">4.5)的数值<年代vg height="13.45" id="M107" style="vertical-align:-2.21957pt;width:29.737499px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.737499 13.45" width="29.737499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 可以获得特定的值吗<年代vg height="13.6125" id="M108" style="vertical-align:-2.34499pt;width:28.025px;" version="1.1" viewbox="0 0 28.025 13.6125" width="28.025" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) ,<年代vg height="10.725" id="M109" style="vertical-align:-3.13504pt;width:15.7375px;" version="1.1" viewbox="0 0 15.7375 10.725" width="15.7375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 ,<年代vg height="10.875" id="M110" style="vertical-align:-3.25793pt;width:15.7375px;" version="1.1" viewbox="0 0 15.7375 10.875" width="15.7375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 3 。

5。结论

两套三重积分方程的解决方案涉及广义勒让德函数降低第二类弗雷德霍姆积分方程的解决方案可以解决数值。